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El Cuadrado mágico

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Clarita y Efraim PPS. El Cuadrado mágico.

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Presentation Transcript
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Clarita y Efraim

PPS

El Cuadrado mágico

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Un cuadrado mágico es la disposición de una serie de números enteros en un cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la misma, la constante mágica. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el número de columnas y filas del cuadrado mágico.

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Se cuenta  que el primer cuadrado mágico fue encontrado en la antigua China en el siglo IV antes de Cristo. El mito señala que hace unos 4200 años en un lugar de China, el emperador Yu había decidido hacer ciertas ofrendas a los dioses para calmar su ira. La historia era que el río Lo (Río Amarillo) se había desbordado, lo que causó grandes destrozos y gran mortandad entre sus súbditos. Con el fin de amortiguar la furia divina, el emperador ofreció 3 animales a los Dioses. El altar estaba junto al río, y de ahí salió una tortuga sagrada, se acercó a los tres animales sacrificados y regresó al río. Era evidente que a los dioses no les complacía la ofrenda. Así que el emperador Yu hizo sacrificar otro animal. La tortuga volvió a salir, pero también se retiró. ¿Qué número de animales agradaría a los Dioses?. Había entre los pajes del emperador un joven muy avispado, que dijo haber visto en el caparazón de la tortuga unos signos como cuentas o puntos agrupados. Inmediatamente los escribió en la tierra y pudo verse el siguiente dibujo:

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).Compilado por Bao Yunlong en el siglo XIII,edición de la Dinastía Ming, 1457-1463.

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Equivale a la disposición numérica de un cuadrado mágico de 3×3. El emperador Yu situado frente  al dibujo  observó algo asombroso, los nueve primeros números del mundo, sumados en cualquier dirección, vertical, horizontal y diagonal sumaban quince. Así supieron que el número de animales que debían sacrificarse a los dioses era quince. Este cuadrado mágico chino, el primero de cuantos se conocen, se llama Lo Shu (El libro del río Lo), y tiene otras propiedades importantes.

Por ejemplo, en las cuatro esquinas están los números pares (Yin), y los números impares (Yang) forman una cruz central.

El número 5, que está en el centro, simboliza la Tierra, y los  otros cuatro elementos del universo oriental se representan por las parejas adyacentes: los metales (4 y 9), el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6) y la madera (3 y 8).

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Otra leyenda

Cuenta otra leyenda que el emperador Yu lo vio inscrito en el caparazón de una tortuga en las orillas del río Amarillo y que mandó copiarlo en una tablilla de barro inmediatamente. Desde entonces, se le atribuyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas y mágicas que servían en la astrología y en la predicción del futuro. Para los chinos los números pares representan el "yin", el principio femenino del universo, y los números impares representan el "yang", el principio masculino. En el cuadrado mágico "lo-shu" ambos principios se encuentran armoniosamente distribuidos y se complementan de manera natural.

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Así, como recoge Cornelius Agrippa en De oculta philosophia libri tres (1533), el

cuadrado de orden 3 (15) estaba consagrado a Saturno, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Marte, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio y el de 9 (369) a la Luna; idéntica atribución puede encontrarse en la astrología hindú.

Cuadrado de orden 3

Cuadrado de orden 4

Cuadrado de orden 5

Cuadrado de orden 6

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Igualmente conocieron combinaciones de esta clase los indios, egipcios, árabes y griegos. A tales cuadrados, las diferentes culturas les han atribuido propiedades astrológicas y adivinatorias portentosas grabándose con frecuencia en talismanes

En Khajuraho (Índia) un templo construido entre los siglos XI y XII tiene un pilar rodeado por una cuadrícula con un cuadrado mágico de orden 4 el cual sería equivalente –traduciendo los caracteres- a la siguiente imagen:

    Como se puede observar fácilmente, todas sus filas, columnas y diagonales suman 34. Pero además, sus diagonales “quebradas” (las líneas imaginarias trazadas desde cada número de la primera fila), sus esquinas, sus cuatreo cuadrantes y el cuadrado central también suman 34. Sin duda, un trabajo impresionante de algún matemático hindú.

