Решение задачи диффузии, зависящей от времени

1. Решение задачи диффузии, зависящей от времени

2. Рассмотрим простейшее уравнение в частных производных параболического типа, описывающее процесс диффузии или теплопроводности в зависимости от времени

3. FTCS схема для уравнения диффузии, зависящего от времени

4. Применение критерия фон Неймана к этой схеме приводит к следующему выражению для ξ:

5. Условие стабильности для схемы FTCS для уравнения диффузии • Выполнение условия • Приводит к следующему критерию стабильности схемы:

6. Условие стабильности для схемы FTCS для уравнения диффузии (2) • Физический смысл приведенного условия состоит в том, что шаг по времени при решении диффузионной задачи должен быть не больше времени диффузии через ячейку сетки размером Δх, или, иначе, время диффузии τ на расстояние λ порядка

7. Методы численного решения эллиптических уравнений

8. Это уравнение в частных производных эллиптического типа, решение этого уравнения можно представить как предел к которому стремится при бесконечно больших t решение следующего уравнения (например, некоторое начальное распределение температур стремится к равновесному распределению)

9. Схема FTCS для уравнения диффузии в двумерной области (1) • Рассмотрим двумерное уравнение диффузии

10. Схема FTCS для уравнения диффузии в двумерной области (2)

11. Схема FTCS для уравнения диффузии в двумерной области (3) Как было показано ранее одномерная схема для уравнения диффузии устойчива, если t/(*)1/2, в двумерном случае t/(*)1/4, возьмем максимально возможный шаг, при котором t/(*)=1/4, тогда приведенная схема получит название схемы Якоби и примет вид

12. Схема Якоби для уравнения диффузии в двумерной области Эта схема теперь используется для решения стационарного уравнения диффузии (граничной задачи)

13. Метод Якоби Эта классическая разностная схема была предложена в конце прошлого века и называется методом Якоби. Этот метод редко используется на практике из-за медленной сходимости, однако он служит основой для понимания многих современных методов.

14. Метод Гаусса-Зейделя (1) Второй классический метод называется методом Гаусса-Зейделя; этот метод используется в многосеточных методах решения граничных задач. В этом методе два значения неизвестной функции в правой части берутся в момент времени n+1, как только они становятся известны.

15. Метод Гаусса-Зейделя (2) Этот метод также медленно сходится, однако анализ этого метода может быть полезен.

16. Рассмотрим методы Якоби и Гаусса-Зейделя с точки зрения представления матриц в виде суммы. Заменим обозначение u на x, чтобы получить стандартный вид матричного уравнения.

17. Разбиение матрицы А Мы можем представить матрицу A в виде  Здесь –D –диагональная часть матрицы A, L – нижняя треугольная часть матрицы A, U – верхняя треугольная часть матрицы A, матрицы L, U содержат нули на диагонали.

18. Метод релаксации для схемы Якоби При использовании метода Якоби итерацию на r –м шаге можно записать в виде: • Матрица –D-1*(L+U) – итерационная матрица при помощи которой находится следующее итерационное приближение.

19. Скорость сходимости метода Якоби (1) • Мы не будем проводить детальный анализ скорости сходимости этого метода, Для оценки скорости сходимости вводится параметр, называемый спектральным радиусом оператора релаксации • При увеличении размерности сетки J спектральный радиус стремится к единице.

20. Скорость сходимости метода Якоби (2) Была произведенаоценка числа итераций, необходимых для достижения точности 10-p

21. Скорость сходимости метода Якоби (3) Для данного конкретного уравнения, граничных условий и геометрии сетки спектральный радиус, в принципе, можно вычислить аналитически, так для сетки размерности J*J с условиями Дирихле на всех четырех границах, асимптотическая формула для больших J имеет вид:

22. Оценка необходимого числа итераций в методе Якоби При этом необходимое число итераций для достижения точности можно оценить по формуле: Другими словами, число итераций пропорционально числу точек сетки

23. Метод релаксации для схемы Гаусса-Зейделя • Методу Гаусса-Зейделя соответствует следующее матричное уравнение:

24. Оценка необходимого числа итераций в методе Гаусса-Зейделя Для рассматриваемой нами модели спектральный радиус и число итераций можно оценить по формулам: