Глава 6. Математическое описание случайных явлений (п.п. 25 – 31)

1. Глава 6. Математическое описание случайных явлений (п.п. 25 – 31) Материал подготовили учителя математики ГОУ ЦО 1682 Смагина Екатерина Николаевна Илич Надежда Николаевна

2. Результаты обучения: • В результате изучения материала главы 6 учащийся должен: • иметь представление об элементарном событии как о простейшем событии, которое нельзя составить из более простых событий; • знать, что любой случайный опыт оканчивается одним и только одним элементарным событием; • уметь вводить обозначения для элементарных событий простого опыта; • уметь записать элементарные события простого опыта, например, бросание одной или двух игральных костей, бросания монеты и т.п. • распознавать опыты, в которых элементарные события считаются равновозможными; • знать, что сумма вероятностей всех элементарных событий в опыте равна единице; • вычислить вероятность элементарного события в опыте с равновозможными событиями;

3. Элементарные события • События, которые нельзя разделить на более простые называются элементарными. • В результате случайного опыта наступает только одно элементарное событие. • Элементарные события, шансы которых одинаковы, называются равновозможными. • Вероятности равновозможных событий одинаковы. Если число элементарных событий N, то вероятность каждого из них равна 1/N. • Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1. • Р(А) = N(A)/N, где N(A) – число событий, благоприятствующих событию А, N – общее число благоприятных событий

4. п. 26 задача 5 • Игральную кость подбрасывают дважды. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий этого эксперимента. Выделите в таблице элементарные события, при которых в сумме выпало: • а) менее 4 очков • б) ровно 7 очков • в) ровно 11 очков • г) четное число очков.

5. п. 26 задача 5 решение:

6. п. 26 задача 5 решение:

7. п. 26 задача 7 • Из закрепленного ружья стреляют по мишени, изображенной на рисунке. Выстрелить мимо мишени невозможно. Элементарным событием при одном выстреле будет выбивание определенного числа очков. Сколько элементарных событий в этом опыте: • а) при двух выстрелах; • б) при трех выстрелах.

8. п. 26 задача 7 решение: • а)При двух выстрелах, элементарных событий 10х10=100, к каждому из десяти возможных элементарных событий при первом выстреле может присоединиться любое из десяти событий при втором выстреле. Все эти 100 элементарных событий записаны в таблице.

9. п. 26 задача 7 решение:

10. п. 26 задача 7 решение: • б) При трёх выстрелах, элементарных событий 10х10х10=1000, к каждому из десяти возможных элементарных событий при первом выстреле может присоединиться любое из десяти событий при втором выстреле и может присоединиться любое из десяти событий при третьем выстреле.

11. п. 26 задача 8 решение: • Спортивная команда «Математик» проводит товарищескую встречу по волейболу с командой «Физик». Ничья невозможна. Встреча проводится до двух побед одной из команд. Победу «Математика» обозначим буквой М, а победу «Физика» – буквой Ф. Одним из элементарных событий является ММ. • а) Запишите все возможные элементарные события. Ответ: ММ, ФФ, МФФ, МФМ, ФММ, ФМФ – 6 возможных элементарных событий

12. п. 26 задача 8 решение: • б) Запишите все элементарные события, при которых встречу выигрывает команда «Физик». Ответ: ФФ, МФФ, ФМФ. • в) Предположим, что во встрече победила команда «Математик». Какой буквой оканчивается запись соответствующих элементарных событий? Ответ: ММ, ФММ, МФМ. • Какое наибольшее количество матчей может состоятся? Ответ: 6 матчей.

13. п. 26 задача 9, п. 28 задача 9 • Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рис. Каждая дорожка обозначена буквой. Например, один из возможных путей записывается как ax, другой – как bz. Перечислите все возможные пути Красной Шапочки в домик бабушки. Сколько получилось путей? • Случайный опыт состоит в том, что Красная шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке. Каждая дорожка обозначена буквой. Элементарным событием в этом опыте является выбранный путь. Например, ax илиbz. Считая. Что все элементарные пути равновозможны, найдите вероятность каждого из них.

14. п. 26, 28 задача 9 решение: • Возможные пути Красной Шапочки из домика мамы в домик бабушки: ax, ay, az, at, bx,by,bz, bt, cx, cy, cz,ct – 12 равновозможных элементарных событий. N = 12 • Р(а) = 1/12.

15. п. 26 задача 12* • Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало: • А) 2 очка Ответ: нет таких элементарных событий. • Б) 3 очка Ответ: 1 элементарное событие. (1, 1, 1) • В) 4 очка Ответ: 3 элементарных события. (1, 1, 2; 1, 2, 1; 2,1,1)

16. п. 26 задача 13* • Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало более: • а)17 очков; б) 16 очков; в) 15 очков.

17. п. 26 задача 13* решение: • а) более 17 очков 6 + 6 + 6 – одно элементарное событие; • б) более 16 очков 6 + 6 + 6; 6 + 6 + 5; 6 + 5 + 6; 5 + 6 + 6 - четыре элементарных события; • в) более 15 очков 6 + 6 + 6; 6 + 6 + 5; 6 + 5 + 6; 5 + 6 + 6; 6 + 6 + 4; 6 + 4 + 6; 4 + 6 + 6; 6 + 5 +5; 5 + 6 + 5; 5 + 5 + 6 – десять элементарных событий.

18. п. 28 задача 7 • Симметричную монету подбрасывают несколько раз. Найти вероятность элементарных событий при: • а) 3 бросаниях; • б) 4 бросаниях; • в) 10 бросаниях.