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Los matemáticos árabes descubrieron los cuadrados mágicos por contacto con esta tradición hindú y también se sintieron fascinados por sus características y, probablemente los difundieron por Occidente durante la Edad Media.    El casillero de este cuadrado mágico árabe está formado por las letras de la palabra Alà. Todas sus filas, columnas y diagonales suman 66, cifra que en el Islam corresponde al valor numérico de Alà.

Imagen del cuadrado magico de Ala

Traduccion a digitos modernos

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Cuadrado Mágico Aritmético.

Son un conjunto de números iguales o diferentes colocados en  las casillas  de un cuadrado y que se caracterizan porque la sumas de sus filas, columnas y diagonales principales es siempre la misma, el valor de la suma es denominado Contante del Cuadrado.

El cuadrado magico de Durero

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Cuadrados Latinos.

Son un conjunto de símbolos dispuestos en las casillas de tal manera que cada símbolo aparezca una sola vez en cada fila y columna.

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+

=

+

=

Los cuadrados grecolatinos.

Son el resultado de la combinación de dos cuadrados latinos de modo que cada símbolo del primero se combine con cada símbolo del segundo una y sólo una vez.

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Tableros Mágicos.

Don Richi, a finales del siglo XX estudio los cuadrados mágicos aritméticos y encontró que para una misma constante del cuadrado se podían encontrar infinitas posibilidades, formada no sólo con números naturales, sino con enteros, fracciones, números racionales, etc. Pero también  encontró que se pueden realizar cuadrados mágicos multiplicando las cantidades; estos para diferenciarlos de los cuadrados mágicos aritméticos los denominó tableros mágicos

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Los Sudoku

El  sudoku es un juego de moda basado en cálculos matemáticos, el sudoku clásico está compuesto por nueve filas y nueve columnas, y a su vez está dividido en nueve celdas de tres por tres. Dentro de cada celda hay colocados algunos dígitos guía, y falta completar con los dígitos del 1 al 9; con la única condición de que en toda la malla no se repita en fila o columna un número. La propiedad básica del sudoku clásico es que las filas y columnas suman una constante (1+2+3+…+9=45), no así las diagonales.

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Cuadrados Mágicos Aritméticos

Son cuadrados mágicos aritméticos  un conjunto de números enteros, iguales o diferentes, colocados en casillas de un enrejado cuadrado de tal manera que la suma de los números en cada fila, columna o diagonal principal sea siempre la misma, ese número contante se denomina Constante del Cuadrado y el número de casillas de una fila o columna es el Orden del Cuadrado.

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Tradicionalmente se les imponía a los cuadrados mágicos aritméticos una condición extra, los números debían ser consecutivos e iniciar en el uno. Con estas combinaciones se les conoce como Cuadrados MágicosAritméticos Esotéricos, y se les atribuían propiedades mágicas. Por ejemplo, en el Renacimiento, los médicos y astrólogos de la época recetaban cuadrados mágicos de cuarto orden con fines terapéuticos, como una forma de que los pacientes ahuyentaran la melancolía y el aburrimiento (Claro que esto sólo servía a las clases altas que sabían leer y escribir, y que estaban aburridas de ver trabajar a los siervos; el pobre que debía trabajar para comer y que era analfabeta no tenía tiempo para estos juegos de solitarios).

Aquí está el origen del grabado de la “Melancolía” del alemán Alberto Durero, quien puso un cuadrado mágico de cuarto orden en la obra indicando incluso el año de la misma 1514. Se tiene que sólo existe un cuadrado esotérico de orden tres, en 1693  Frenicle De Bessy estableció que existen 880 cuadrados mágicos esotéricos de orden cuatro, hay 275.305.224 combinaciones posibles para el orden cinco, para ordenes mayores sólo existen estimaciones, así que si había ejercicio mental en encontrar tantas posibilidades para el orden cuatro como sujerían los médicos de la epoca.

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Los cuadrados aritméticos esotéricos reciben el nombre de Cuadrados diabólicos si además de las diagonales principales, el resto de las diagonales quebradas suman el número mágico. El cuadrado mágico de Durero ha sido clasificado en esta categoría en virtud de que  aparecen muchas combinaciones regulares dentro del cuadrado que dan el número mágico, pero no cumple con esta condición extra para realmente ser considerado diabólico. También suele ser llamado cuadrado diabólico o satánico el cuadrado esotérico de orden seis, en virtud de que la suma de los números de 1 al 36 tiene por resultado 666, número asociado a la bestia (Satanás o el anticristo) en el Libro de las Revelaciones.

