第二部分集合论

第二部分集合论 2.1 集合代数 2.2 二元关系 2.3 函数

2.1 集合代数 集合是一般数学及离散数学中的基本概念，几乎与现代数学的各个分支都有密切联系，并且渗透到很多科技领域。本章主要介绍集合的基本知识： §2.1.1 集合的基本概念 §2.1.2 集合的运算 §2.1.3 集合恒等式

：a不属于集合A ：a属于集合A； 2.1.1 集合的基本概念集合：把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来研究时，这一整体便称为一个集合。记为A、B…… 元素：组成这个集合的个别事物。记为a、b…… 常用集合：N、Z、Q、R、C 基数（元数）：有限集S中所含元素的个数，记为 |S|。

集合的表示方法 方法一、列元素法如：A＝{a,b,c} B＝{1,2,3,4…}等方法二、谓词表示法如：A＝{x|x2-1=0∧xR} B＝{a|a是自然数}等注：描述法表示形式不一定唯一。如：{0,1}⇔{x|x2-x=0} ⇔ {x|x<2且x是自然数}

思考：在集合A＝{a,b,{c,d}}中，c，d与集合A的关系？思考：在集合A＝{a,b,{c,d}}中，c，d与集合A的关系？几点说明：（1）“确定性”；（2）“彼此不同”；（3）集合中元素无限制；（4）列举法中，集合中元素无先后次序；（5）集合{a}与a的区别。规定：对任何集合A，都有A∉A

集合之间的关系 定义6.1 设A，B为集合，如果集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，则称B是A的子集，也可以说B包含于A，或者A包含B，这种关系写作 B⊆A 或 A⊇B 如果B不是A的子集，即在B中至少有一个元素不属于A时，称A不包含B，记作 A⊉B 或 B⊈A 符号化为：B⊆A⇔x（x∊B→x∊A）

例：（1）N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C （2）A＝{a,b,c,d}，B={b,e}，C＝{b,d} （3）A＝{0,1}，B＝{x|x2-x=0∧xR} 注：“”和“⊆”的区别。（4）A＝{0,1} B={0,1,{0,1}} 说明：对于任意集合A，都有A⊆A

集合相等 定义6.2 设A，B为集合，如果A⊆B且B⊆A，则称这两个集合相等，记作A＝B。即：两个集合A和B的元素完全相同。如果A与B不相等，则记做A≠B。符号化为：A=B⇔A⊆B∧B⊆A。例：A＝{0,1}，B＝{x|x2-x=0∧xR}

真子集 定义6.3 如果集合B是集合A的子集，但B和A不相等，也就是说在A中至少有一个元素不属于B，则称B是A的真子集，记作 B⊂A 或 A⊃B 符号化为：B⊂A⇔A≠B∧B⊆A 例如：集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，2，3｝，那么A⊂B N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

几个特殊集合 定义6.4 没有任何元素的集合是空集,记作 例如 {x|x2 +1=0∧xR} 定理6.1 对任意集合A, A 推论: 空集是唯一的. 注： 与{}的区别？定义6.6 如果限定所讨论的集合都是某个集合的子集,则称这个集合是全集,记作E 注：全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一。

幂集： 定义6.5 设A是有限集，由A的所有子集作为元素而构成的集合称为A的幂集，记作P(A)（ρ(A)，2A）符号化为P(A)＝｛x|x⊆A｝。例如：A＝｛1，2，3｝，则 P(A)＝｛，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛2，3｝，｛1，2，3｝｝易知：如果有限集合A的元数为n，则其幂集的个数为2n。例：若A＝{a}，试求P（P（A））。

2.1.2 集合的运算 定义6.7 任意两个集合A、B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A－B分别定义如下： A∪B＝｛x|xA或xB｝ A∩B＝｛x|xA且xB} A－B＝｛x|xA且x∉B｝例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛a，b，c，d，e｝，则 A∪B＝｛a，b，c，d，e｝ A∩B＝{a，b，c} A－B=  B－A={d，e}

推广至多个集合： 定义6.8 设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，定义为： A♁B＝(A-B) ∪ (B－A) 即，它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又属于B。例如，A＝｛a，b，c，d｝，B＝｛a，c，e，f，g｝那么 A♁B＝｛b，e，d，f，g｝另一种定义： A♁B＝(A∪B)-(A∩B)

集合的补 定义6.9 设E是全集，A是E的一个子集，称E-A为A关于全集的补集，也叫做A的绝对补集，简称为补集。记作~A。即 ~A＝E－A＝｛x| xE且x ∉ A ｝例如，E＝｛a，b，c，d｝，A＝｛a，b，c｝，则 ~A＝｛d｝

