北京理工大学机电工程学院郝新红 E-mail: haoxinhong@bit Tel: 68914850

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系统 仿真实验系统建模仿真建模模型计算机计算机仿真三要素及三个基本活动

第四章连续系统模型的离散化处理方法 本章的主要内容：掌握替换法，根匹配法，离散相似法。这些方法的作用是将连续的模型进行离散化处理，得到一个“等效”的离散化模型。

4.1 替换法 替换法的基本思想：对于给定的传递函数　　，设法找到S域到Z域的某种映射关系，将S域的变量映射到Z平面上，得到与连续系统传递函数　相对应的离散传函　。进而求得系统的时域离散模型－－差分方程。此方法面向传递函数

4.1.1 派德(Pade)近似公式 S域到Z域的最基本的映射关系是Z变换式或　　　　　 (其中T为采样周期）。 Pade证明，可以用一个有理分式来逼近无理函数

4.1.2 简单替换法 替换关系式又称Euler映射法。例4.1已知二阶系统传递函数用简单替换法确定它的Z传递函数和差分方程。解：　　做变换　　　　　得：

进行ｚ反变换，得

以上题为例说明简单替换法相当于 数值积分方法中的简单欧拉法。特点：实质为欧拉法，一阶精度，可能会使离散模型不稳定。

图 S域到Z域的映射关系 简单替换法稳定域分析

结论 Z平面上单位圆通过简单替换对应于S平面上以（- ,0）为圆心，以1/T为半径的圆。即S左半平面只有圆中的点通过简单替换才能映射到Z平面上单位圆内。

简单替换的主要缺点: 对于稳定的系统，可能会使得离散模型不稳定，因而这一方法建立的仿真模型不一定可靠，实用性较差。

4.1.3 双线性替换（Tustin)法 • 替换关系又称Tustin变换。例4.2利用Tustin变换求差分模型解：

进行z 反变换得

用改进欧拉法 以积分环节为例说明双线性替换相当于数值积分方法中的改进欧拉法。进行z 反变换得

高阶系统双线性替换的计算机程序的自动实现 对于一些低阶系统，可以用直接代入的方法，通过手工计算求得相应的Z传递函数，但对于高阶系统来说，可用程序自动实现。

例分子分母同乘以进行双线性变换

以上两式右端最后一个向量，可表为

其中，矩阵 的第一列元素均为1，而第一行诸元素依次为多项式展开式的各系数，其余的元素可按下式求得 i,j=1,2,0,…,n 从而

由此得到的分子分母系数表达式 而

开始输入系统阶次n,采样间隔T,控制系统参数置x(i,0)=1,i=0,1…n X(0,j)= ,j=0,1,…,n x(i,j)=x(i-1,j)-x(i,j-1)-x(i-1,j-1) i,j=1,2,…,n 计算系数 i=0,1,2,…,n 打印输出差分模型按（4.12) 式进行递推运算打印输出递推结果否终止递推是停止 i=(0,1,…,n),并输入n个初始条件 ( P111 )

双线性替换性能评价 • 稳定性双线性替换不影响稳定性。在S域里稳定的系统G(S)，通过双线性替换之后，得到的Z传递函数G(Z)也一定是稳定的。证明：则

从而结论：双线性替换将Z平面上的单位圆满射到S平面的左半复平面。这是双线性替换的主要优点，在实践中获得广泛应用。

j j [s] [z] 0 -1 0 1 S平面虚轴的映射 (b) （a) 双线性替换的映射关系

(2)　双线性替换的精度 考察幅相特性。进行双线性替换后的模型：

　将　　　代入(4.22),将 　　　　　　　　　　代入(4.23),求得幅频和相频特性。 ( P112 )

(3) 双线性替换保持模型的阶次不变，而且使得G(Z)的分子和分母具有相同的阶次。双线性替换不仅保持阶次的不变性，还自动地在G(Z)的分子上添加个点 (m,n分别为传函G(S)的分子分母阶次）。 • 双线性替换的频率特性：双线性替换后得到的离散模型的频率特性和原模型G(S)是近似的，在低频段吻合的很好，但高频段相差比较大，所以双线性替换主要用于一些有限带宽的网络系统。 • 增益不变：双线性替换之后传递函数的稳态增益不变，这一点是显然的。

(6) 双线性替具有串联性 设为两个线性系统传递函数，若则可以证明：其中分别是经替换后的Z传递函数双线性替换的这一性质，使得可以用简单的低阶环节串联在一起来等效一个高阶复杂系统。 (7) 高阶复杂系统的双线性替换可以借助于计算机程序自动实现，这给高阶系统的离散化处理带来极大方便. 典型环节应用

本节小结 1 掌握简单替换法和双线性替换法的稳定性、精度、运算速度及适用性。 2 能够利用上述两种方法求解系统的时域差分方程。

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