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  1. 知识回顾 若ab(mod m), cd(mod m), 则: ① ax+cybx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数. ② acbd(mod m). ③ anbn(mod m), 其中 n>0. ④ f(a) f(b)(mod m), f(x)为任给的整系数多项式. ⑤ xaxb(mod m),x为任意整数. 1、 若abac(mod m), 且(a,n)=1,则bc(mod m) 2、

  2. 导入新课 我们以前已经学过了验证运算结果的正确性,对于加法我们用减法来检验,乘法我们用除法来检验.如:25-3=22,正确与否我们用加法验证,因为:22+3=25,所以结果正确.对于很大的数值运用此方法就有局限性了.

  3. 对于运算量很大的式子,怎样很快的判断其正确性呢?如:1234567×147895=456789415对于运算量很大的式子,怎样很快的判断其正确性呢?如:1234567×147895=456789415 你能很快的判断其正确行吗?

  4. 当数目很大时,对运算结果正确性的判断就变的比较麻烦了. 如:1234567×147895=456789415 5789461-159634=4789657 78561238+75894=123456752等. 要想很快的判断其正确性,就要学一种新的方法——弃九验算法.

  5. 第二讲 同余与同余方程 第六节 弃九验算法

  6. 教学目标 知识与能力 1、会用弃九验算法验算正整数的计算结果是否正确.2、知道弃九验算法只能“检错”,不能“判正”.

  7. 过程与方法 1、通过以前知识的引用,循序渐进的推导出弃九验算法.2、通过实例解析对所学的知识进行巩固. 情感态度与价值观 培养学生勇于探究、研究的精神和兴趣.能够举一反三将所学的知识应用的减法、加法、除法中.

  8. 教学重难点 重点 难点 用弃九验算法验算正整数的计算结果是否正确.知道弃九验算法只能“检错”,不能“判正”. 弃九验算法的推导过程.

  9. 我们知道一个正整数可以写成各个位数与十的幂的乘积的和的形式. 如:35=3×10+5; 789=7×102+8×10+9 4236=4×103+2×102+3×10+6对于任意的自然数 应该怎样表示呢? 探究

  10. 按以上的形式类推可表示成 N=an×10n+…+a2×102+a1×10+a0 =an×(99…9+1)+…+a2×(99+1)+a1(99+1)+a0 =9(11…1 an +..+11 a2 + a1)+(a0+a1+…+an) 可以看出9︱N- (a0+a1+…+an) , 所以N≡ a0+a1+…+an(mod9) 我们得到这个整数和它的各位数字之和模9同余.

  11. 设有整数x1,x2,x3,它们的各位数字之和分别为x1’,x2 ’,x3 ’由上面的推论我们可以得到x1≡ x1’(mod9),x2≡ x2’(mod9), x3≡ x3’(mod9), 由同余的性质若ab(mod m), cd(mod m), 则ac bd(mod m). 得到x1 x2 ≡ x1’ x2’(mod9),若x3=x1x2,则 x1’ x2’ ≡ x3’(mod9),

  12. 1、判断2164×7895=45680的正确与否. 解析2164≡2+1+6+4=13≡4(mod9) 7896≡7+8+9+6=30≡3(mod9) 45680≡4+5+6+8+0=23≡5(mod9) 因为 所以式子不正确. 实例 学以致用吆!

  13. 拓展一 已经学会了在乘法中运用弃九验算法,由于乘法和除法是互逆,我们将弃九验算法应用到除法当中.如:A÷B=C,我们可转化成B×C=A,来用弃九验算法.

  14. 2、判断12345÷47=4567的正确与否. 解析:由乘法与除法互为逆运算, 则47×4567=12345, 于是47≡4+7=11≡2(mod9) 4567≡4+5+6+7=22≡4(mod9) 12345≡1+2+3+4+5=15≡6(mod9) 由于故式子不正确. 应用

  15. 拓展二 对于加法、减法结合同余性质 若: ab(mod m), cd(mod m), 则: a+cb+d(mod m), 一样可以运用弃九验算法,由于加法和减法是互逆,我们只要学会了加法的弃九运算,就会应用到减法中了.

