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例谈中考新题型. 新世纪学校 毛飞飞 (2005.03. 区中考复习研讨会专题讲座）. 一、中考“格点”问题. ㈠ 画格点图形 例 1 、由 16 个相同的小正方形拼成的正方形网络，现将其中的两个小正方形涂黑如图，请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图。. 例 2 、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠ AOB 画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点 P ，使点 P 落在∠ AOB 的平分线上。.
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例谈中考新题型 新世纪学校 毛飞飞 (2005.03.区中考复习研讨会专题讲座）
一、中考“格点”问题 • ㈠画格点图形 • 例1、由16个相同的小正方形拼成的正方形网络，现将其中的两个小正方形涂黑如图，请你用两种不同的方法分别在下图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图。
例2、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠AOB的平分线上。例2、如图，已知方格纸中的每个小方格都是全等的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点上标出一个点P，使点P落在∠AOB的平分线上。
㈡求格点图形面积 例4、在如图的方格纸中，每个小方格都是 边长为1的正方形。点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中， 找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则 满足条件的格点的个数是（） A、5 B、4 C、3 D、2
例5、如图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积。例5、如图是一个在19×16的点阵图上画出的“中国结”，点阵的每行及每列之间的距离都是1，请你画出“中国结”的对称轴，并直接写出图中阴影部分的面积。
㈢探索格点规律 • 例6、用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的项点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形。设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x。
（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式。（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式。 • 答：S=_________________。 • （2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点。 • 此时所画的各个多边形的面积S与它和各边上格点的个数和x之间的关系式是：S=_______________。 • （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？ • 答：S=__________________。 思路：这类题通常利用图中网格的小正方形边长为单位1及 特殊角30°、60°、45°、90°解题。
二、中考“分段函数”问题 • 例7、（2004年山西省太原市中考题）某贮水塔在工作期间，每小时进水量和出水量都是固定不变的。每日从凌晨4点到8点只进水，不出水；8点到12点既进水，又出水；14点到次日凌晨只出水不进水。经测定，水塔中贮水量y（立方米）与时间x（时）的函数关系如图所示：（1）求每小时的进水量；（2）当8≤x≤12时，求y与x的函数关系式；（3）当14≤x≤18时，求x与y的函数关系式。
例8、（2004年湖北省黄冈市中考题）心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：例8、（2004年湖北省黄冈市中考题）心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式： • （1）讲课开始后的第5分钟时与讲课开始后的第25分钟比较，何时学生注意力更集中？ • （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ • （3）一道数学难题需讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。
例9、（2004年河南省中考题）如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A 的坐标是（0，2），一次函数y=x+t的图像L随t的不同取值变化时，位于L的右下角由L和正方形的边围成的图形面积为S（有影部分） • （1）当t取何值时，S=3? • （2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与t的函数图像。 思路：分段函数的关键是对自变量区间作合理分段，然后选择相应的解析式解题，而分段的关键是抓“临界点”。
三、中考“实验操作”问题 • 例10、（2004年安徽省中考试题）正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下： 仿图（1）用图示的方法，解答下列问题。 操作设计： 如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。 如图（3），对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。
例11、如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（）例11、如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（）
例12、如图,⊙O表示圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将图形纸板等分成4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去。例12、如图,⊙O表示圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将图形纸板等分成4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去。 （1）请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形（保留痕迹，不写作法）； （2）请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个 数（S）填入下表。 （3）请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇 形？为什么？
例13、如图AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段例13、如图AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段 为直径分别画小圆，设AB=a，那么⊙O的周长L=πa.计算： （1）把AB分成两条相等线段，每个小圆的周长L2=_________； （2）把AB分成三条相等线段，每个小圆的周长L3=_________； （3）把AB分成n条相等线段，每个小圆的周长Ln=_________；