Para ver la continuacion del articulo:

http://arescronida.wordpress.com/2009/07/

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Los Cuadrados Mágicos

El cuadrado Mágico de Durero

El cuadrado mágico de Alberto Durero, tallado en su obra Melancolía está considerado el primero de las artes europeas. En el cuadrado de orden cuatro se obtiene la constante mágica (34) en filas, columnas, diagonales principales, y en las cuatro submatrices de orden 2 en las que puede dividirse el cuadrado, sumando los números de las esquinas, los cuatro números centrales, los dos números centrales de las filas (o columnas) primera y última, etc. y siendo las dos cifras centrales de la última fila 1514 el año de ejecución de la obra.

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Para resolver cuadrados mágicos de orden par, seguiremos los siguientes pasos, que son mucho más fáciles de aplicar de lo que puede parecer en un primer momento:    Utilizaré, en primero lugar, un cuadrado de orden 4, que es el menor de los de orden par, para aclararlo mejor.    · 1. Comenzaremos por situar el número 1 (o la 1ª cifra de la serie) en el extremo superior izquierda y entonces escribiremos, desplazándonos de izquierda a derecha, sólo las cifras correspondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales.

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2. Ahora nos situaremos en la primera casilla inferior derecha en blanco, vecina de la del extremo, dónde pondremos el número 2 (o la 2ª cifra de la serie) e iremos desplazándonos hacia arriba y en sentido de derecha a izquierda para ir completando, en estricto orden, las casillas que faltan, es decir, las que forman los interiores de las diagonales principales y las dos casillas exteriores de las filas centrales.    Es decir, pondremos el 2 e iremos contando de uno en uno hasta llegar a una de las casillas mencionadas, entonces escribimos esta cifra y las seguimos enumerando, si se acaba una fila subimos a la anterior y cambiamos de sentido (zigzag), hasta llegar al extremo superior izquierda.    De hecho, como se puede observar, el cuadrado mágico de orden 4 ya ha quedado completamente resuelto.

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Una pequeña reflexión, llegado este punto, si comparamos este cuadrado con el de Dürer, podemos comprobar que son completamente simétricos, de hecho si aplicamos el método situando la cifra 1 en el extremo inferior derecho y lo hacemos todo a la inversa ¡¡obtendremos el cuadrado mágico de Dürer!!

¿Es, por tanto, tan especial como piensan algunos?

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La introducción de los cuadrados mágicos en occidente se atribuye a Emanuel Moschopoulos en torno al siglo XIV, autor de un manuscrito en el que por vez primera se explican algunos métodos para construirlos. Con posterioridad, el estudio de sus propiedades, ya con carácter científico, atrajo la atención de grandes matemáticos que dedicaron al asunto obras diversas a pesar de la manifiesta inutilidad práctica de los cuadrados mágicos. Entre ellos cabe citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frenicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler,... diríase que ningún matemático ilustre ha podido escapar a su hechizo.

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El Criptograma de Gaudí

Uno de los cuadrados mágicos de orden cuatro que llama poderosamente la atención del transeúnte es el cuadrado incorporado en la fachada de la Pasión de Cristo en el Templo  de la Sagrada Familia, en Barcelona, obra del arquitecto español Antonio Gaudí. El cuadrado se encuentra junto al grupo escultórico “El beso de Judas” y  la constante mágica de este cuadrado es 33, la edad de Jesucristo. Para lograr ello (ya que la contante del cuadrado esotérico de orden cuatro es treinta y cuatro) se requirió modificar dos de los números de la serie natural, quedando el 12 convertido en 10 y el 16 en 14, creando repeticiones en la serie y así poder disminuir el 34 natural a 33. Si bien no se trata de un cuadrado esotérico, sino un aritmético cualquiera, lo interesante es que al igual que el cuadrado de Durero aparecen combinaciones de cuatro números que siguen formando la constante mágica. Algunos señalan incluso que este número se refiere también a los grados dentro de la Orden de los Masones

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El cuadrado de Benjamin Franklin

       Benjamin Franklin, uno de los grandes próceres del proceso de Independencia de los Estados Unidos y uno de los autores de la Constitución Norteamericana, recordado político e inventor norteamericano del pararrayos y de un tipo de lentes bifocales,  se divertía con un pasatiempo matemático similar al  moderno Sudoku, retando a sus amigos a que descubrieran cómo lo había elaborado, algo que era tan difícil, que su creador escribió con orgullo a su amigo John Winthrop, profesor de matemáticas de la Universidad de Harvard, “que había dejado perplejas a las mentes más agudas del Imperio Británico“. El cuadrado en cuestión es:

Aunque el propio autor reconoce que  empezó a elaborar “cuadrados mágicos” inspirado por un libro francés, con el fin de superar a los matemáticos galos en este arte, pero después en su diario se lamentaba de haber perdido el tiempo en una ocupación “que no sería de utilidad ni para sí mismo ni para los demás.” El cuadrado mágico en cuestión, cumple con la regla de las sumas de las filas y de las columnas, siendo la constante del cuadrado 260; pero no cumple con la regla de la suma de las diagonales principales.

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Pero tiene otras propiedades, si se divide el cuadrado en cuatro partes iguales,

cada una de las filas y columnas de cada subcuadrado suman 130.

Los cuatro números de una diagonal que sube más los cuatro número

de la diagonal respectiva que baja suman 260

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La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 x 2 es 130.

Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260.

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Los Cuadrados Mágicos de Agripa

Enrique Cornelio Agrippa (1486-1535) fue un mago alemán, en su obra “De oculta Philosophia“,  dividida en tres libros: Magia Natural (Física), Magia Celeste (Matemáticas) y Magia Ceremonial (Teología)  involucró los siete planetas conocidos con siete cuadrados mágicos, describiendo las virtudes mágicas de los siete cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 asociado a cada uno de los  planetas astrológicos.

1.- Cuadrado mágico de Saturno

Es de orden 3 y utiliza todos los números de 1 a 9. La constante mágica es el 15 y la suma de todos los números de cuadrado es de 45. El quince y el cuarenta y cinco son triangulares números. Los colores aplicados a este cuadrado  son el blanco para los números y negro para la fondo, siendo el metal asociados a Saturno el plomo, su color oscuro lo asocia a la muerte y el fin.

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2.- Cuadrado mágico de Júpiter

El cuadrado de Júpiter es de orden 4. La constante mágica es de 34 [2 x 17 = 34] el producto del dos , primer número  femenino y el diecisiete, un número primo masculino. La suma de todos los números del cuadrado es 136.  Los colores de las letras son el naranja para los números y el azul para el fondo, el metal es el estaño por su color azulado que lo vincula al cielo.

3.- Cuadrado mágico de Marte

El cuadrado del planeta Marte es de orden 5, su constante mágica es 65,  número producto de 5 y 13, dos números importantes en simbología (el cinco es el número del hombre y el trece es el número de la carta de la muerte). Los colores son el verde para los números y el rojo para el fondo, y su metal es el hierro.

4.- Cuadrado mágico del Sol

Agripa dice que el cuadro del Sol es un cuadrado 6 x 6, con treinta y seis números. Cada columna vertical, fila horizontal o diagonal principal suman 111,  y la suma de todos los números de cuadrado es 666, el número de la Bestia en Apocalipsis. Los colores son violeta o magenta para los números y amarillo para el fondo; el metal del Sol es el oro.

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5.- Cuadrado mágico de Venus

Venus cuadrado es de orden 7,  su constante mágica es de 175. Los colores de la tabla son: el amarillo limón para los números y de color verde oscuro para el fondo, siendo el metal de Venus el bronce.

6.- Cuadrado mágico de Mercurio

Mercurio cuadrado es de orden 8,  su constante mágica es 260, la suma de todos los números de cuadrado es 2080. Los colores son el claro azul para los números y naranja para el fondo. El metal de mercurio es el mercurio, único  metal líquido a temperatura ambiente.

7.- Cuadrado mágico de la Luna

Luna cuadrado es de orden 9, su constante mágica es 369, números formados por 3×1, 3×2, 3×3. Los colores son opuestos a los colores del Sol,  amarillo para los números y morado o magenta para el fondo. El metal de la Luna es la plata.

