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§4—5 相关分析

§4—5 相关分析. 相关分析 ：分析研究两个或两个以上随机变量之间的关系，称作相关分析。 一、相关关系的概念 两种变量之间的关系，一般分 3 种情况： 1 、 完全相关 2 、 零相关 3 、 统计相关. 1 、 完全相关 （函数关系）. 这种情况在水文现象中很少发生。. 2 、 零相关 （没有关系）. 3 、 统计相关 （相关关系）：. 在水文计算中进行相关分析，主要是： 判断变量间相关关系的密切程度 ； 建立变量间的相关方程或相关线 ； 由已知变量推求未知变量 。 常用 相关分析法来插补延长短期水文系列. 二、相关的种类.

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§4—5 相关分析

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Presentation Transcript

  1. §4—5 相关分析 相关分析：分析研究两个或两个以上随机变量之间的关系，称作相关分析。 一、相关关系的概念 两种变量之间的关系，一般分3种情况： 1、完全相关 2、零相关 3、统计相关

  2. 1、完全相关（函数关系） 这种情况在水文现象中很少发生。

  3. 2、零相关（没有关系）

  4. 3、统计相关（相关关系）：

  5. 在水文计算中进行相关分析，主要是： • 判断变量间相关关系的密切程度； • 建立变量间的相关方程或相关线； • 由已知变量推求未知变量。 常用相关分析法来插补延长短期水文系列

  6. 二、相关的种类 1、简相关 两个变量间的相关关系称简相关或二元相关。直线（线性）相关和曲线（非线性）相关两种形式。 2、复相关 三个或三个以上变量的相关，称复相关或多元相关。也可分直线相关和曲线相关两种。 在水文计算中，简单直线相关的应用最为普遍。

  7. 三、简单直线相关 （一）相关图解法 • 适用条件：如果相关点分布集中，可以直接利用作图法求相关线及其相关方程。 • 方法：相关线可根据点群分布趋势，通过点群中心目估定出。 • 它反映了两变量间的平均关系。

  8. 目估定线时应注意的问题 1、应使相关线两侧点据的离差 大致相等； 2、对离差较大的个别点不得轻率地改动或删略，须查明原因； 3、相关线应通过同步系列的均值点（ ， ）。

  9. 设相关直线方程为y=a+bx，可由图上直接求得a、b。设相关直线方程为y=a+bx，可由图上直接求得a、b。 a为直线在纵轴的截距，b为直线的斜率。 根据确定的相关线或相关方程就可由x系列插补展延y系列。

  10. y=a+bx -△y +△y yi （二）相关计算法 • 适用条件： （1）相关点的分布较分散，目估定线无把握； （2）精度要求较高。 1、回归方程式 图中，相关点（xi，yi）与直线在纵轴方向的离差：

  11. 直线与实测点能“最佳”拟合的条件是离差Δy的平方和为“最小”。即：直线与实测点能“最佳”拟合的条件是离差Δy的平方和为“最小”。即： 为极小值。使上式取得极小值，应满足：

  12. 解得：

  13. y倚x的回归方程式为： r ——相关系数，表示x、y间关系的密切程度。 回归线的斜率为 ，它称作y倚x的回归系数，记为 ，即 。因此，只需算出 和 ， 回归方程和回归线就确定了。

  14. 同理，可推得x 倚y的回归方程式：

  15. 2、回归线的误差 回归线的误差常用均方误来表示，y倚x的均方误为： 同样，x倚y回归线的均方误为：

  16. 3、相关系数 r 当 时，为完全相关； 当 r=0时，为零相关； 当 时，为统计相关（相关关系）。 在统计相关中， 愈接近1，说明两变量间的相关程度愈密切。

  17. (三)相关分析中应注意的事项 1、首先必须分析论证变量间是否确实存在着成因上的联系，要防止假相关。 2、同期观测资料不能太少，要求n>10或12。 3、要有较大的相关系数，一般认为 ，相关分析成果才可应用。

  18. (三)相关分析中应注意的事项 4、用相关法展延系列时，还应尽量避免辗转相关。 5、外延幅度不能太大。 6、回归线的均方误Sy小于 的15%。

  19. 实例 已知江苏省某地区甲、乙两站具有1965年及1967年～1983年计18年的年雨量同步资料，如表中（1）～（4）栏所列，试用相关计算法进行甲、乙两站年雨量相关分析；又已知1966年甲站年雨为945.7mm，试插补该年乙站缺测的年雨量。 解：设甲站年雨量x为自变量，乙站年雨量y为倚变量，计算步骤如下：

  20. 1、将yi与xi的对应值点绘于方格纸上得相关点，如图，点群分布趋势呈直线，故可作y倚x的直线回归计算。1、将yi与xi的对应值点绘于方格纸上得相关点，如图，点群分布趋势呈直线，故可作y倚x的直线回归计算。 2、计算x、y系列的均值：

  21. 回归线

  22. 甲站与乙站年雨量相关计算表

  23. 3、计算表中（5）～（11）栏的各项数值； 4、计算

  24. 5、计算相关系数r 可见，甲、乙两站雨量相关较密切。 6、计算回归系数Ry/x： 7、求得y倚x的回归方程式为： y-1106.9=0.81（x-1064.0）或 y=0.81x+245.1

  25. 8、计算回归直线的均方误： 9、由回归方程求得1966年乙站年雨量：

  26. 四、曲线相关 1、幂函数 幂函数的一般形式为：y=axn， 两边取对数，并令lgy=Y，lga=A，lgx=X， 则有：Y=A+nX，对X和Y而言就是直线关系。

  27. 2、指数函数 指数函数的一般形式为y=aebx, 两边取对数，并令lgy=Y，lga=A，blge=B， 则有Y=A+Bx。 这样对Y和X同样也可作直线相关分析。

  28. 本节小结 一、基本概念 1、相关分析 2、统计相关 二、相关的种类（按变量多少） 三、简单直线相关分析方法及各自适用条件 四、相关分析中应注意的事项

  29. 本章小结 一、概率的加法定理和乘法定理 二、随机变量的三个统计参数的计算公式及 各自对密度曲线和频率曲线的影响 三、频率与重现期的关系 四、配线法的步骤 五、相关分析及注意事项

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