地中海的灿烂阳光 ----- 希腊的数学

1. 2 地中海的灿烂阳光-----希腊的数学

2. 从公元前2000年左右到公元前30年,古代希腊人以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心,在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家(如图2-1).特别是在公元前5、6世纪希波战争以后,雅典取得了希腊社会的霸主地位,经济生活高度繁荣,生产力显著提高,在这个基础上产生了在整个世界文明史中都占有十分重要的地位的希腊文化,数学也是其中非常重要的一个组成部分.从公元前2000年左右到公元前30年,古代希腊人以巴尔干半岛、爱琴海诸岛和小亚细亚沿岸为中心,在包括北非、西亚和意大利半岛南部及西西里岛的整个地中海地区建立起了一系列奴隶制国家(如图2-1).特别是在公元前5、6世纪希波战争以后,雅典取得了希腊社会的霸主地位,经济生活高度繁荣,生产力显著提高,在这个基础上产生了在整个世界文明史中都占有十分重要的地位的希腊文化,数学也是其中非常重要的一个组成部分.

3. 古代希腊的地域范围是以希腊半岛为中心,包括东面西西里岛东部沿岸地区.与古代东方文明古国大河流域沃野千里的特色相比,古代希腊则是地少山多、海岸曲折、岛屿密布.优良的自然条件,使得这里的农业、手工业和航海事业比欧洲其他地方更早地得到发展.公元前8世纪前后,希腊进入了奴隶制形成阶段,社会经济进一步发展起来,产生了许多奴隶制城邦,并在东西地中海及黑海一带兴建了一系列殖民城市.这些城市加强了希腊和海外各地的商业联系,为希腊接触并吸收优秀的东方文化提供了方便.从公元前6世纪起,由于经济和政治的古代希腊的地域范围是以希腊半岛为中心,包括东面西西里岛东部沿岸地区.与古代东方文明古国大河流域沃野千里的特色相比,古代希腊则是地少山多、海岸曲折、岛屿密布.优良的自然条件,使得这里的农业、手工业和航海事业比欧洲其他地方更早地得到发展.公元前8世纪前后,希腊进入了奴隶制形成阶段,社会经济进一步发展起来,产生了许多奴隶制城邦,并在东西地中海及黑海一带兴建了一系列殖民城市.这些城市加强了希腊和海外各地的商业联系,为希腊接触并吸收优秀的东方文化提供了方便.从公元前6世纪起,由于经济和政治的

4. 进步,希腊出现了欧洲文化的第一个高峰,希腊数学就是其中的重要成就之一.数学史上把公元前6世纪至公元前3世纪的希腊数学称为古典时期的希腊数学或前期数学,而把公元前3世纪至公元6世纪称为后期希腊数学.在古典时期,希腊众多的数学学派的工作把数学研究推进到了一个崭新的阶段.进步,希腊出现了欧洲文化的第一个高峰,希腊数学就是其中的重要成就之一.数学史上把公元前6世纪至公元前3世纪的希腊数学称为古典时期的希腊数学或前期数学,而把公元前3世纪至公元6世纪称为后期希腊数学.在古典时期,希腊众多的数学学派的工作把数学研究推进到了一个崭新的阶段.

5. 2.1 希腊数学学派与演绎数学的产生 • 在公元前6世纪----公元前3世纪期间,先后出现了许多数学学派,他们的工作使得希腊数学得以长足的发展,其中最有影响的有爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派和柏拉图学派.

6. 2.1.1 爱奥尼亚学派和演绎证明 • 以演绎证明为基本特征的数学,归早诞生于古希腊爱奥尼亚学地区的海滨城市米利都.享有”希腊科学之父”盛誉的泰勒斯(Thales,公元前636----公元前546)在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派----爱奥尼亚学派. • 泰勒斯是一个精明的商人,青壮年时代,他依靠自己的聪明才智,在商场上积累了足够我财富,使他的后半生能够从事游历和研究.据说正是由于泰勒斯从巴比伦、埃及等地带回了数学知识而创建了爱奥尼亚学派.