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Cuadrado Mágico "en un tablero de ajedrez"

    Este cuadrado mágico de orden 8, está formado por los números del 1 al 64.     Tiene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a 260, pero también lo es la suma de sus cuatro esquinas con los cuatro números centrales. La suma total de las casillas blancas y negras es idéntica, las fuerzas se mantienen equilibradas, e igual a 1040.

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El problema del caballo

Leonard Euler, nacido el 15 de abril 1707, en los alrededores de Basilea (Suiza), ha sido considerado uno de los matemáticos más prolífico,  su obra se aproxima al millar de títulos, incluidos libros y artículos. Se han recopilado 866 trabajos suyos, dentro de los cuales existen aportaciones directas en matemáticas, astronomía, náutica, arquitectura, artillería, música y filosofía.  En el siglo XIX Euler  se planteó y resolvió el “problema del movimiento del caballo” que dice así:

Andar con el caballo por todas las casillas del tablero de ajedrez sin estar dos veces en ninguna de ellas.

La solución del problema, dio dos respuestas a dos problemas distintos, el primero ya plantado; y el segundo es que el resultado es una solución a un cuadrado mágico aritmético esotérico de orden ocho y de contante 260; Como  curiosidad  extra el cuadrado resultante al ser dividido en cuatro cuadrados iguales, estos subcuadrados de orden cuatro todos tienen contante del cuadrado igual a 130.

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Cuadrados Mágicos

  Los cuadrados mágicos son cuadrados formados por letras, símbolos o números dispuestos de un modo particular y que antiguamente les atribuían propiedades mágicas. Existen muchos tipos de cuadrados mágicos, entre ellos tenemos los siguientes:

1.- Cuadrados de figuras con reglas especificas.

Destaca en este caso el antiguo problema de Gauss de determinar  de cuántas maneras es posible colocar ocho reinas en un tablero de ajedrez de tal manera que ninguna pueda atacar a la otra. La respuesta es que hay 92 formas posibles.

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Hay cuadrados mágicos que pueden tener la notable propiedad de contener otro cuadrado mágico en su interior de orden inferior, por tanto, son cuadrados mágicos dobles. Incluso se pueden construir algunos que contienen sucesivos cuadrados mágicos en su interior en capas concéntricas.    Aquí os propongo un ejemplo de cuadrado mágico doble de orden 5 que contiene en su interior otro de orden 3.    La suma de las filas, columnas y diagonales del cuadrado mágico de orden 5 es igual a 75, mientras que las del cuadrado menor de orden 3 es igual a 45.

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Como armar un cuadrado magico de orden 5

El método básico consiste en añadir lateralmente a los cuatro lados series virtuales de casillas, de forma triangular, de manera que nos quede la figura de un rombo. (Paso número 1)    Entonces, y comenzando desde el extremo superior, situaremos todas las cifras –a partir del 1- siguiendo sólo las diagonales alternas formadas en el rombo, observad que quedan, por tanto, líneas diagonales y casillas interiores del cuadrado en blanco. (Paso número 2)    El cuadrado mágico se completa situando los números que han quedado en las casillas “virtuales” exteriores del cuadrado, en las casillas interiores en blanco, siguiendo primero una simetría horizontal, las del triángulo superior pasan a completar la parte inferior, como si lo recortásemos y lo pegásemos sin girarlo y las del triángulo inferior en la parte superior; y una simetría vertical, las de la parte exterior derecha en la interior izquierda y al revés. (Paso número 3)    Esta imagen ilustra claramente este procedimiento:

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El "Cuadrado Mágico Divino"

    Este cuadrado mágico de orden 10 (*) , está formado por los 100 primeros números pares.    Tiene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a 1010  (Déu-Déu).    Por cierto, el número 1010 en sistema binario es igual al 10 en sistema decimal!!     10102 = 1010

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Estrellas magicas

Any magic star can be made into another magic star by complementing each number of the original star in turn. This is done by subtracting each number from n + 1. In the case of the order-6 star, which uses the numbers 1 to 12, you subtract each number from 13 to obtain the new number.

http://www.reocities.com/~harveyh/magicstar

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“Cuadrado Sator”

Con la expresión cuadrado Sator se indica una estructura con forma de cuadrado mágico compuesta por cinco palabras latinas: SATOR, AREPO, TENET, OPERA, ROTAS, que, consideradas en conjunto (de izquierda a derecha o de arriba abajo), dan lugar a un palíndromo.

