第 46 课 函数型综合问题

1. 第46课　函数型综合问题

2. 基础知识 自主学习 • 考题分析 • 1．函数型综合题，主要以函数为主线，利用函数的图象与性质，解题时要注意函数的图象信息，点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． • 2．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型、压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样．

3. [难点正本　疑点清源] • 1．函数型综合问题对解题的要求 • 运用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系， • 再用函数的形式把相应关系表示出来，这种方法我们常称为 • 函数的思想，初中阶段的函数有一次函数、反比例函数、二 • 次函数等，其中二次函数的学习较为复杂，高中阶段我们将 • 学习更多的函数． • 2．函数型综合问题的解题策略 • 应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系式是一关 • 键步骤，大致可分为下面两种情况：(1)根据题意建立变量 • 之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；(2)根 • 据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题．

4. 基础自测 • 答案　B • 解析　因为x1<x2<0，所以y2<y1<0；又因为x3>0，所以y3>0，因此y3>y1>y2.

5. 2．(2010·攀枝花)如图，二次函数y＝ax2－bx＋2的大致图象如图所示，则函数y＝－ax＋b的图象不经过()2．(2010·攀枝花)如图，二次函数y＝ax2－bx＋2的大致图象如图所示，则函数y＝－ax＋b的图象不经过() • A．第一象限 • B．第二象限 • C．第三象限 • D．第四象限 • 答案　A • 解析　由抛物线的大致位置，得a>0，b<0，所以直线y＝－ax＋b经过第二、三、四象限．

6. 3．(2010·无锡)若一次函数y＝kx＋b，当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值()3．(2010·无锡)若一次函数y＝kx＋b，当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值() • A．增加4 B．减小4 • C．增加2 D．减小2 • 答案　A • 解析　当x＝a时，y1＝ak＋b；当x＝a－1时，y2＝(a－1)k＋b；又y1－y2＝2，所以(ak＋b)－＝2，k＝2；y＝2k＋b，当x＝a＋2时，y3＝(a＋2)k＋b，所以y3－y1＝－(ak＋b)＝2×2＝4.

7. 4．(2011·台湾)坐标平面上，二次函数y＝x2－6x＋3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点？()4．(2011·台湾)坐标平面上，二次函数y＝x2－6x＋3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点？() • A．x＝50 B．x＝－50 • C．y＝50 D．y＝－50 • 答案　D • 解析　抛物线y＝x2－6x＋3的最低点为(3，－6)，与直线y＝－50没有交点．

8. 5．(2010·徐州)平面直角坐标系中，若平移二次函数y＝(x－2009)(x－2010)＋4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为()5．(2010·徐州)平面直角坐标系中，若平移二次函数y＝(x－2009)(x－2010)＋4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为() • A．向上平移4个单位 • B．向下平移4个单位 • C．向左平移4个单位 • D．向右平移4个单位 • 答案　B • 解析　把抛物线y＝(x－2009)(x－2010)＋4向下平移4个单位，得y＝(x－2009)(x－2010)，与x轴交于点(2009,0)、(2010,0)，两点的距离为2010－2009＝1.

9. 题型分类 深度剖析 • 【例 1】　二次函数y＝2x2＋ax＋b的图象经过点(2, 3)，并且其顶点在直线y＝3x－2上，求a、b.

14. 探究提高　解答此题最容易犯的错误就是忽略抛物线的顶探究提高　解答此题最容易犯的错误就是忽略抛物线的顶 点有在x轴上方、下方两种情况，而只考虑顶点在x轴上方 的情况，顾此失彼，所以应当培养思维的严谨性．

17. 【例 3】(2011·泉州)如图，在平面 • 直角坐标系xOy中，直线AB与 x 轴 • 交于点A, 与y轴交于点B, 且OA＝3， • AB＝5.点P从点O出发沿OA以每秒1 • 个单位长的速度向点A匀速运动，到 • 达点A后立刻以原来的速度沿AO返回； • 点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长 • 的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q • 的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB • －BO－OP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止 • 运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒(t＞0)．

