冯伟森

1. 离散　　数学 冯伟森 计算机学院 Email：fws365@scu.edu.cn 2014年9月1日星期一

2. 主要内容 • 平面图 • 对偶图 • 平面图的判断 • 平面的点着色与图的着色 计算机学院

3. v1 v1 v2 v5 v2 v5 v3 v4 v3 v4 (a) (b) 平面图 定义12.1　如果能把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，使得任何两边除公共结点外没有其他交叉点，则称G为平面图，否则称G为非平面图。 计算机学院

4. 定义12.2　设G是一个平面图，由图中的边所包围的其内部不包含图的结点和边的区域，称为G的一个面;定义12.2　设G是一个平面图，由图中的边所包围的其内部不包含图的结点和边的区域，称为G的一个面; 包围该面的诸边所构成的回路称为这个面的边界； 面r的边界的长度（边数）称为该面的度，记为D(r)。 区域面积有限的面称为有限面，区域面积无限的面称为无限面。 显然，平面图有且仅有一个无限面。 计算机学院

5. a r0 r1 b c k r2 h i j r3 d e Why? 例12.1 • 在右图中有9个结点，11 • 条边，把平面分成4个面 • r0、r1、r2、r3。其中 • r0的边界为abdeheca， • D(r0)＝7； • r1的边界为abca，D(r1)＝3； • r2的边界为becijikicb，D(r2)＝9； • r3的边界为bdeb，D(r3)＝3。 • r1、r2和r3是有限面，r0是无限面。 计算机学院

6. v1 v2 v5 v3 v4 (a) v1 v2 v3 v4 v5 v6 K3,3 (b) 定理12.1若图G是平面图，则G的任何子图都是平面图。 定理12.2若图G是非平面图，则G的任何母图也都是非平面图。 推论12.2.1Kn（n5）和K3,n（n3）都是非平面图。 K5 计算机学院

7. 注意：若一条边不是割边，它必是两个面的公共边；割边只能是一个面的边界。两个以同一条边为公共边界的面称为相邻的面。注意：若一条边不是割边，它必是两个面的公共边；割边只能是一个面的边界。两个以同一条边为公共边界的面称为相邻的面。 • 定理12.3在一个平面图中，所有面度之和等于图中边数的二倍。即 • 1750年，欧拉发现，任何一个凸多面体，若有n个顶点、m条棱和f个面，则有n-m+f＝2。这个公式可以推广到平面图上来，称之为欧拉公式。 计算机学院

8. n=10，m=15，f=7 n-m+f=2 计算机学院

9. 定理12.4 设G＝<V,E>是连通平面图，若它有n个结点、m条边和f个面，则有 • n-m+f＝2 证明：构造G的一个生成树T，则T也是一个平面 图，而它只有一个面，即外部面； 然后依次加入树补边，每加入一条树补 边，就新增加一个且仅一个内部面； 而树补边的总数为m－n+1，因此，G的面 数应为f=m－n+2，即n-m+f＝2。 • 推论12.4.1 对于具有k(k≥2）个连通分支的平面图G，有　n-m+f＝k+1 计算机学院

10. 定理12.5 设G是一个(n,m)简单连通平面图，若m＞1，则有 m≤3n-6 证明　设G有k个面，因为G是平面图，所以G的每个面至少由3条边围成，而G中各面度之和是边数的二倍，所以 2m≥3k，即k≤2m/3，代入欧拉公式有 整理得 m≤3n-6 推论12.5.1任何简单连通平面图中，至少存在一个其度不超过5的结点 计算机学院

11. 围长：一个图的围长为它包含的最短圈的长度。围长：一个图的围长为它包含的最短圈的长度。 一个图若不含圈，则规定其围长为无穷大。 定理12.6 设G是一个(n,m)简单连通平面 图，其围长k＞2，则有 计算机学院

12. 说明 定理12.5和定理12.6本身可能用处不大，但它的逆否命题却非常有用，可以用它们来判定某些图是非平面图。即一个简单连通图，若不满足 m≤3n-6 或 则一定是非平面图。但需要注意，满足上面不等式的简单连通图未必是平面图。 计算机学院

13. v1 v2 v3 v4 v5 v6 K3,3 (b) 定理12.7 K5和K3,3都是非平面图 • 考察5个结点的完全图K5。 • 因为K5是简单连通图，n＝5，m＝10，因此m＞3n-6＝3×5-6＝9，故不满足m≤3n-6。 • 故K5是非平面图。 • 我们再看图K3,3， n＝6，m＝9，围长 g=4 • 但 9 ≤（4×6-2×4）/（4-2）=8，不满足 • 第二个必要条件，所以它也是一个非平面图。 • 而K3,3 ，满足不等式m≤3n-6。 计算机学院