广义并，广义交 集合运算的优先顺序：一类运算：广义并，广义交，幂集，绝对补二类运算：并，交，相对补，对称差一类运算优先与二类运算一类运算之间由右向左顺序进行二类运算之间由括号决定先后顺序如书P88页例6.3

E E E 文氏图: 一种图解集合的工具，可以帮助我们形象的理解复杂的集合关系，但一般不作为证明方法。如书P89页例6.4，例6.5

2.1.3 有穷集的计数 定理6.2（包含排斥原理）设A与B是两个有限的集合，则|A∪B |=|A|+|B|-|A∩B| 推广：更一般的：

例1：假设某班有20名学生，其中有10人英语成绩为优，有8人数学成绩为优，又知有6人英语和数学成绩都为优。问两门课都不为优的学生有几名？例1：假设某班有20名学生，其中有10人英语成绩为优，有8人数学成绩为优，又知有6人英语和数学成绩都为优。问两门课都不为优的学生有几名？解:设英语成绩是优的学生组成的集合是A，数学成绩是优的学生组成的集合是B，因此两门课成绩都是优的学生组成的集合是A∩B。由题意可知 |A|＝10 |B|＝8 |A∩B|＝6 由包含排斥原理可得： |A∪B|＝|A|+|B|-|A∩B| ＝10+8-6 = 12 所以，两门课都不是优的学生数为：20-|A∪B|＝8。

例2： 某年级有59名学生，期末考高等数学、线性代数和计算机语言三门课。已知高等数学、线性代数和计算机语言各门课的及格人数分别为47人、49人和50人。其中高等数学和计算机语言都及格的有43人，线性代数和计算机语言都及格的有42人，三门课都及格的有40人，三门课都不及格的有1人；试求：（1）高等数学和线性代数都及格的有多少人？（2）只有一门课及格的有多少人？解：设 E：该年级全体学生集合 A：高等数学及格的学生集合 B：线性代数及格的学生集合 C：计算机语言及格的学生集合

2.1.4 集合恒等式 幂等律： A∪A＝A （6.1） A∩A＝A （6.2）结合律： (A∪B)∪C＝A∪(B∪C) （6.3） (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （6.4）交换律： A∪B＝B∪A （6.5） A∩B＝B∩A （6.6）

集合恒等式 分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）（6.7） A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）（6.8）同一律：A∪＝A （6.9） A∩U＝A （6.10）零律： A∪E＝E （6.11） A∩＝ （6.12）排中律：A∪（~A）＝E （6.13）矛盾律：A∩（~A）＝ （6.14）

集合恒等式 吸收律： A∪（A∩B）＝A （6.15） A∩（A∪B）＝A （6.16）德摩根律：A－（B∪C）＝（A－B）∩（A－C）（6.17） A－（B∩C）＝（A－B）∪（A－C）（6.18） ~（A∪B）＝~A∩~B （6.19） ~（A∩B）＝~A∪~B （6.20） ~＝E （6.21） ~E＝ （6.22）双重否定律：~（~A）＝A （6.23）

A∩B⊆A，A∩B⊆B （6.24） A⊆A∪B，B⊆A∪B （6.25） A－B⊆A （6.26） A-B＝A∩~B （6.27） A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A⇔ A－B＝ （6.28） A⊕B＝B⊕A （6.29）（A⊕B）⊕C＝A⊕（B⊕C）（6.30） A⊕＝A （6.31） A⊕A＝ （6.32） A⊕B＝A⊕C⇒B = C （6.33）

集合运算率的应用： 例一、设A，B，C为任意三个集合，试证明以下各等式：（1）A∪（B－A）＝A ∪B （2）A∩（B－C）＝（A∩B）－（A∩C）（3）（A∪B）－（A∩B）＝（B－A）∪（A－B）例二、设A，B，C为任意三个集合，且已知A∪B＝ A∪C， A∩B ＝A∩C。试证：B＝C。例三、证明对于任意集合A，B，C，有（A⊕B）∪（C⊕D）＝的充分必要条件是A＝B且C＝D。

2.2 二元关系 §2.2.1 有序对与笛卡儿积 §2.2.2 二元关系 §2.2.3 关系的运算 §2.2.4 关系的性质 §2.2.5 关系的闭包 §2.2.6 等价关系与划分 §2.2.7 偏序关系

定义7.1 由两个固定次序的个体x，y组成的二元组称为一个有序对或序偶，记为<x，y>，其中x，y分别称为序偶的第一、二元素（或称第一、二分量）。 2.2.1 有序对与笛卡儿积性质：（1）当x≠y时，<x，y>≠<y，x> （2） <a，b>=<c，d>当且仅当a=c，b=d。例：已知<x＋2，4>=<5，2x＋y>，求x和y。

