§7 ， 1 空间直角坐标系

§7，1 空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标空间直角坐标系坐标面、卦限、点的坐标二、空间两点间的距离距离公式

拇指方向 z 四指转向 z轴(竖轴) 右手规则 y轴(纵轴) (坐标)原点 1 y 1 1 x轴(横轴) x 一、空间点的直角坐标过空间一个定点 O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O为原点且一般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右手规则．这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系． O

z O y x 坐标面：三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面．x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面，另两个坐标面是 yOz 面和zOx面.

z O y x 卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限．第一卦限

z O y x 卦限：第二卦限

z O y x 卦限：第三卦限

z O y x 卦限：第四卦限

z O y x 卦限：第五卦限

z O y x 卦限：第六卦限

z O y x 卦限：第七卦限

z O y x 卦限：第八卦限

z O y x 点的坐标：设 M 为空间一已知点．过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴，三个平面在 x 轴、y 轴和 z 轴的交点依次为 P、Q、R，在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点M的坐标，并把 x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标．坐标为x、y、 z 的点M记为M(x，y，z)． R z M Q y x P

z M 2 M 1 y O x 二、空间两点间的距离设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．与x轴平行的边的边长为|x 2x 1|， Q P x 1 x 2

z M 2 M 1 y Q P O x 二、空间两点间的距离设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．与x轴平行的边的边长为|x 2x 1|，与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|， y 1 y 2

z M 2 M 1 y Q P O x 二、空间两点间的距离设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面． z 2 z 1 与x轴平行的边的边长为|x 2x 1|，与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，与z轴平行的边的边长为|z 2z 1|．

z M 2 M 1 y Q P O x 二、空间两点间的距离设M 1(x 1，y 1，z 1)、M 2(x 2，y 2，z 2)为空间两点．作一个以M 1和M 2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．与x轴平行的边的边长为|x 2x 1|，与y 轴平行的边的边长为|y 2y 1|，与z轴平行的边的边长为|z 2z 1|．因为 | M1M2| 2 = | M1Q | 2 + | M2Q | 2 = | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 ．所以 d = | M1M2| =

．特殊地，点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)的距离为 d| OM| 例1求证以M 1(4，3，1)、M 2(7，1，2)、M 3(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．解因为 | M 1M 2| 2(74) 2(13) 2(21) 214， | M 2M 3| 2(57) 2(21) 2(32) 26， | M 1M 3| 2(54) 2(23) 2(31) 26，所以| M 2M 3| | M 1M 3|，即DM 1M 2M 3为等腰三角形．

例2在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点．解设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有 |MA| 2|MB| 2，即 (04) 2(01) 2(z7) 2(30) 2(50) 2(2z) 2．解之得

§7 ， 1 空间直角坐标系

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