7. 关于泰勒斯的生平和学术工作虽然没有确切可靠的材料,但下述五个命题的发现是应归功于泰勒斯的: • （1）圆被任一直径二等分； • （2）等腰三角形的两底角相等： • （3）两条直线相交，对顶角相等； • （4）两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等； • （5）内接于半圆的角必为直角。 • 其中最后一个定理被人们称为“泰勒斯定理”。

8. 然而泰勒斯对数学学科发展的贡献并不仅仅在于他发现了这些定理（比如早在此前大约1400年的古巴比伦人就知道上述第五个命题），更重要的是泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。例如对于“两条直线相交，对顶角相等”，泰勒斯是这样证明的：如图2-3然而泰勒斯对数学学科发展的贡献并不仅仅在于他发现了这些定理（比如早在此前大约1400年的古巴比伦人就知道上述第五个命题），更重要的是泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。例如对于“两条直线相交，对顶角相等”，泰勒斯是这样证明的：如图2-3

9. 加 等于平角， 加 也等于平角，因为所有的平角都是相等的，所以 等于 （等量减等量，余量相等）。这表明，从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。 • 据说泰勒斯曾经利用相似直角三角形通过测量手杖和金字塔的影长求出金字塔的高度而倾倒了埃及的法老，又用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离，因此他还被西方学者称为“测量学的鼻祖”。

10. 客观地讲，就数学科学而言，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派并不出色，但他们在哲学特别是自然哲学方面的工作却是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释。这种理性思维的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在.客观地讲，就数学科学而言，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派并不出色，但他们在哲学特别是自然哲学方面的工作却是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释。这种理性思维的观念，正是希腊科学精神的精髓之所在.

11. 2.1.2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” • 毕达哥拉斯（Pythagoras,约公元前572—约公元前497）是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家，出生于爱琴海中的萨摩斯岛（Samos,今希腊东部小岛）。青年时期，他曾经离开家乡，到世界各地游学，游历过埃及古巴比伦，可能还曾向泰勒斯或他的门徒学习过几何、哲学。40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内（Crotone),并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派。在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究。相传希腊文中“哲学”和“数学”这两个词就是毕达哥拉斯学派创造的。

12. 尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派的基本信条却是“万物皆数”。在毕达哥拉斯学派看来，万物的本原就是数，这个学派的一个重要成员就曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数，因此。没有数既不可能来表达也不可能来理解任何事物。”他们认为“数是由单子或1产生的，因此将1命名为”原因数“。每一个数都被赋予了特定珠属性。而一切数中最神圣的是10，他们信奉和崇拜数10，认为它是完美、和谐的标志。这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用。这也是数学化思想的最初表述形式。

13. 毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的分类研究。他们定义了许多概念，例如，一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为完全数，小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为亏数，大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为盈数。如28（=1+2+4+7+14）,12(<1+2+3+4+6 ), 10(>1+2+5)分别为完全数、亏数和盈数；又如，若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数，则称为亲和数。例如220与284为亲和数，因为220的因子之和为1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284的因子和为1+2+4+71+142=220。

14. 毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的。他们常把数以点的形式排成各种图形。例如图2-5所示。1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…这些和数都是三角形数，n个三角形数是1+2+3+…+n= n(n+1)/2 ; 1,4,9,16…是正方形数，第n个正方形数是 ；等等。所谓毕达哥拉斯数就是通过分析正方形数的图形而建立起来宾。其思路是正方形数是由 个点合成的方阵，若再加2n+1个点，就得到由 点组合成的方阵，即有 +(2n+1)=

15. 如果设2n+1= ,那么就得到 （2。1）即 n+1= +2m+1 (2.2) (2.2)代入（2。1）得 这就是直角三角形整数边长的公式。当m=1,2,3,4…时可得满足直角三角形边长的整数组为3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等。

16. 毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，这是他们对科学美所持的基本观点，例如，在对各种自然物体的本质讨论中，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的和种物体都作均匀的圆周运动。最完美的数是10，因为10=1+2+3+4，并将1，2，3，4称为四象。在音乐研究中，他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，那么两者发出的高就相关8度。他们认为音乐的基本原则是数量原则。音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的。毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，这是他们对科学美所持的基本观点，例如，在对各种自然物体的本质讨论中，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的和种物体都作均匀的圆周运动。最完美的数是10，因为10=1+2+3+4，并将1，2，3，4称为四象。在音乐研究中，他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，那么两者发出的高就相关8度。他们认为音乐的基本原则是数量原则。音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的。

17. 他们研究了一些美的比和比例关系；对两已知数A，B提出了算术平均值（以M表示）、几何平均值（经G表示）和调和平均值（以H表示）的概念: , , 他们发现，M：G=G：H，A：H=M：B，称前者为完全比例，后者为音乐比例。以此为出发点，毕达哥拉斯学派建立了他们的音乐理论。毕达哥拉斯不仅把“美是和谐与比例”的科学美思想用于音乐和天文学，还十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域。

