Математический турнир для учащихся 9 классов 2 апреля 2013г.

1. Математическийтурнирдля учащихся 9 классов2 апреля 2013г. Мы рады встрече с вами

2. Правила турнира • Решение задач следует записывать на специальных бланках ( которыми можно будет пользоваться при выступлении) • Выступать с докладом и оппонированием должны разные члены команды • Запрещается общение с кем- либо кроме членов своей команды и жюри

3. Регламент турнира • 45 минут на решение всех задач своей лиги • 45 минут – защита решений и оппонирование по задачам своей лиги Порядок выступления команд лиги Б определяется жеребьевкой Не забывайте подписывать каждый бланк с решением

4. Время пошло...

5. Правила соревнования Рейтинг задач

6. Правила соревнования • Жребием определяется порядок рассмотрения задач ( порядок выступления команд был объявлен ранее, теперь мы узнаем какая задача какой команде достается) • Команды ( по жребию) выставляют своего докладчика или оппонента. • Цель докладчика: рассказать все правильно, полно и доходчиво. • Цель оппонента: найти как можно больше ошибок и неточностей в выступлении докладчика.

7. Правила соревнования возможные варианты распределения баллов

8. Правила соревнования • Докладчик иллюстрирует свое решение с помощью документ камеры по заготовками, сделанными в процессе решения. • Оппонент в своем выступлении должен только указывать на ошибки, но не рассказывать правильного решения ( если такового не было в докладе) • В ходе выступления докладчика оппонент имеет право задавать уточняющие вопросы: «Правильно ли я Вас понял, что….», «Повторите, пожалуйста, еще раз фразу о …..»… • Диалог ведут только 2 выступающих • После выступления докладчика и его оппонента каждая из команд оценивает выступление (в баллах). Если оценки команды совпадут с оценками жюри, то команда получает дополнительный балл.

9. Задание 1 Площадь квадрата равна 144 см2. В квадрат вписана окружность. Вычислите площадь равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.

10. Задание 1 (Решение)

11. Задание 2 Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника. Докажите, что площади этих треугольников равны.

12. Задание 2 (Доказательство) Медиана СМ прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АВ, разбивает данный треугольник на два треугольника АСМ и ВСМ, у которых общая высота СН проведена к равным основаниям АМ и МВ (т. к. М-середина АВ по определению медианы). Следовательно, площади данных треугольников равны (площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию).

13. Задание 3 В прямоугольной трапеции меньшая диагональ равна 15 и перпендикулярна большей боковой стороне. Меньшая сторона трапеции равна 12. Найдите большее основание трапеции.

14. Задание 3 (Решение) 1) Пусть CF – высота. ABCF – прямоугольник (ВА || СF , СF = ВА = 12 - расстояние между параллельными прямыми, угол B равен 90°). 2) Пусть ВС = АF = х (противоположные стороны прямоугольника). В прямоугольном треугольнике ACF по теореме Пифагора x2= 152- 122, тогда x = 9. 3) В прямоугольном треугольнике ADC по свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла, имеем равенство CF? = ху. Отсюда y = 144 : 9 = 16. 4) AD = х + у = 9 + 16 = 25. Ответ: 25.

15. Задание 4 Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 29. Найдите радиус окружности.

16. Задание 4 (Решение) B C ABCD – описан около окружности, поэтому его стороны обладают следующим свойством: AB + CD = BC + AD. AB + CD = BC + AD = 50. BA = 50 – 29 = 21, BA = 2R, R = 10,5. A D

17. М В С К D А Задание 5 В параллелограмме АВСD отмечена точка М – середина отрезка ВС. Отрезок АМ пересекается с диагональю ВD в точке К. Докажите, что ВК : BD = 1 : 3.

18. М В С К D А Задание 5 (Доказательство) Треугольник ВКМ подобен треугольнику AKD по двум углам: Угол В равен углу D, как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Угол ВКМ равен углу AKD как вертикальный, следовательно, ВМ : AD = ВК : КD. По условию ВМ : ВС = ВМ : AD = 1 : 2 (М середина ВС, ВС = AD – противоположные стороны параллелограмма). ВМ : AD = ВК : КD = 1 : 2 BD = BK + KD = 3BK BK : BD = 1 : 3

19. Задание 6 Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, который изображён на рисунке.

20. Задание 6 (Решение)

21. Задание 7 В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны AB. Известно, что KC = KD. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.

22. Задание 7 (Доказательство)

23. Задание 8 В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане ВN. Найти площадь треугольника АВС, если АМ = m, ВN = n.

24. Задание 8 (решение) Пусть медианы АМ и BN пересекаются в точке О. Пересекаясь, они делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины, следовательно, АО = ⅔АМ. Медиана АМ перпендикулярна медиане BN, значит, отрезок АО– высота треугольника ABN. Используя формулу площади треугольника,S = 0,5ah, где получаем, что S∆ABN = 0,5*AO*BN = ⅓*m*n. ABC и ABN имеют общую высоту, проведенную из вершины В, основание АС вдвое больше основания AN. Из той же формулы площади следует, что площадь ∆АВС вдвое больше площади ∆ABN, то есть S∆ABC = ⅔*m*n. Ответ:⅔*m*n.

25. В К Е О А С Задание 9 Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите угол ABC, если угол KCB равен 20°.

26. В К Е О А С Задание 9 (Решение) Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны, поэтому угол КСЕ равен углу КАЕ и они равны 20°. Треугольники АОК и СОЕ прямоугольные, поэтому углы АКО и СЕО равны 70°. Сумма угла СОЕ и угла ВЕО равна 180° (смежные), значит, угол ВЕО равен 110° . Аналогично доказывается, что угол ВКО равен 110° . В четырехугольнике ВКОЕ угол КОЕ равен 90°, Угол ВКО и угол ВЕО равны 110°, следовательно угол КВЕ равен 50°.

27. Спасибо за игру. До новых встреч