§ 10 ． 6 高斯公式通量与散度

§10．6 高斯公式通量与散度 一、高斯公式二、通量与散度高斯公式的物理意义、散度散度的计算、通量、高斯公式的另一形式

一、高斯公式 定理1设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一阶连续偏导数，则有这里S是W的整个边界的外侧，cosa 、cosb、cosg是S上点(x, y, z) 处的法向量的方向余弦．这两个公式称为高斯公式．证明

S2 ：zz2(x, y) z S3 W S1 ：zz1(x, y) y O x 简要证明：如图所示，把S看成由S1，S2和S3三部分组成，其中S1和S2的方程分别为zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下侧，S2 取上侧，S3 取外侧．设闭区域W在xOy面上的投影区域为Dxy． Dxy

根据三重积分的计算法，有 另一方面，有以上三式相加，得

类似地有 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式．

z 3 1 O y 1 x 解这里P(yz)x，Q0，Rxy，由高斯公式，有

z S1 h S O y x2y2h 2 x 解设S1为zh(x2y2h 2)的上侧，则S与S1一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为W．

由高斯公式得 而因此

二、通量与散度 高斯公式的物理意义：高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量，左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量．

散度： 在流速场 F{ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)} 内一定点M(x, y, z)附近任取一包围M点的闭曲面S，设S所围成的区域为W，W的体积为V，则表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量，而表示在点M处单位时间内所产生的流量，我们称其为向量场F在点M的散度，记为divF，即

散度的计算： 设P、Q、R具有一阶连续偏导数，则通量：设S是向量场F内的一片有向曲面，n是S上点(x, y, z)处的单位法向量，则叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量（或流量）．高斯公式的另一形式：

§ 10 ． 6 高斯公式 通量与散度