18. 西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的，据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人灰谐地将这个定理称为“百牛定理”。但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证据。西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的，据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人灰谐地将这个定理称为“百牛定理”。但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证据。 按照“万物皆数”的观点，毕达哥拉斯学派相信：任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段，他们称这样的两条线段为“可公度量”，即有公共

19. 的度量单位。不过，据亚里士多德的著作记载，毕达哥拉斯学派曾经发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段，其证明与我们现在的中学数学教科书中证明 是无理数的方法相同。相传该学派的成员希帕索斯（Hippasus,约公元前470年左右）还因为研究这个问题被抛入大海处以极刑。由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”。希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，这就使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究转向对形的探讨。虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学在代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的。

20. 2．1．3 芝诺悖论与巧辩学派 • 毕达哥拉斯学派发现的不可公度量向希腊数学提出了一个难题，这就是如何处理离散与连续、有限的关系。大多数希腊数学家回避了这个问题，转而去研究几何量之间的关系去了。但来自卢卡尼亚的一位哲学家芝诺(Zeno,约公元前490—430年)，针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念，提出了45个违背常理的悖论，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动。其中关于运动的三个悖论尤为引人注目：

21. （1）二分说：物体运动是不存在的。因为一个牺要从甲地运动到乙地，首先要到达这段路程的中点；而要到达中点，又必须先到达路程的一半的中点，这样分下去，永无止境。结论是物体的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步。（1）二分说：物体运动是不存在的。因为一个牺要从甲地运动到乙地，首先要到达这段路程的中点；而要到达中点，又必须先到达路程的一半的中点，这样分下去，永无止境。结论是物体的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步。 • （2）啊基里斯追龟说“啊基里斯是古希腊神话中的“神行太保”。这一悖论是说，乌龟尽管爬得很慢，但阿基里斯却永远追不上乌龟。因为当阿基里斯要想追上乌龟，首先必须到达乌龟的出发点，而当他追到乌龟的发出点时，乌龟会利用啊基里斯跑完这段路程所用的时间向前爬了一段，此时乌龟还在他

22. 的前面，这就需要他再次去追。而每当他再追一段，乌龟借机又向前爬了一小段。如此这样永远重复下去，乌龟总是在阿基里斯的前面。 • （3）飞箭静止说：飞行的箭在其飞行过程中的每一瞬间总是停留在某一个确定的位置上，它此时是不动的，这说明箭的运动是无数的静止之和。因此说飞箭实际上是静止的。

23. 芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。总是毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。芝诺的这些悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。总是毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。 • 正当芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，巧辩学派提出了三大著名作图问题，又让他们陷入了困惑。巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞，辩证法、人文，以及几何、天文和哲学方面的学者。他们研究的主要目标之

24. 一是用数学探讨宇宙的运转。该学派的名字与著名的尺规作图不能问题是紧密地联系在一起的。所谓三大尺规作图问题是指，只允许用圆规和直尺作一个正方形，使其与给定的圆面积相等；给定立方体的一过，求作另一立方体之边，使后都体积两倍于前者体积；三等分任一已知角。 • 围绕这三大作图问题，希腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法。许多数学成果都是研究这三个问题的副产品，例如，该学派的头面人物希比亚斯(Hippias,约公元前5世纪)为解决三等分任意角 的问题，引入了一条割圆曲线。希比亚斯的做法是：

25. 如图2-6，设AB顺时针匀速绕A点转到AD，同时BC平行匀速下滑至AD。两线交点形成的曲线BE`G便是割圆曲线。如图2-6，设AB顺时针匀速绕A点转到AD，同时BC平行匀速下滑至AD。两线交点形成的曲线BE`G便是割圆曲线。

26. 事实上，若记 ，AB=a ， 或 ,或 ,即 这曲线若能作出，就可三等分任一角。 因为可对y三等分（ ），又过 作 //AD 交曲线于L，连AL，则 。因为 ，又 所以 。但该曲线本身不能用尺规作出的。

27. 当然，探索三在作图问题的并非仅限于巧辩学派。例如，不属于巧辩学派的希波克拉茨(Hippocrates,公元前5世纪)在探索化圆为方时，成功地解决了一个把曲边图形化为直边图形的问题：如图2-7

