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（一）教学前的准备 1. 在 △ ABC 中 ，因为 DE║BC 且 AD=DB, 所以 = （ ） 2. 由上面的练习可知， E 是 AC 的中点，我们把连结三角形两边中点线段叫做三角形 的中位线，这也是本节要研究的重点 ----- 写出课题。. A. 三 角 形 的 中 位 线. D. E. B. C. （图 4-119 ）.
E N D
（一）教学前的准备 1.在△ABC中，因为DE║BC且AD=DB,所以 = （ ） 2.由上面的练习可知，E是AC的中点，我们把连结三角形两边中点线段叫做三角形 的中位线，这也是本节要研究的重点-----写出课题。 A 三 角 形 的 中 位 线 D E B C （图4-119）
（二）探究新知 图4-119中，D，E分别是AD， AC的中点，所以DE是ΔABC的中位线。注意：三角形的中位线和三角形的中线不同 如图4-120，DE是ΔABC的一条中位线，如果过D作DE`//BC，交AC于DE,那么，DE和DE`会有怎样的关系？为什么？ DE和DE`应该重合。因为根据平行线等分线段定理推论2，E`与E应该重合。 因为根据平行线等分线段定理推论2，E`应是AC的中点，又因为点E 也是AC的中点，根据线段中点的唯一性可知，E和E`重合，所以DE和DE`重合，因此DE//BC。 A E(E') D C B （图4-121）
如图4-121，过D点作DF//AC交BC于F，则BF与FC有怎样的关系，为什么？四边形DFCE是什么形？（BF=FC，根据平行线等分线段定理的推论2，四边形DFCE是平行四边形）如图4-121，过D点作DF//AC交BC于F，则BF与FC有怎样的关系，为什么？四边形DFCE是什么形？（BF=FC，根据平行线等分线段定理的推论2，四边形DFCE是平行四边形） 所以 DE=FC 因为 FC=1/2BC 所以 DE=1/2BC 2．三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 因为 DE是ΔABC的中位线。 所以 DE//BC DE=1/2BC，（三角形中位线定理） 注意：定理的特点是，在一个题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的。在应用时，不一定同时需平行关系，有时需要倍分关系，可以根据具体情况，按需选用。 A D E(E') C B F （图4-120）
（ 例1）求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得到的四边形是平行 四边形。 已知：如图4-122，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。 分析：欲证四边形EFGH为平行四边形，可考虑证明它的两组对边分别平行，由于E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，若连AC则EF，HG分别是ΔABC和ΔADC的中位线，所以EF//=1/2AC，HG//=1/2AC，故EF//=HG，所以四边形EFGH为平边四边形。 证明：连结AC， A D E G B F C （图4-122）
因为AH=HD CG=DG， 所以HG//AC HG=1/2AC（ 三角形中位线定理） 同理可证：EF//AC，EF=1/2AC， 所以HG//=EF 所以四边形EFGH是平行四边形。 （三）练习 1 画出ΔABC的中线，中位线，并说出它们的区别。 2 （口答）A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点，M，N。如果测得MN=20cm，那么A，B两点的距离是多少？为什么？ 3 已知：三角形的各边分别为6cm、8cm、10cm,求连接各边中点构成的三角形的周长。
A 4 已知：梯形ABCD，AD//BC，对角线AC，BD相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是AO，BO，CO，DO的中点。 求证：（1）四边形A′B′C′D′分别是梯形； （2）梯形ABCD的周长等于梯形A′B′C′D′周长2倍。 5 如图4-123，已知：在ΔABC中，AD⊥BC，M，N，P分别是AB，BC，CA的中点。 求证：∠MNP=∠MDP 1 2 P M 3 C D N B （图4-123）
(四）总结 • 1三角形中位线的定义。 • 2三角形中位线定理。 • 3三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线，证明的方法很多，如下面几种添加辅助线方法也可以证明三角形中位线位置。 • 方法一：如图4-124，延长中位线DE到F，使EF=DE，连结CF，由ΔADE≌ΔCFE得AD//=FC，再由BD=AD，得BD//=CF，所以四边形DBCF是平行四边形，DF//=BC，因为DE=1/2DF，所以DE//=1/2BC。 • 方法二：如图4-125延长DE到F，使EF=DE，连结AF，DC，由对角线互相平分 • 可知四边形ADCF是平行四边形，得到BD//=CF，再由BD=AD，得到，BD//=CF • 所以四边形DBCF是平行四边形，DF//=BC，因为DE=1/2DF，所以DF//=1/2BC。
方 方法三：如图4-126，作CF//AB，与DE的延长线交于点F，通过证明ΔADE≌ΔCEF，得 得AD//=CF，再由BD=AD，得到，BD//=CF，所以四边形DBCF是平行四边形，所以DF//=BC，因为DE=1/2DF，所以DE//=1/2BC。 注意：以上几种证法的关键是把三角形补成平行四边形来证的，当一个命题有几种证明方法时，要选用比较简捷的方法进行证明。 1 1 三角形中位线定理的作用 （1）位置关系：可以证明两条直线平行。 （2）数量关系：可以证明线段的相等倍分。 2 三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形，要会区别三角形与中位线。