  16. 3、判断45318+4518=45416的正确与否. 解析: 45318≡4+5+3+1+8=21≡3(mod9) 4518≡4+5+1+8=18≡0(mod9) 45416≡4+5+4+1+6=20≡2(mod9) 由于故式子不正确. 应用

  17. 课堂小结 一、弃九验算法则 : 若做运算的正整数的各位数字之和模9的余数做相应运算不等于运算结果的正整数的各位数字之和,模9的余数则一定不正确.

  18. 二、弃九验算局限性:只能验证错误,不能验证正确. 三、弃九验算应用:可以用来快速的判断乘法、除法、加法、减法运算结果的正确与否.切记只能判错,不能判对.

  19. 高考链接 1、将自然数1,2,3,…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100,所得的数除以9的余数是多少? 分析与解:因为这个数太大,在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数,

  20. 因为1+2+3+…+9=45,而45是9的倍数,所以每一组1,2,3,…,9都可以划掉. 而1~99这九十九个数中,个位数有十组1,2,3,…,9,都可划掉;十位数也有十组1,2,3,…,9,也都划掉. 最后只剩下的100中的数字1. 所以这个数除以9余1.

  21. 解析:利用弃九验算法 46876≡4+6+8+7+6=31≡4(mod9) 9537≡9+5+3+7 =24≡6(mod9) 4476652≡4+4+7+6+6+5+2=34≡7(mod9) 由于 所以 式子不成立了 2、检验下面的乘法算式是否正确: 46876×9537=4476652.

  22. 解析:利用弃九验算法 只需验证123 × 46=5558 123≡1+2+3=3≡6(mod9) 46≡4+6 =9≡0(mod9) 5558≡5+5+5+8=23≡5(mod9) 由于 所以 123 × 46=5558式子不成立即原式不成立. 3、验证是否正确 5558÷ 46= 123

  23. 课堂练习 1、多位数521983除以9的余数是( ). 2、多位数215938343与多位数593867的余数 是否相同( ). 1 相同

  24. 3、多位数2638457除以9的余数是( ). A.7 B.8 C.9 D.5 B 4、多位数12907225除以9的余数是( ). A.1 B.4 C.2 D.7 A

  25. 5、求多位数7645821除以9的余数. 解析:利用弃九验算法 由于 7645821≡7+6+4+5+8+2+1=33 ≡6(mod9) 所以 7645821除以9的余数是6

  26. 解析:利用弃九验算法 7832145≡7+9+3+2+1+4+5=31≡4(mod9) 2167953≡2+1+6+7+9+5+3=33≡6(mod9) 5664192≡5+6+6+4+1+9+2=33≡6(mod9) 由于 所以 式子不成立 6、检验下面的减法算式是否正确:   7832145-2167953=5664192.

  27. 解析:利用弃九验算法 2638457≡2+6+3+8+4+5+7≡8(mod9) 3521983≡3+5+2+1+9+8+3≡4(mod9) 6745785≡6+7+4+5+7+8+5≡6(mod9) 12907225≡1+2+9+0+7+2+2+5≡1(mod9) 由于所以 式子不成立. 7、检验下面的加法算式是否正确: 2638457+3521983+6745785=12907225.

  28. 教材习题答案 1、1524≡1+5+2+4=12 ≡3(mod9), 3456≡3+4+5+6=18 ≡0(mod9), 4880≡4+8+8+0=20 ≡2(mod9), 由于 故算术不正确. 习题(第32页) 2、只需验算式2346+1340=2596是否正确. 2346≡2+3+4+6=15 ≡6(mod9),

  29. 1340≡1+3+4+0=8 ≡8(mod9), 2596≡2+5+9+6=22 ≡4(mod9), 由于 故算式不正确. 3、4328≡4+3+2+8=17 ≡8(mod9), 3249≡3+2+4+9=18 ≡0(mod9), 14246432≡1+4+2+4+6+4+3+2=26 ≡8(mod9), 由于 故算式不正确.

  30. 4、只需验算算式 165×1432=226380是否正确. 165≡1+6+5=12≡3(mod9), 1430≡1+4+3+2=10≡1(mod9), 226380≡2+2+6+3+8+0=21≡3(mod9),而3×1≡3(mod9),故用弃九验算法无法判断算式是否正确.事实上,直接计算发现,该算式是错误的.