28. 设 为等腰直角三角形，斜边为AC，中点为O，半圆AEB以AB为直径，则 = ，即半圆AEB面积=扇形AOB面积。所以月牙形AEB面积=半圆AEB面积-弓形ADB面积=扇形AOB面积-弓形ADB面积= 面积。

29. 巧辩学派及其他希腊学者，所以要把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学的这样的一个认识：即他们强调在研究一个概念之前必须证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理。在他们看来，直线和圆客观上是存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾。这样的思想促进了希腊数学的严密化。巧辩学派及其他希腊学者，所以要把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学的这样的一个认识：即他们强调在研究一个概念之前必须证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理。在他们看来，直线和圆客观上是存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾。这样的思想促进了希腊数学的严密化。 • 2000多年来，三大问题的研究，花费了人们的大量心血。直至1831年，法国数学家万采尔(Vantzal,1814-1848)首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家林德曼(Lindemann,1852-1939)gf 1882年又证明了 的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，这三大问题才彻底得以解决。

30. 2．1．4柏拉图学派 • 继巧辩学派之后领导希腊数学活动的是柏拉图学派。柏拉图(Plato,公元前472—347年)是古希腊哲学家和教育家，出生于雅典的贵族家庭。公元前407年，柏拉图20岁时曾拜年逾过六旬的苏格拉底为师。他是苏格拉底最杰出的学生，深受苏格拉底被雅典重建的民主政权处死后，柏拉图被迫开始了为期12年的游历生涯，他先后去了麦加拉、埃及等地，后回到了雅典。公元前387年，柏拉图在雅典创建了欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上

31. 层统治者的学校，学校兼收女生，并衽分层次教育。柏拉图对于数学科学在培养人的思维能力方面的作用有比较充分的认识。据说在他学校的门口甚至挂一“不懂几何者不得入内”的告示。

32. 柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙，因而特别重视对立体几何的研究。他们研究了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥，而且知道正多面体只有五种。该学派把德漠克利特(Democritous，公元前460—公元前370)的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说。他们设想物质世界的本原不是土、气、水和火。而是两种直角三角形，即正方形之半与等腰三角形之半。因为这两种图形是最完美的图形，它们可以无限分下去。因此，神就用它们构成4种正多面体的界面：火微料是正四面体，土微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体；最初一切是混乱的，后来它们才被安排好，从而形成了宇宙。柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙，因而特别重视对立体几何的研究。他们研究了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥，而且知道正多面体只有五种。该学派把德漠克利特(Democritous，公元前460—公元前370)的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说。他们设想物质世界的本原不是土、气、水和火。而是两种直角三角形，即正方形之半与等腰三角形之半。因为这两种图形是最完美的图形，它们可以无限分下去。因此，神就用它们构成4种正多面体的界面：火微料是正四面体，土微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体；最初一切是混乱的，后来它们才被安排好，从而形成了宇宙。

33. 在其老师苏拉格底逻辑思想的影响下，柏拉图还明确提出了数学的演绎证明应遵循规则。他指出：“首先我假定某个我认为是最有力的假定，然后肯凡与之相符合的就是真的，无论是关于原因还是别的什么，只要与之不符合的，我就认为它是不真的。”这里柏拉图明确提出，数学证明是经某些自明的假设即公理作为出发点，然后经过一系列严格的逻辑推理，他称之为“假设法”。显然这正是公理化方法的开端，对于形成欧几里得几何学的公理演绎系统和推进希腊数学的发展具有极为重要的意义。可以说，这是古希腊方法论的最高成就。这也表明至少从柏拉图时代起，数学就已经有了公理化的思想。

34. 柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克索斯（Eudoxus约公元前4世纪）。有人认为，古希腊数学家中，他的地位仅次于阿基米德。他的数学成果成为欧几里得《几何原本》，特别是第5，6，7卷的主要内容。他对数学的最大贡献是运用公理法建立了比例理论，其中包括相当严密的实数定义，处理了所谓“不可公度量”即无理数问题。他引入了“量”的概念，认为：量和数是不同的概念，数是从一个跳到另一个（即离散的）；而量是不规定数值的，它能代表线段、角、面积、体积、时间等连续变化的东西。他定义了两个量之比和比例即两个比例即两个相等的关系，把不可公度量也包括在内，从而为不可公度量提供了逻辑依据，从而克服了毕达哥拉斯学派的比例法因发现不可公度量造成的无法克服的困难，推动了数论和几何学的发展。