例14、如图，正方形表示一张纸片，根据要求，需要通过多次分割，把它例14、如图，正方形表示一张纸片，根据要求，需要通过多次分割，把它 割成若干直角三角形，操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等直角三角形，第二次分割，将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角一角形，以后按第二次分割方法进行下去。 （1）请你设计两种符合题意的分割方案图（要求图1，图2中分别画出每种方案的第一次和第二次分割线，只要有一条线段分割不同，就视为一种不同方案，图3供操作，实验用）（2）设正方形边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二次、第三次分割后所得最小直角三角形面积（S）填入下表： （3）在条件（2）下；请你猜想，分割后的最小直角三角形面积S与分割 次数n有什么关系？用数字表达式表达出来？ 思路：首先要动手操作，然后寻找操作中的规律，再利用规律解题。
四、中考“规律性探索”问题 ①探索数字排列规律型 例15、观察一列数：3，8，13，18，23，28，……，依次规律在此数列中比2000大的最小整数是__________。 例16、已知数据 1/3 ，2/5 ，3/7 ，4/9 ，……，试猜想第5个数与第n个数（用含n的式子表示）分别是___________。 ②探索式子结构规律型 例17、观察下列各式： 设n为正整数，请用关于n的等式表示这个规律为_______。
例18、观察下列顺序排列的等式： 9×0+1=1，9×1+2=11， 9×2+3=21，9×3+4=31， 9×4+5=41， 猜想：第n个等式（n为正整数）应为_________。 ③探索数表排列规律型 例19、观察下列数表： 1 2 3 4 …… 第一行 2 3 4 5 …… 第二行 3 4 5 6 …… 第三行 4 5 6 7 …… 第四行 …… …… …… …… 第 第 第 第 一 二 三 四 列 列 列 列 根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为_____， 第n行与第n列交叉点的数应为_______。（用含有正整数n的式子表示）
例20、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入与输出的数据如下表：例20、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入与输出的数据如下表： 那么当输入数据是8时，输出的数据是（ ） A、8/61 B、8/63 C、8/65 D、8/67
④探索图案变化规律型 例21、如图，用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即n=20）根时，需要的火柴总数为________。
例22、下面三个图是由若干盆花组成如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆总数为s，按此规律推断，s与n的关系式是：__________。例22、下面三个图是由若干盆花组成如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆总数为s，按此规律推断，s与n的关系式是：__________。
例23、如图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ） 思路：一般来说，只需观察数字间的大小关系或观察式子间的结构特征或者把二者结合起来考虑。
五、中考中的“游戏”问题 ①跳大绳游戏 例24、（2004年山东省济南市中考题）你知道吗？平时我们在跳大绳时， 绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线，如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处。绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶。已知丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如左图所示） A、1.5m B、1.625m C、1.66m D、1.67m
②电动玩具游戏 例25、（2004年山东省济南市中考题）一电动玩具的正面是半径为10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆依右图方式连接而成的，小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动（大圆盘不动），回到原来的位置，在这一过程中，判断虚线所示位置的三个圆内，所画的头发、眼睛、嘴巴位置正确的是（不妨动手试一试！）
③扑克游戏 例26、（2004年河北省中考题）小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆。第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆。第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。这时，小明准确说出了中间一堆牌现有张数，你认为中间一堆牌的张数是_________。
⑤跳棋游戏 例28、（2004年江西省南昌市中考题）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子。我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步。已知点A为已方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 A、2步 B、3步 C、4步 D、5步 思路：关键要把游戏规则抽象成数字问题，然后运用相应的数学知识来解决。
六、中考中的“折叠型”问题 1、折叠三角形 例29、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=3，将BC向BA方向折过去，使点C落在BA上的C，点，折痕为BE，则C，E的长是_________。
2、折叠平行四边形 例30、如图，把一个平行四边形ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD=_________。
3、折叠矩形 例31、如图所示，已知：把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，2 ），连结AB，∠OAB=60°，将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD交x轴于点E。 （1）求D点坐标； （2）求经过点A、D的直线的解析式。
4、折叠正方形 例32、如图，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=____度。
5、折叠梯形 例33、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，∠DBC=45°。翻折梯形ABCD， 使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E。若AD=2，BC=8。 求（1）BE的长；（2）∠CDE的正切值。 思路：根据轴以称图形的性质，搞清折叠前后哪些图形是全等形，哪些线段相等，哪些角相等等关系。
