Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

1. Modelli Finanziari nel Tempo Continuo Giovanni Della Lunga 2 Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

2. Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

3. Probabilità • Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti probabilistici più elementari si trova di fronte ad un problema; infatti, non solo esistono differenti formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro. • Al di la delle differenze di carattere formale un elemento comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che un dato evento possa accadere o meno. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

4. Probabilità • Sia nelle scienze naturali sia in quelle economiche si è soliti assumere che un certo evento sia il risultato di un ipotetico esperimento intendendo con questo termine l’insieme di tutte “le azioni e le condizioni ambientali che conducono al determinarsi di un fatto”. • E’ un esperimento la misura di una grandezza fisica, il lancio di un dado o di una moneta, il verificarsi o meno di un particolare stato di natura (es. l’indice MIB30 supera il livello 50.000). Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

5. Probabilità • Indicheremo con •  un particolare stato di natura esito di un dato esperimento • e con •  l’insieme di tutti gli stati possibili (spazio campione). • Il concetto di evento é associato al verificarsi di uno o più stati di natura, esso verrà pertanto rappresentato come sottoinsieme di . Lo spazio degli eventi, A, è quindi una famiglia di sottoinsiemi di  caratterizzata dalle seguenti proprietà: • A; • se l’evento A allora anche il suo complemento  - A; • se nA, allora nA Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

6. Probabilità • Esempio – consideriamo l’esperimento aleatorio per antonomasia: il lancio di un dado. In questo caso lo spazio campione è formato dall’insieme dei sei numeri che possono risultare dal lancio stesso   Vediamo il significato di alcuni elementi di A. Ad esempio l’elemento corrisponde all’evento “il numero risultante dal lancio è minore o uguale a 2”. Altri elementi sono vale a dire “il numero risultante è dispari”, e cioè “il numero uscente è pari”. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

7. Probabilità • Definiamo funzione di probabilità una funzione P a valori reali che soddisfa le seguenti proprietà: se gli nsono a due a due disgiunti. • Osserviamo che una funzione di probabilità così definita è anche una misura. La terna (, A , P) viene detta spazio di probabilità. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

8. Probabilità L’area complessiva è uguale a 1 • L’interpretazione geometrica 1  L’area di un insieme di superfici che non si sovrappongono è la somma delle aree delle singole superfici 3 L’area di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva 4 2 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

9. Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

10. Variabili Aleatorie • Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene definita come una funzione • Può esservi una certa confusione fra il concetto di variabile stocastica e quello di evento. Se in un determinato “esperimento” si è interessati unicamente al valore che una determinata grandezza può assumere allora effettivamente il valore di questa grandezza descrive compiutamente l’evento. • In questo caso il valore assunto dalla variabile aleatoria, x, si chiama “campione” della variabile aleatoria X e può essere pensato come una sorta di “etichetta” dell’evento e(x) definito dalla relazione Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

11. Variabili Aleatorie • Potremmo poi pensare di definire la funzione distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X come la probabilità corrispondente all’evento caratterizzato da un ben definito valore di X • Se la funzione X può assumere solo valori discreti, la definizione appena data è legittima, tuttavia se X è una funzione a valori continui, la probabilità di ottenere come risultato un qualunque valore prefissato è nulla. • L’evento a cui, in ogni caso, possiamo assegnare probabilità non nulla è l’evento corrispondente al caso in cui la variabile aleatoria X non supera un livello prefissato • Abbiamo pertanto la seguente definizione di variabile aleatoria … Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

12. Variabili aleatorie • Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene definita come una funzione tale che per ogni numero reale r si abbia • La funzione definita sull’insieme dei numeri reali, viene detta funzione di distribuzione cumulatao, più semplicemente, funzione di distribuzione. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

13. Variabili Aleatorie • Una variabile aleatoria è detta discreta se l’insieme dei valori che può assumere è numerabile. Sia (, A , P) uno spazio di probabilità e X una variabile aleatoria discreta. Definiamo la funzione di probabilità come • La funzione di probabilità e la funzione di distribuzione sono legate dalla relazione: Il lancio di un dado rappresenta una tipica variabile aleatoria discreta Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

14. Variabili Aleatorie • Una variabile aleatoria X è detta continua se esiste una funzione reale fX tale che per ogni x reale sia soddisfatta la relazione • Nei punti in cui la funzione di distribuzione è derivabile vale anche la relazione inversa • La funzione f(x) in questo caso viene detta funzione densità di probabilità(o semplicemente funzione densità). Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

15. Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

16. Momenti • Il valor medio o valore di aspettazione di X, che indicheremo con , è definito come • In generale si definisce momento dall’origine (o momento grezzo) di ordine r, e si indica, la media della variabile aleatoria Xr. • La definizione è naturalmente applicabile solo nel caso in cui tale media sia finita. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

17. Momenti • In pratica vengono comunemente utilizzati i primi quattro momenti: • media • varianza • skewness (o asimmetria) • curtosi Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

18. Momenti • La varianza di X, indicata con , è la media degli scarti quadratici rispetto alla media e rappresenta una misura di dispersione di X. • La sua radice quadrata è detta deviazione standard. • La varianza è definita da • Da cui è immediato ricavare • Uno stimatore della varianza è dato da Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

19. Il significato della deviazione standard • Due serie storiche di cui la seconda ha standard deviation doppia dell’altra... Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

20. Il significato della deviazione standard • ... e le rispettive distribuzioni di probabilità! Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

21. Momenti • Il momento centrale di ordine 3 ci dà informazioni sul grado di asimmetria di una distribuzione attorno alla sua media ed è comunemente indicato col termine skewness. • L'asimmetria positiva indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più positivi. • L'asimmetria negativa indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più negativi. • Uno stimatore di questa grandezza è dato da in cui s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

22. Momenti • La relazione tra momento del terzo ordine e coefficiente di asimmetria, solitamente indicato con 1/2, è data da • Valori positivi dell’asimmetria indicano che la distribuzione è asimmetrica per valori crescenti della variabile x (a destra) mentre un’asimmetria negativa sta ad indicare una distribuzione asimmetrica a sinistra. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

23. Momenti • Vediamo infine la curtosi, indicata con 2, di un insieme di dati. • Essa è legata al momento centrale di ordine 4 dalla relazione ed è caratteristica delle cosiddette “code grasse”. • Gli stimatori comunemente utilizzati riportano in realtà la cosiddetta “curtosi in eccesso” ovvero la differenza fra e 3. • Questo è dovuto al fatto che la distribuzione normale o gaussiana ha curtosi pari a 3 e questo indicatore viene spesso utilizzato come indice per comprendere quando la distribuzione di un insieme di dati si allontani dalla normalità. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

24. Momenti • La formula utilizzata per lo stimatore è riportata sotto; • s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio. • Nell’immagine un esempio di distribuzione empirica dei rendimenti di un titolo in cui si evidenzia il fenomeno della “leptocurtosi” (code grasse) Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

25. Momenti • Si possono facilmente generalizzare al caso continuo i risultati per le distribuzioni discrete. • Il valore di aspettazione sarà pertanto definito come • In cui l’integrazione è estesa al dominio di definizione della variabile che può variare a seconda del tipo di distribuzione. • In maniera analoga si generalizzano le definizioni di varianza e degli altri momenti. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

26. Cenni di Statistica dei Mercati Finanziari • Come vedremo più avanti la grandezza di cui siamo interessati a stimare le caratteristiche statistiche non è il prezzo di un titolo ma la sua variazione percentuale (rendimento); • In prima approssimazione possiamo ipotizzare che il rendimento di un titolo azionario sia distribuito in maniera normale; • In realtà quest’assunzione è fortemente criticabile anche se di impiego quasi universale in pratica; • La distribuzione effettiva dei rendimenti tende ad essere leptocurtotica Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

27. Dalla serie storica dei prezzi a quella dei rendimenti • Il primo calcolo che dobbiamo fare è quindi quello di trasformare la serie storica dei prezzi in serie storica dei rendimenti del titolo o della generica attività finanziaria: • sia • n il numero di osservazioni; • Siil prezzo dell’azione alla fine dell’i-esimo intervallo (i = 0,1,..,n); •  la lunghezza dell’intervallo in anni • Indichiamo con ui il tasso di rendimento composto continuamente non annualizzato relativo all’intervallo considerato Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

28. La Stima della Volatilità • Una stima della deviazione standard è data da • Questa è una stima della volatilità giornaliera, per ottenere una stima della volatilità annualizzata occorre moltiplicare per la radice quadrata del numero di giorni lavorativi in un anno. • Scegliere un valore per n non è facile, in generale più dati si usano e maggiore è l’accuratezza. Tuttavia  cambia nel tempo e i dati troppo vecchi possono non essere rilevanti per prevedere il futuro. • Un compromesso che sembra funzionare abbastanza bene è quello di utilizzare i prezzi di chiusura giornalieri degli ultimi 90-180 giorni. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