35. 他还进一步完善了安蒂丰的“穷竭法”。在利用连续不断的细分去求一个未知几何量的大小时，必然会遇到无理数，无穷小和极限等有关问题，欧多克索斯应用穷竭法成功地证明了两圆面积之比等于其半径平方之比，两球体积之比等于其半径立方之比，棱锥与圆锥的体积分别等于同底等高的棱柱与圆柱体积的三分之一等，将“穷竭法”改造成为一种严格的证明方法。此外，他还研究了“中末比”问题：将已知线段分为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项；他还用求两上已知量的两个比例中项的方法，解决了立方倍积的问题。

36. 他的学生梅奈赫莫斯(Menaechmus,公元前4世纪)是圆锥曲线理论的创始人。他在用平面与圆锥的一条母线垂直相截时发现了圆锥曲线：当圆锥顶角为直角时所得截线为抛物线，顶角为锐角时为椭圆，顶角为钝角是为双曲线的一支。他还发现了双曲线的渐近线，并对这些曲线的性质作了系统的阐述，形成了最早的圆锥曲线的理论。他的学生梅奈赫莫斯(Menaechmus,公元前4世纪)是圆锥曲线理论的创始人。他在用平面与圆锥的一条母线垂直相截时发现了圆锥曲线：当圆锥顶角为直角时所得截线为抛物线，顶角为锐角时为椭圆，顶角为钝角是为双曲线的一支。他还发现了双曲线的渐近线，并对这些曲线的性质作了系统的阐述，形成了最早的圆锥曲线的理论。 • 这个学派还必须提到的是亚里士多德（Aristotle，公元前384-公元前322）。亚里士多德对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学。虽然以前已有不少学者奠定了逻辑的基础，但他把形式逻辑规范化和系统化，使之上

37. 升为一门科学。他提出了矛盾律、排中律等思维的规律；把逻辑学理解为论证的学问：从个别到一般的归纳和从一般到个别的演绎；他还研究了三段论法的格和规则，这些都为数学推理提供了基本的逻辑依据。亚里士多德的著作中也有许多重要的几何定理。如多边形外角之和等于四直角，在包围给定面积的所有平面图形中，圆的周长最小等。升为一门科学。他提出了矛盾律、排中律等思维的规律；把逻辑学理解为论证的学问：从个别到一般的归纳和从一般到个别的演绎；他还研究了三段论法的格和规则，这些都为数学推理提供了基本的逻辑依据。亚里士多德的著作中也有许多重要的几何定理。如多边形外角之和等于四直角，在包围给定面积的所有平面图形中，圆的周长最小等。 • 由于这些数学学派的工作，为希腊数学积累了丰富的素材，也为希腊数学后来的进一步发展打下坚实的基础。

38. 2.2希腊数学的黄金时代 • 早期数学的进程在很大程度取决于人类历史发展的进程，希腊世界的雅典、斯巴达等国在经历了多次战争而受逐渐衰落的时候，北方新兴的马其顿国在其国王腓力二世的率领下，开始了征服世界的进程。在征服了希腊各城邦后两年，腓力二世遇剌去世，其子亚历山大（公元前336-公元前323在位）继位，从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国。公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉（欧洲部分）、塞流卡斯（亚洲部分）和托勒密（埃及部分）三个王国。历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期。

39. 在亚历山大征战的过程中，他选择良好的地理位置，建造了一系列的新兴城市，作为他征服世界的标志，亚历山大城就是其中之一。亚历山大城位于埃及北部海岸，据说该城的规划、施工和移民，都是亚历山大大帝亲自指挥的。他准备将这座城市作为其庞大帝国未来的首都。帝国分裂后，这里成为托勒密王国的首都。经历托勒密国王的经营，成为当时整个地中海地区最大的城市。在这里兴建了藏书达六十万卷的图书馆，国家设立了研究机构，其研究人员由国家供养。优秀数学家云集于此，亚历山大学派由此产生。

40. 亚历山大的东征，客观上促进了东西方文化的融合，数学由此产生了新的生长点。这个时期的数学发展有两个方向，其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得(Euclid，约公元前330-公元前275)、阿波罗尼斯（Apollonius,公元前262-公元前190）；其二是以阿基米德(Archimeds,公元前287-公元前212)为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合。在继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域。其中啊基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人。他们的工作，使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平。