18. (1)求直线AB的解析式； • (2)在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式(不必写出t的取值范围); • (3)在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题： • ①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值； • 若不能，请说明理由； • ②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

19. >> 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

23. 探究提高　要善于用“数形结合”的方法来解题，通过“数”与“形”之间的对应和转化来解决问题，通过“形”来研究“数”，利用“数”来研究“形”，利用图形的直观，找到解题的捷径，简化运算过程．探究提高　要善于用“数形结合”的方法来解题，通过“数”与“形”之间的对应和转化来解决问题，通过“形”来研究“数”，利用“数”来研究“形”，利用图形的直观，找到解题的捷径，简化运算过程．

24. 知能迁移3(2011·南京)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．知能迁移3(2011·南京)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)． • (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一 • 个定点； • (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值．

25. 【例 4】　如图，一次函数图象与 x 轴、y 轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．如果A点的坐标为(2, 0)，点C、D分别在第一、三象限，且OA＝OB＝AC＝BD；试求一次函数和反比例函数的解析式．

27. 探究提高　这是一个一次函数与反比例函数的综合题，要求经过A、B两点的直线的解析式，需求出A、B两点的坐标，同样，要求过点C的反比例函数的图象的解析式，需求出C点的坐标，过C画CE⊥x轴就很自然了．探究提高　这是一个一次函数与反比例函数的综合题，要求经过A、B两点的直线的解析式，需求出A、B两点的坐标，同样，要求过点C的反比例函数的图象的解析式，需求出C点的坐标，过C画CE⊥x轴就很自然了．

33. 易错警示 33．函数最值分段讨论，不能以偏概全 • 试题　茶厂种植某品牌绿茶，由历年来市场销售知道，从每年3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价为y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用图①中的一条折线表示，绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图②的抛物线表示． • (1)直接写出图①中表示的市场销售单价y(元)与上市时间t(天) • 的函数关系式； • (2)求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)的函 • 数关系式； • (3)若认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问 • 何时上市绿茶收益单价最大？ • (说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克)

36. 剖析　本题第(1)问与第(2)问根据图象可直接求出，也较容易，第(3)问求何时上市绿茶纯收益最大，错误地用市场销售单价的最大值减去种植成本单价的最小值，没有考剖析　本题第(1)问与第(2)问根据图象可直接求出，也较容易，第(3)问求何时上市绿茶纯收益最大，错误地用市场销售单价的最大值减去种植成本单价的最小值，没有考 • 虑到这两个最值并不是在同一个t值时取得．

40. 批阅笔记　因为市场销售单价 y (元)与种植成本单价z (元)都是上市时间t(天)的函数，所以纯收益单价应为 y－z (元)，也是上市时间 t (天)的函数，再由函数性质得出 t 取何值时，y－z 有最大值． • 注意 y 与 t 之间是分段函数，则 y－z 与 t 之间也是分段函数．

41. 思想方法 感悟提高 • 方法与技巧 • 函数思想是指在运动变化中，充分利用函数的概念、 • 图象及性质去观察问题、分析问题、转化问题、解决问 • 题．用函数思想解题，主要利用两点： • (1)分析自变量的取值范围，确定有关字母的取值范 • 围； • (2)根据函数的图象与性质，直观地发现解题思路．

42. 失误与防范 • 1．直线 y＝kx＋b 在y轴上的截距b表示直线与y轴交点的 • 纵向坐标，易与距离混淆，因此b为坐标可能为正、 • 负、零． • 2．对函数图象信息要把握准确，分析全面．根据二次函数 • 图象的信息，正确判断关系式中常数的符号等问题． • 3．在解决函数有关单调性、最值等问题时，不可以忽略二 • 次函数y＝ax2＋bx＋c的一次项、二次项系数的符号． • 4．在解决与函数有关的实际问题时，要建立正确的函数关 • 系及建模思想，准确把握自变量取值范围．

43. 完成考点跟踪训练46