笛卡儿乘积 定义7.2 给定两个集合A和B，如果有序对的第一个分量是A中的一个元素，第二个分量是B中的一个元素，则所有这种有序对的集合称为集合A和B的笛卡儿积，记为A×B，符号化为 A×B={<x，y>x∈A∧y∈B}。

例（1）A={a，b}，B={c，d}，求A×B。 （2）A={a，b}，B={c，d}，求B×A。（3）A={a，b}，B={1，2}，C={c}，求（A×B）×C和A×（B×C）。易知：若|A|=m，|B|=n，则|A×B|＝mn

笛卡儿积运算的性质： 1、对任意集合A，根据定义有A×＝，×A＝ 2、一般的说，笛卡儿积运算不满足交换率 3、笛卡儿积运算不满足结合率 4、笛卡儿积运算对并和交运算满足分配率，即（1）A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）（2）（B∪C）×A=（B×A）∪（C×A）（3）A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）（4）（B∩C）×A=（B×A）∩（C×A） 5、AC∧BD ⇒ A×BC×D

对于<a，b>∈R，则称a，b有关系R，记做aRb； 若 <a，b>R，则称a，b没有关系R，记做aRb。 2.2.2 二元关系定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一：（1）集合非空，且它的元素都是有序对（2）集合是空集则称该集合为一个二元关系，记做R。简称关系。定义7.4 设A，B是两个集合，R是笛卡儿积A×B的任一子集，则称R为从A到B的一个二元关系，简称关系。特别当A=B时，则称R为A上的二元关系（或A上的关系）。

设R为A上的二元关系。若R＝，则称R为A上空关系；设R为A上的二元关系。若R＝，则称R为A上空关系；定义7.5 对任意集合A，定义全域关系EA＝{<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A 恒等关系IA＝{<x,x>|x∈A} 一些常用的关系：LA，DB，R 例如：A＝{1,2} 如书P113页例7.4 给出一个关系的方法：集合表达法，关系矩阵，关系图

即：1 当aiRbj rij ＝ 0 当ai与bj没有关系关系矩阵表示法设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标注矩阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列，对于a∈A和b∈B，若<a，b>∈R，则在行a和列b交叉处标1，否则标0。这样得到的矩阵称为R的关系矩阵，记做MR。

关系图表示法 有限集的二元关系可以用有向图来表示，设集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为从A到B的一个二元关系，首先在平面上作出n个空心点分别记作a1，a2，…，an，然后另外作出m个空心点分别记作b1，b2，…，bm，如果a∈A、b∈B且(a，b)R，则自结点a到结点b作出一条有向弧，其箭头指向b。如果(a，b)R，则结点a和结点b之间没有线段联结。用这种方法得到的图称为R的关系图。自回路

例 A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，R={（1，7），（2，5），（3，6），（4，7）}，作出R的关系图。解 R的关系图，如图所示：例设A={1，2，3，4}，R={(1，2)，(2，2)，(3，3)，(4，1)}。画出A上的关系图。解 A上的关系图如图所示:

2.2.3 关系的运算 定义7.6 设R是二元关系。（1）R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记做domR，形式化为： domR＝{x|y（<x,y>∈R ）} （2）R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域，记做ranR，形式化为： ranR＝{y|x（<x,y>∈R ）} （3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记做fldR，形式化为： fldR＝domR∪ranR

例设A={1，3，5，7}，R是A上的二元关系，当a，bA且a<b时，<a，b>R，求R和它的定义域和值域。解 R={<1，3>，<1，5>，<1，7>，<3，5>，<3，7>， <5，7>} domR={1，3，5}， ranR={3，5，7}， fldR＝{1，3，5，7}

逆关系与复合关系 定义7.7 设R是从集合A到集合B的二元关系，如果将R中每序偶的第一元素和第二元素的顺序互换，所得到的集合称为R的逆关系，记为R─1，即 R─1={<y，x><x，y>∈R} 定义7.8 设F，G为二元关系，G对F的右复合记作F◦G，其中F◦G＝{<x,y>|t（<x,t>∈F∧<t,y>∈G）} 类似的可定义左复合。

例 R={<2，7>，<3，5>，<4，3>}，S={<3，3>，<7，2>}，试求R，S的逆关系和复合关系。 R－1＝{<7，2>，<5，3>，<3，4>}; S－1＝{<3，3>，<2，7>}; R◦S={<2，2>，<4，3>}; S◦R={<3，5>，<7，7>}。显然：复合运算不满足交换率。