七、中考中的“立几”问题 1、图形的翻折 例34、（2004年海口）下面平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）
例35、（2004年玉林）如图所示的平面图形折叠成正方体后，如果相对面的值相等，则一组x、y值是（ ）例35、（2004年玉林）如图所示的平面图形折叠成正方体后，如果相对面的值相等，则一组x、y值是（ ） A （2，3 ）；B （ 1，2）； C （-1，-2）； D （-2，-3）
2、视图与投影 例36、（2004年深圳）某物体的三视图是如图所示的三个图形，那么该物体的形状是（ ） A、长方体 B、圆锥体 C、立方体 D、圆柱体
3、图形的表面积 例37、（2004年山西）一个画家有14个边长为1m的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面涂上颜色，那么被涂上颜色有表面积为（ ） A、19m2 B、21m2 C、33m2 D、34m2
4、图形形状 例38、（2004年河南）如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，连结AB1、AC、B1C，则△AB1C的形状是_________。
5、空间距离 例39、（2004年杭州）在如图所示的长方体中，和平面A1B1C1D1垂直的平面有 思路：空间与平面的互化
八、中考中的“定义型阅读理解”问题 1、定义概念型 例40、（2003年山东省烟台市中考题）阅读下面材料，再回答问题：一般地，如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，那么y=f(x)就叫做奇函数；如果函数y=f(x)对于自变量取值范围内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么y=f(x)就叫做偶函数。 例如：f(x)=x3+x 当x取任意实数时，f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)=x3+x为奇函数。 又如：f(x)=|x|，当x取任意实数时，f(-x)=|-x|=|x|=f(x),即 f(-x)=f(x)，所以f(x)=|x|是偶函数。 问题（1）：下列函数中：①y=x4②y=x2+1③y=1/x3④y=x+1/x 所有奇函数是 ，所有偶函数是 。 问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数。
例41、（2003年山东省威海市中考题）全等三角形又叫做合同三角形，平例41、（2003年山东省威海市中考题）全等三角形又叫做合同三角形，平 面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形。假设△ABC和△A1B1C1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应。当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图1）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图2） 两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°。下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）。
2、定义运算型 例42、（2002年山东省淄博市中考题）在正数范围内定义一种运算，其规则为：a﹡b=1/a+1/b根据这个规则，方程x﹡(x+1)=3/2的解是（ ） A、x= B、x=1 C、x1=- 或x2=1 D、x1= 或x2=-1
例43、（2002年江苏省泰州市中考题）阅读下面材料，并解决下列问题：例43、（2002年江苏省泰州市中考题）阅读下面材料，并解决下列问题： 在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况： 已知a和b，求N，这是乘方运算；②已知b和N求a，这是开方运算。 现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b。我们把这种运算叫做对数运算。定义：如ab=N（a＞0,a≠1,N＞0），则b 叫做以a为底N的对数，记作b=logaN 例如：因为23=8，所以log28=3；因为2-3=1/8 ，所以log2 1/8 =-3 ⑴根据定义计算： ①log381=_______；②log33=_________；③log31=________； ④如果logx16=4，那么x=________ ⑵设ax=M,ay=N，则logaM=x,logaN=y(a＞0,a≠1.M、N均为正数) 因为ax·ay=ax+y所以ax+y=M·N，所以logaMN=x+y，即logaMN=logaM+logaN.这是对数运算工重要性质之一，进一步地，我们可以得出：logaM1M2M3…Mn=____（其中M1，M2，M3…Mn均为正数，a＞0,a≠1），logaM/N=_______（M、N均为正数，a＞0,a≠1）
3、定义指令型 例44、（2003年杭州市中考题）根据指令[S、A]（S≧0，00＜A＜1800），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离S，现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向。（1）若给机器人下了一个指令[4，600]，则机器人应移动到点______；（2）请你给机器人下一个指令______，使其移动到点（-5，5）。
4、定义方案型 例45、（2003年安徽省中考题）如图，这些等腰三角形与正三角形的形状 有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。设等腰三角形的底和腰分别为a、b,底角和顶角分别为α、β。要求“正度”的值为非负数。 同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 同学乙认为：可用式子|α-β|来表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形； 探究：（1）他们的方案哪个较为合理？为什么？ （2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）； （3）请再给出一种衡量“正度”的表达式。
5、定义符号型 例46、（2003年无锡市中考题）读一读： 式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和。由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将 “1+2+3+4+5+…+100”表示为 ， 这里 是求和符号。 例如：“1+3+5+7+9…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为 （2n-1）；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表 示为 同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题： ①2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为______； ②计算： （n2-1）=________（填写最后的计算结果）。 思路：去看懂定义及题中范例，再按定义或范例的程序解题。