41. 2.2.1欧几里得与他的《几何原本》 • 欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作。 • 他是一位温和仁慈的蔼然长者，学生们都很尊敬他。他严谨治学，不图名利，据说当托勒密国王向他询问学习几何知识的捷径时，他答道：“几何无王者之道”。当有一个学生刚学完第一个几何命题便问欧几里德学了几何后将得到什么好处时，欧几里得则幽默地对侍者说：“拿一个便士给这位先生，因为他总要从他学习的东西中获取好处的。”

42. 欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。为此，他首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明，使其达到无懈可击的地步。然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地接演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》。它是在公元前300年左右完成的。

43. 欧几里得《几何原本》的原稿早已丢失，现代版本是以希腊评注家泰奥恩(Theon,约比欧几里得晚七百年)编写的修订本为依据的。全书分13卷，共有465个命题。欧几里得《几何原本》的原稿早已丢失，现代版本是以希腊评注家泰奥恩(Theon,约比欧几里得晚七百年)编写的修订本为依据的。全书分13卷，共有465个命题。 • 第6卷相当于平面几何内容。 • 第1卷首先用23个定义给出了点、线、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公设和5个公理： • 五条公设是： (1)从任一点到任一点作直线（是可能的） (2)将有限直线不断沿直线延长（是可能的）

44. (3)以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）(3)以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的） • (4)所有直角是相等的。 • (5)若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点. • 值得指出的是，由于《几何原本》中第5公设所阐述的事实不像其它4个公设那样明显，人们怀疑它可能可以由前4条公设推出，即不独立于前4条公设。因此，在《几何原本》问世以后的2000多年中，许多人都曾试图由其他的公设给出这一公设的证明。

45. 直到19世纪初由于罗巴切斯基、高斯和波尔约等人的工作导致了“非欧几何”的诞生，人们才知道该公设是不能由其他设推导出来的，从而证明了这5个公设是相互独立的。同时，随着非欧几何的诞生，人们关于几何的认识也从欧几里得的框架中解放出来，使得几何学得到迅速的发展。 • 五个公理是： • 1 与同一东西相等的一些东西彼此相等。 • 2 等量加等量，其各相等。 • 3 等量减等量，其差相等， • 4 彼此重合的东西是相等的， • 5 整体大于部分。

46. 其后用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，内容涉及三角形，垂直，平行，平行四边形和正方形，最后两个命题给出了勾股定理及其逆定理的证明。其后用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，内容涉及三角形，垂直，平行，平行四边形和正方形，最后两个命题给出了勾股定理及其逆定理的证明。

47. 欧几里得给出的证法是：如图2-13，在直角三角形ABC的三边个分别作正方形ABED，BCGF和ACJI，并过C点作AB的垂线CT延长交DE于H，连结AF，CE，易证 从而 ,则 同理可证 ，故 即

48. 第2卷主要讨论几何代数。第3卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。第4卷在引入了圆的办接和外切图形的概念以后，讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。第5卷讨论了有关量的比例理论。第6卷主要是将比例理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等。第2卷主要讨论几何代数。第3卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。第4卷在引入了圆的办接和外切图形的概念以后，讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。第5卷讨论了有关量的比例理论。第6卷主要是将比例理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等。 • 第7，8，9卷主要研究初等数论，从检验两个整数是否互素开始，建立起了关于数值

49. 的比例理论以及数的基本性质，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例，几何级数，还[ 给出了许多关于数论的重要定理。例如欧几里得用归谬法证明了素数有无穷多个。其证明方法如下：若假设素数只有有限个，用a,b，……，k表示。设p=ab……k,则p+1或是素数，或是合数。但因为a,.b……,k全部是素数，可数p+1大于a,b,……，k中的任一个数，所以不可能是素数。另一方面，若p+1是合数，则它必可被某一个素数q整除，此时q必是a,b,……,k中的某一个，即q|p,则q不能整除p+1，即p+1是素数，与素数只有有限个矛盾。

50. 第10卷讨论无理数，重点研究了形如 （其中a,b皆为有理线段）的无理量，并对所有25各可能的形式进行了分类。 后3卷是立体几何的内容。第11卷给出了立体几何中一些概念的定义；第12卷用穷竭法证明了棱锥与棱锥、圆锥与圆锥、圆柱与圆柱以及球与球之间的体积比；第13卷论述正多边形的性质及其内接于圆时的性质，研究了如何将五种正多面体内接于一个球的问题，并依赖关于多面体各面角之和必小于360度的结论，证明了凸多边面体不多于5种。