14. 平面图的判断 细分：在图G的边uv上新增加一个二度结点，称为图G的细分。一条边上也可以同时增加有限个二度结点，所得的新图称为原来图的细分图。 定理12.8（库拉托夫斯基定理） 一个图是平面图的充分必要条件是它不包含与K5或K3,3细分图同构的子图。 此定理定性地说明了平面图的本质。 我们将K5和K3,3称为库拉托夫斯基图。 计算机学院

15. v1 v1 v1 u1 u1 v6 v2 v5 v2 v2 v5 v5 u2 u2 u5 u5 u3 u3 u4 u4 v4 v4 v4 v3 v3 v3 v1 v4 v3 (a) (b) (c) v2 v5 v6 K3,3 (d) 例12.2 证明下图a所示的彼得森图是一个非平面图。 删除边 u2u5,v3v4 （b）是（c） 的细分图 同构 计算机学院

16. 对偶图 定义12.3　　若图G＝<V,E>是一个平面图，构造图 G*＝<V*，E*>如下： G的面F1，F2，‥‥，Ff与V*中的结点 一一对应； 若面Fi和Fj邻接，则 与 邻接； 若G中有一条边e只是面Fi的边界，则 有一环。 则称G*为G的对偶图。 计算机学院

17. 对偶图的画法 虚线和兰圈分别是G*的边和结点，实线和红圈分别是G的边和点；G*的每条边只与G中分隔面Fu和Fv的边交叉一次。 计算机学院

18. 从对偶图的定义，特别是从其表示方法中可以清楚地看到，每个平面图都有对偶图．若G*是连通图G的对偶图，则G也是G*的对偶图；若G是连通的平面图，则G**G。事实上，存在着对偶图是一个图为平面图的充分必要条件，对偶图的平面性是显而易见的。 计算机学院

19. 定理12.9 设G*是连通平面图G的对偶图，n*,m*,f*和n, m, f分别为G*和G的顶点数，边数和面数，则： ①n* = f ②m* = m ③ f* = n ④ 设G*的顶点ui*位于G的面Ri中，则d（ui*） = deg（Ri） 计算机学院

20. 平面的点着色与图的着色 图着色问题的研究起源四色猜想，在图论的发展史上，“四色问题”曾经起过巨大的推动作用。 考虑在一张各个国家地域连通且相邻国家有一段公共边界的平面地图上，是否可以用四种颜色为地图着色，使得相邻国家着有不同的颜色；但至今为止，还未能从理论上严格证明这个问题。直到1979年，由美国的K.Appel和W.Haken利用计算机给出了证明。 计算机学院

21. 利用对偶图的概念，可以将平面图的面着色问题转换成的点着色问题。 定义12.5对无环图G的每个顶点涂上一种颜色，使相邻的顶点涂不同的颜色，称为对图G的一种着色。若能用k种颜色给G的顶点着色，就称对G进行了k着色，也称G是k-可着色的。若G是k-可着色的，但不是（k-1）-可着色的，就称G是k色图，并称这样的k为G的色数，记为（G）= k，不混淆时，色数（G）也可简记为。 计算机学院

22. 我们有以下结论 定理12.10（G）= 1当且仅当G是零图。 定理12.11（Kn）= n． 定理12.12设G中至少含一条边，则（G）= 2当且仅当G为二部图． 定理12.13 对于任意的图G（不含环），均有 （G） （G）+ 1． 计算机学院

23. 定义12.6 对地域连通且相邻国家有一段公共边界的平面地图G的每个国家涂上一种颜色，使相临的国家涂不同的颜色，称为对G的一种面着色，若能用k种颜色给G的面着色，就称对G的面进行了k着色，或称G是k-面可着色的，若G是k-面可着色的，但不是（k-1）-面可着色的，就称G的面色数为k，记为*（G）= k． 计算机学院

24. 定理12.14地图G是k-面可着色的当且仅当它的对偶图G*是k-可着色的。定理12.14地图G是k-面可着色的当且仅当它的对偶图G*是k-可着色的。 证明：必要性 给G一种k-面着色，由于G连通，由定理12.9可知道，n* = f，即G的每个面中含G*的一个顶点，设ui*位于G的Ri内，将G*的顶点ui*涂成Ri的颜色，易知，若ui*与uj*相邻，则由于Ri与Rj的颜色不同，所以ui*与uj*的颜色也不同，因而G*是k-可着色的。类似地可证充分性。 计算机学院

25. 1890年，Heawood 建立了“五色定理”（ Heawood定理）。 定理12.15 任何连通平面图都是可以五着色的。 计算机学院

26. 习题十二 1、2、3、4、5、6、11 计算机学院