29. Stima della volatilità • Si noti che la volatilità così stimata è una volatilità che si riferisce al periodo della serie storica • Es. se abbiamo una serie di rendimenti giornalieri, la volatilità sarà la volatilità giornaliera del rendimento; • Occorre riportare ad un’unità di misura comune; • Es. per ricondurre tutto a volatilità annuali, sotto opportune ipotesi statistiche, occore moltiplicare per la radice del numero di giorni lavorativi Nr. Giorni Lavorativi in un Anno Volatilità annuale Volatilità giornaliera Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

30. Esempio ProgrammazioneVBA Distribuzione dei Rendimenti di un Indice Azionario Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

31. Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

32. Distribuzioni Discrete • Distribuzione Uniforme • Sia X una variabile aleatoria che assume valori nel dominio dei numeri naturali 1, 2, ... , n. Diremo che tale variabile ha una distribuzione uniforme se risulta • Valor medio e varianza sono dati da: Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

33. Distribuzioni Discrete • Distribuzione Binomiale • Dati n eventi indipendenti, tutti con uguale probabilità p, sia X la variabile casuale che conta il numero totale di eventi che si verificano fra quelli possibili. • X ha una distribuzione binomiale con parametri n e p. La funzione di probabilità è per i = 0, 1, 2, ..., n • valor medio e varianza sono dati da Funzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata Binomiale per il caso n = 6 e p = 0.5 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

34. Distribuzioni Discrete • Distribuzione di Poisson • Esistono numerosi eventi che accadono nel tempo con cadenza del tutto irregolare. • Indichiamo con  il numero medio di occorrenze nell’unità di tempo e supponiamo che siano soddisfatte le seguenti proprietà: • La probabilità di avere esattamente un’occorrenza in un intervallo di tempo dt di ampiezza trascurabile è  dt a meno di infinitesimi di ordine superiore mentre la probabilità di avere più di un’occorrenza è trascurabile; • I numeri di occorrenze in intervalli temporali disgiunti sono indipendenti. • Consideriamo la variabile aleatoria X che rappresenta il numero di occorrenze in un dato intervallo . Dividiamo l’intervallo in n sotto-intervalli di ampiezza t / n. La probabilità di avere esattamente una occorrenza all’interno di uno di questi sotto-intervalli è per le ipotesi fatte pari a  t / n; per la proprietà dell’indipendenza, e ricordando la definizione della distribuzione binomiale, otteniamo che la probabilità di k occorrenze è data da (a meno di infinitesimi di ordine superiore) Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

35. Distribuzioni Discrete • Supponiamo ora che n tenda all’infinito, per le ipotesi fatte la probabilità di occorrenza all’interno di un intervallo  dt tende a zero ma il prodotto n dt è pari ad una costante  =  t, otteniamo così la cosiddetta distribuzione di Poisson con x = 0, 1, 2, ... • La media e la varianza di una distribuzione di Poisson coincidono e sono entrambe pari al parametro . Funzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata di Poisson per  = 9 Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

36. Distribuzioni Continue • Distribuzione Uniforme • Diremo che una variabile aleatoria X è uniformemente distribuita nell’intervallo reale [a, b] se la sua funzione di distribuzione cumulata è data da a cui corrisponde una funzione densità di probabilità data da La distribuzione uniforme gioca un ruolo particolarmente importante nei metodi di simulazione in quando per generare le diverse distribuzioni si parte usualmente da generatori di variabili casuali uniformi. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

37. Distribuzioni Continue • Distribuzione Normale • Una delle funzioni più importanti, sia nella teoria sia nella pratica, è la distribuzione normale o gaussiana la cui funzione densità è data da: dove i parametri  e  sono rispettivamente la media e la deviazione standard. • Una variabile aleatoria viene detta distribuita secondo una normale standard se la media è 0 e la standard deviation è 1. • Durante il corso utilizzeremo anche una notazione abbastanza diffusa tramite la quale si indica che una generica variabile aleatoria X è distribuita come una normale con media  e varianza 2: X ~N( , ). Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

38. Rapporto fra distribuzioni e istogramma • Non dimenticate che la densità di probabilità rappresenta la frazione di valori che cadono all’interno di un certo intervallo della variabile aleatoria: Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

39. Distribuzioni Continue • Distribuzione LogNormale • Sia X una variabile aleatoria con distribuzione normale, allora la variabile z = eX definisce una variabile aleatoria con distribuita in maniera log-normale. • Se la variabile X ha media  e standard deviation , allora la funzione densità di probabilità di z è data da con z > 0. La media e la varianza della variabile Z possono essere espresse in funzione dei corrispondenti momenti di X tramite le relazioni avendo posto . Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

40. Distribuzioni Continue • I fattori di asimmetria e curtosi sono dati rispettivamente da • Notate che per valori di  non nulli, sia l’asimmetria è sempre maggiore di zero e la curtosi è sempre maggiore di 3. Questo vuol dire che la distribuzione log-normale è sempre asimmetrica a destra e leptocurtica. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

41. Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

42. Esistono numeri casuali ? • Come può un elaboratore, macchina totalmente deterministica, generare numeri casuali e quindi per loro natura non deterministici? • La risposta è molto semplice: non può! • I numeri sono generati per mezzo di qualche algoritmo per cui non si può parlare di casualità essendo la sequenza predeterminata; • In compenso con un computer si possono generare sequenze di numeri che sembrino aleatorie Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

43. Generatori di Numeri Pseudocasuali • Virtualmente tutti i generatori di numeri pseudo casuali impiegati in pratica sono basati sul generatore lineare congruente I parametri a, c ed m determinano la qualità del generatore. a viene detto moltiplicatore, c incremento ed m è il cosiddetto modulo. • Il generatore appena visto genera numeri interi compresi fra 0 ed m. Usualmente si utilizzano generatori di numeri casuali uniformemente distribuiti fra 0 ed 1, per questo è sufficiente scegliere Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

44. Generatore Lineare Congruente • La sequenza di numeri casuali si ripeterà dopo un ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m. • Il massimo intero rappresentabile su un computer la cui lunghezza di parola è di L bit è 2L. • Usualmente si sceglie Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

45. Generatore Lineare Congruente Vantaggi • E’ molto veloce richiedendo pochissime operazioni per chiamata, questo lo rende di uso universale; Svantaggi • Il più grosso svantaggio è rappresentato dalla presenza di correlazione sequenziale; • Può produrre risultati inaspettati quando viene usato per la generazione di distribuzioni non uniformi. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

46. Generatore Lineare Congruente Se si generano n coppie di numeri casuali e si associano ad esse n punti in un piano, i punti non si distribuiscono uniformemente ma tendono ad allinearsi lungo segmenti di retta. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

47. Generatore Lineare Congruente • La correlazione sequenziale può essere facilmente rimossa con tecniche di mescolamento (“shuffling”); • Il numero prodotto allo step j non costituisce l’output j-esimo ma viene utilizzato per l’output ad uno step successivo scelto in maniera casuale; Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

48. Generazione di distribuzioni UniformiMicrosoft Excel • La funzione Rnd() restituisce un valore numerico di tipo Single che contiene un numero casuale. • La sintassi è la seguente: Rnd[(num)] • L'argomento facoltativo num può essere un valore Single o una qualsiasi espressione numerica valida. • I valori restituiti dalla funzione dipendono dal valore passato come argomento. • Per ogni base iniziale specificata, viene generata la stessa sequenza di numeri, in quanto ogni successiva chiamata alla funzione Rnd() utilizza il numero casuale precedente come base per il numero successivo nella sequenza. In particolare • se il parametro num è minore di zero Rnd() genera sempre lo stesso numero, utilizzando num come base; • se num è maggiore di zero viene restituito il successivo numero casuale nella sequenza; • se num è uguale a zero viene restituito il numero generato per ultimo; • infine se il parametro in input viene omesso, Rnd() restituirà il successivo numero casuale nella sequenza. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

49. Generazione di distribuzioni UniformiMicrosoft Excel • Prima di richiamare Rnd(), è consigliabile utilizzare l'istruzione Randomize senza argomento per inizializzare il generatore di numeri casuali con una base connessa al timer del sistema con la seguente sintassi Randomize[(numero)] • Randomize utilizza il parametro numero per inizializzare il generatore di numeri casuali della funzione Rnd() assegnandogli un nuovo valore base. Se numero viene omesso, il valore restituito dal timer di sistema verrà utilizzato come nuova base. • Ricordate che la funzione Rnd() restituisce un valore minore di 1 ma maggiore o uguale a zero. Per generare interi casuali in un dato intervallo, utilizzare la seguente formula: Int((limitesup - limiteinf + 1) * Rnd + limiteinf) dove limitesup indica il numero maggiore presente nell'intervallo, mentre limiteinf indica il numero minore. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005

50. Esempio ProgrammazioneVBA Il Generatore Lineare Congruente Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005