限制 定义7.9 设R为二元关系，A是集合（1）R在A上的限制记做R↾A，其中 R↾A＝{<x,y>|xRy∧x∈A} （2）A在R下的像记做R[A]，其中 R[A]＝ran（R↾A）易知：R↾A是R的子集，而R[A]是ranR的子集。例：R＝{<1，2>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<3，2>}，A＝{1}，B＝{2，3}，C＝，试求：R↾A，R↾B，R↾C，R[A]，R[B]，R[C]

基本运算性质： 定理7.1 设F是任意的关系，则: （1）（F－1）－1＝F （2）domF－1 ＝ranF，ranF－1 ＝domF 定理7.2 设F，G，H是任意的关系，则：（1）（F◦G）◦H＝ F◦（G◦H）（2）（F◦G）－1＝G－1◦F－1 定理7.3 设R为A上的关系，则: R◦IA=IA◦R=R

定理7.4 设F，G和H是任意的关系，则有： （1）F◦（G∪H）=（F◦G）∪（F◦H）（2）（G∪H）◦F=（ G◦F）∪（H◦F）（3）F◦（G∩H）（F◦G）∩（F◦H）（4）（G∩H）◦F（G◦F）∩（H◦F）

定理7.5 设F为关系，A，B为集合，则： （1）F ↾（A∪B）＝F ↾ A∪F ↾ B （2）F[A∪B]=F[A]∪F[B] （3）F ↾（A∩B）＝F ↾ A∩F ↾ B （4）F[A∩B]  F[A]∩F[B] 推论：（R∪S）─1=R─1∪S─1 （R∩S）─1=R─1∩S─1

关系的幂运算 定义7.10 设R是集合A上的二元关系，n为自然数，关系R的n次幂定义如下：（1）R0={<x，x>︱x∈A}=IA；（2）Rn+1=Rn◦R。例: 设A={a,b,c}, RAA, R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}, 求R的各次幂.

Rn关系矩阵和关系图的画法： 关系矩阵中的逻辑运算 0＋0＝0，0＋1＝1＋0＝1＋1＝1 1×1＝1，1×0＝0×1＝0×0＝0 Rn关系图可以直接从R的关系图中得出：判断R关系图中两个结点是否有弧相连，则看在R的关系图中此两个结点之间有没有长为n的路。（如书P119例7.8）

定理7.6 设A为n元集，R是A上关系，则存在自然数s和t，使得Rs＝Rt。定理7.7 从关系R的n次幂定义，可得出下面的结论：（1）Rn+m=Rn ◦Rm；（2）（Rn）m=Rnm。

定理7.8 设R为A上关系，若存在自然数s，t（s<t）使得Rs＝Rt ，则（1）对任何k∈N，有Rs＋k＝Rt＋k ；（2）对任何k，i∈N有Rs＋kp＋i＝Rs＋i ，其中p＝s－t；（3）令S＝{R0 ，R1 ，…，Rt－1}，则对任意的q∈N有Rq∈S。如书P122页例7.9

§2.2.4 关系的性质 定义7.11 设R是集合A上的二元关系（1）如果对于每个aA，都有<a，a>R，即aRa，则称二元关系R是自反的。（2）如果对于每个aA，都有 <a，a>  R，则称二元关系R是反自反的。思考：一个二元关系R如果不是自反的必是反自反的？

定义7.12 设R是集合A上的二元关系 （1）如果对于每个x，y∈A，当<x，y>∈R，就有<y，x>∈R，则称二元关系R是对称的。（2）如果对于每个x，y∈A，当<x，y>∈R和<y，x>∈R时，必有x=y，则称二元关系R是反对称的。注：（1）二元关系R不是对称的，也未必是反对称的。（2）存在某种特殊的二元关系，如恒等关系，可以是对称的也可以是反对称的。

定义7.13 设R是集合A上的二元关系，如果对于任意x，y，z∈A，当<x，y>∈R，<y，z>∈R，就有<x，z>∈R，则称二元关系R在A上是传递的。例设A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元关系，其中 R={<a，a>，<b，b>，<a，c>} S={<a，b>，<b，c>，<c，c>}， T={<a，b>} 判断是否是传递关系。例：设集合A＝{1,2,3,…,10}，A上关系R＝{<x,y>| x，y∈A 且x+y=10}，试判断R具有哪些性质？

定理7.9 设R为A上的关系，则 （1）R在A上自反当且仅当IAR。（2）R在A上反自反当且仅当R∩IA＝。（3）R在A上对称当且仅当R＝R－1。（4）R在A上反对称当且仅当R∩R－1IA。（5）R在A上传递当且仅当R◦RR。例1：设R1，R2是集合A上的自反对称关系，试证明R1∩R2，R1∪R2 也是集合上的自反对称关系。例2：设R1，R2是集合A上的传递关系，试证R1∩R2 也是集合上的传递关系。

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