大家好 !

1. 大家好!

2. 漫谈初三数学复习

3. 一 精选 二 会用 三 善变

4. M D A N C B 例1： 选----一题多解，开阔思路 如图，四边形ABCD是正方形，点M是AD边上不同于A、D的点，点N是CD的中点. 若sin∠ABM= ， 求证：∠NMB=∠MBC. P 方法一：构造三角形

5. M D A N C B 方法二：构造梯形 • 作NQ∥MB交BC于点Q. Q

6. M D A N C B 方法三：构造全等三角形 • 作BH⊥MN于点H，连结BN. H

7. M D A N C B 方法四：构造相似三角形 • 作NE⊥MB于点E，连结BN. E

8. M D A N C B 方法五：旋转图形 延长DC到G， 使CG=AM. G

9. M D A N C B 方法六：构造中位线 • 作NG∥BC交MB于点G. F K

10. 用---- 反 思 • 涉及的知识 • 使用的方法 • 体现的思想 • 达到的目的

11. M D A N C B 变----例1的变式1 • 如图，四边形ABCD是正方形，点M是AD边上 不同于A、D的点， 若sin∠ABM= ， 求证： 点N是CD的中点. H ∠NMB=∠MBC. P 思路：构造等腰三角形，证明全等

12. M D A N C B 例1的变式2 • 如图，四边形ABCD是正方形，点M是AD边上不同于A、D的点，点N是CD的中点. 若 求证： sin∠ABM= H ? 求： ∠NMB=∠MBC. P 思路：构造相似三角形

13. 归纳 • 构造三角形是通解通法

14. 例2 如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，P为△ABC内一点，已知PC=1，PA= ，PB=3， 由以上信息你可以得到哪些结论？ 求∠APC的度数. PA,PB,PC可以集中到 两个直角三角形中 A D D △PCP’是等腰直角三角形 P 3 P’ 1 B C P’ AP⊥BP’ 变形

15. 评析：题目中的△ BCG实际上可以看成是把△ DCE以点C为中心按逆时针方向旋转90°的结果，然后利用线段垂直平分线的性质确定点G. 此题巧妙地把旋转、对称和动点问题结合在一起 . 例3如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与点C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H. （1）求证：① △BCG≌△DCE； ② BH⊥DE； （2）当点G运动到什么位置 时，BH垂直平分DE？ 请说明理由.

16. 变一：把△ DCE以点D为中心按顺时针方向旋转90°，可以得到什么结论呢？ 变二：在四边形BEDF中，BD平分∠FBE，若∠FBE=90°， ∠F与∠E互补，则线段BE、BF、BD有怎样的数量关系？ BF+BE= BD 若把变二中的“∠FBE=90°”换成“∠FBE=120°”，其余条件不变，是否还有上述结论成立？ F

17. (2) (3)

18. 图1 图2 （07资阳）如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. • (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

19. A D M E B C P F 变式1：将正方形CEPF绕点C旋转任意角度，取线段PA的中点M.探究：线段MD、ME的关系，并加以证明. N

20. A D A D M E M E F P B B C P C F H H

21. C D P F G E A B • （08北京）请阅读下列材料： • 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及 的值． • 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： • （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及 • 的值； H 图1

22. C D G P F B A E 图2 （2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使其对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含α的式子表示）． H

23. 弱化条件 例1 若二次函数的图象经过三点（1，5）， （3，-2），（5，0）. 求此二次函数的解析式. 【题1】求一个二次函数，使得当x=1时，y＞0； x=3时，y＜0；x=5时，y=0.

24. 已知二次函数的图象的对称轴是x=3，请写出一个二次函数的解析式.已知二次函数的图象的对称轴是x=3，请写出一个二次函数的解析式. • 已知二次函数的图象的对称轴是x=3， 请再添加一个条件，写出一个二次函数的解析式.

25. 例2 已知点A(2，2)、B(-1，-2)，点P在x轴上，且⊿PAB是直角三角形，∠APB是直角，试求点P的坐标. y A(2，2) O x P’ P B(-1，-2)

26. 【题2】 • 已知点A(2，2)、B(-1，-2). （1）试在x轴上找一点P，使⊿PAB是直角三角形. 这样的点P能找到几个？ （2）若把（1）中的“x轴”改为“坐标轴”呢？请写出所找到的点P的个数.

27. y A(2，2) O x P B(-1，-2)

29. E A P F G B D C 开放结论 • 例3 已知点C在线段BD上，在BD的同侧作两个等边三角形⊿ABC和⊿ECD，BE交AC于点F，AD交CE于点G，交BE于点P. • 求证：FG∥BD. 由题设可以得到哪些结论？

30. E A P F G B D C 深化结论 • 如果点C是BD上一动点，BD=10. 当点C运动到什么位置时，线段FG有最大值？最大值是多少？ y x 10-x

31. 变换图形 • 如果两个等边三角形不在BD的同侧，还会有什么结论成立?

32. （锦州）（1）如图1，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE，线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；（锦州）（1）如图1，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE，线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论； （2）将图1中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图2，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由； （3）若将图1中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可）（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现 . C

34. （东城二模）图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和C’D’E’叠放在一起（C与C’重合）.（东城二模）图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和C’D’E’叠放在一起（C与C’重合）. （1）操作：固定△ABC，将△C’D’E’绕点C顺时针旋转30º得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图（2））； 探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论． （2）操作：将图（1）中的△C’D’E’固定，将△ABC 移动，使顶点C落在C’D’的中点，边AC交E’D’于M，边BC交C’E’于N . 若△C’D’E’的边长为a，∠ACD’=α （30°<α<90°）（图（3））； 探究：在图（3）中线段C’N·D’M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C’N·D’M的值；如果有变化，请说明理由.

35. （昌平二模）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F . （1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论； （2）如图2，若连接EF，请探索线段BE、EF、FC之间的关系； （3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值. 1 2 3 图3 图1 图2

36. “一题多变”的常用方法有： 1. 变换命题的条件与结论；2. 减弱条件，加强结论；3. 保留条件，深化结论；4. 探讨命题的推广；5. 考查命题的特例；6. 生根伸枝，图形变换；7. 接力赛，一变再变；8. 解法的多变等.

37. 在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质.如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，就能达到知一题，得一串，通一片的目的.在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质.如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，就能达到知一题，得一串，通一片的目的.

38. 谢谢！