Al disponer las palabras en una matriz cuadrada, se obtiene una estructura que recuerda la de los cuadrados mágicos de tipo numérico. Las cinco palabras se repiten si son leídas de izquierda a derecha o de derecha a izquierda, o bien, de arriba abajo o de abajo hacia arriba. En el centro del cuadrado la palabra TENET forma una cruz.

Square in St. Peter ad Oratorium.

El cuadrado de Sator en Oppède.

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El enigma del significado

Resulta difícil establecer con certeza el significado literal de la frase compuesta por esas cinco palabras, ya que el término AREPO no existe, estrictamente, en la lengua latina. Algunas conjeturas sobre esa palabra llevan a una traducción, con sentido poco claro, como el sembrador, con su carro, mantiene con destreza las ruedas

El curioso cuadrado mágico es visible en un número bastante amplio de hallazgos arqueológicos esparcidos por varias partes de Europa. Se han encontrado en ruinas romanas de Cirencester (la antigua Corinium) en Inglaterra, en el castillo de Rochemaure, en Oppède, en Siena (pared de la catedral), en la abadía de Collepardo, Santiago de Compostela, etc. A veces las cinco palabras se encuentran dispuestas en forma radial, como en la Abadía de Valvisciolo en Sermoneta.

El ejemplo más antiguo y célebre es el de las excavaciones de Pompeya y fue hallado en el año 1925. Es una incisión en una columna del gran gimnasio: tuvo gran importancia en los estudios que se han realizado sobre la historia del cuadrado. El hecho de que el cuadrado sator se encontro en Pompeya indica que este cuadrado no tiene nada que ver con la cristiandad, como algunos investigadores lo explican…

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Pentacolo di Saturno derivato dal SATOR

ח-  וְיֵרְדְּ, מִיָּם עַד-יָם;   

וּמִנָּהָר, עַד-אַפְסֵי-אָרֶץ.

(derivazione ebraica dal SATOR)

Il celebre esoterista Samuel Liddel MacGregor Mathers (1854-1918, foto a lato), uno tra i massimi esponenti dell'Ordine del Golden Dawn, si sofferma a lungo sul quadrato del SATOR nella sua traduzione e riedizione di un antico manoscritto ebraico conservato presso la Bibliothèque de l'Arsenal a Parigi, "The Sacred Magic of Abramelin the Mage", del 1458. MacGregor Mathers afferma che il SATOR è uno dei pentacoli della chiave di Salomone. Esso va tracciato sostituendo alle lettere latine quelle corrispondenti nell'alfabeto ebraico, il tutto va poi inserito in un doppio cerchio, all'interno del quale va iscritto il seguente versetto del Salmo LXXII, 8: «Il suo dominio sarà dall'uno all'altro mare, e dalle acque fino ai confini del mondo». Questo versetto, nell'edizione originale ebraica, si compone esattamente di 25 lettere come quelle del quadrato magico. Il pentacolo in questione, riprodotto in fig. 2, è tratto da un'altra opera di MacGregor Mathers, "The Greater Key of Solomon", ricavata da alcuni manoscritti antichi conservati, stavolta, al British Museum di Londra. Tornando al libro di Abramelin, invece, l'autore riporta un cospicuo numero di altri quadrati magici "cabalistici", tra i quali uno particolarmente simile (libro terzo, capitolo XIX, pentacolo 9, v. fig. 3)

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http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico

http://es.wikipedia.org/wiki/Alberto_Durero

http://arescronida.wordpress.com/2009/07/

http://arescronida.wordpress.com/2009/07/

http://www.reocities.com/~harveyh/magicstar_x2.htm

http://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html

http://www.trump.de/magic-squares/

http://en.wikipedia.org/wiki/Sator_Square

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_las_ocho_reinas

http://he.wikipedia.חידת שמונה המלכות

http://www.notes.co.il/sakal/23452.asp

http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html

http://www.artype.de/quadrate/index.html

soluciones de las ocho reinas

http://www.grogono.com/magic/individual.php

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