19. п.28 задача 7 решение: Первая монета Вторая монета О Р О Р О Р Третья монета О Р О Р О Р О Р На дереве вариантов наглядно представлен способ получения элементарных событий при трех бросках монеты. Аналогично при четырех бросках получаем 16. Можно сделать вывод , что число элементарных событий увеличивается в два раза, при подбрасывании монеты 5 раз 32 элементарных события и т.д.

20. п.32 задача 7 решение: • Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний, следует перемножить число всех исходов первого испытания и число всех исходов второго испытания В. (Правило умножения). • Пример: бросание первой монеты имеет два исхода «орел» или «решка», второй монеты – «орел» или « решка». Число элементарных событий 2 2 = 4 = 22, аналогично у трех монет 2 2 2 = 8 = 23.

21. п. 28 задача 7 решение: • а) 3 бросания элементарные события: ООО, ООР, ОРР, ОРО, РРР, РРО, РОО, РОР. Р(а) = 1/ 8; • б) 4 бросания элементарные события: ОООО, ОРОО, ОРРО, ОРРР, ООРО, ООРР, ОООР, ОРОР, РРРР, РОРР, РООР, РООО, РРОР, РРОО, РОРО, РРРО. Р(а) = 1/16; • в) 10 бросаний элементарных событий 1024; Р(а) = 1/1024.

22. п.28 задача 12* • Игральную кость подбрасывают несколько раз. Равновозможны ли элементарные события такого опыта? Найдите вероятность каждого элементарного события при: а) 3 бросаниях; б) 4 бросаниях.

23. п. 28 задача 12* решение: • а) 3 бросания игральной кости элементарных событий N = 63 = 216, Р(а) = 1/216; • б) 4 бросания игральной кости элементарных событий N = 64 = 1296, Р(а) = 1/1296.

24. п.29 задача 7 • Симметричную монету бросают трижды. Выпадение орла при каждом бросании обозначим через О, а выпадение решки – через Р. Выпишите элементарные события, благоприятствующие событию: • а) «выпал ровно один орёл»; • б) «выпала ровно одна решка»; • в) «при втором бросание выпала решка»; • г) «при третьем бросании выпал орёл»; • д) «орёл выпал более одного раза»; • е) «решка выпала хотя бы раз». • Сколько элементарных событий благоприятствует каждому из этих событий?

25. п. 29 задача 7 решение: • а) 3 элементарных события: ОРР, РРО, РОР • б) 3 элементарных события: РОО, ОРО, ООР • в) 4 элементарных события: ОРО, РРО, РРР, ОРР • г) 4 элементарных события: ООО, ОРО, РРО, РОО • д) 4 элементарных события: ООО, ОРО, РОО, ООР • е)7 элементарных событий: ООР, ОРО, РОО, РОР, РРР, РРО, ОРР

26. П.29 задача 9 • Константин,Леонид, и Михаил купили по одной порции мороженого. Всего было куплено мороженое трёх сортов: абрикосовое, брусничное и вишневое. Введите подходящую систему обозначений для элементарных событий такого эксперимента. Запишите все элементарные события, благоприятствующие событию: • а) "Константин купил абрикосовое мороженое" • б) "Леонид не купил брусничное мороженое" • в) "Михаил купил либо абрикосовое, либо вишнёвое мороженое".

27. п. 29 задача 9 решение: 1 – Константин 2 – Леонид 3 – Михаил А– абрикосовое Б – брусничное В – вишнёвое Элементарные события: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. • а) "Константин купил абрикосовое мороженое" АБВ АВБ – 2 элементарных события • б) "Леонид не купил брусничное мороженое" АВБ БВА БАВ ВАБ – 4 элементарных события • в) "Михаил купил либо абрикосовое, либо вишнёвое мороженое" АБВ БАВ БВА ВБА – 4 элементарных события

28. Анализ и решение данных задач можно осуществлять по следующей схеме: • 1. Выясните, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание. • 2. Обозначьте буквами элементарные события, рассматриваемые в условии задачи, с помощью введенных обозначений выпишите все элементарные события. • 3. Найдите среди них события, благоприятствующие событию, вероятность которого надо найти. • 4. Вычислите вероятность по формуле Р(А) = N(A)/N, где N(A) – число элементарных событий, благоприятствующих данному событию, N - общее число элементарных событий. • 5. Если требуется найти вероятность суммы событий, выясните совместны или несовместны рассматриваемые события. Если требуется найти вероятность произведения, выясните зависимы или независимы рассматриваемые события. • 6. Выберите соответствующую условию задачи формулу и выполните необходимые вычисления.

29. п. 31 задача 8 • Миша покупает альбом(А), блокнот(Б) и тетрадь(Т). Продавец достаёт товары в произвольном порядке. Найдите вероятность того что: • а) сначала продавец достанет блокнот; • б) продавец достанет альбом в последнюю очередь; • в) продавец сначала достанет тетрадь ,а в последнюю очередь блокнот; • г) альбом будет раньше извлечен, чем тетрадь.

30. П. 31 задача 8 решение: • Рассмотрим все возможные варианты извлечения товара: АБТ; АТБ; БАТ; БТА; ТАБ; ТБА • общее число возможных событий - 6

31. п. 31 задача 8 решение:

32. п. 31 задача 11 • Шахматный слон может за один ход перейти на любое число полей , двигаясь только по диагонали. Шахматный слон случайным образом поставлен на доску. Найдите вероятность того, что он может за один ход перейти на поле: • а) h1; • б) a5; • в) c4; • г) d7; • д) d5; • е) g3;

33. п. 31 задача 11 решение: • Так как слон случайным образом поставлен на доску, то общее число элементарных событий N = 64. Все события равновозможны. • а) Событию А – «за один ход шахматный слон может перейти на поле h1(двигаясь только по диагонали)» благоприятствуют элементарные события: а8, b7, c6, d5, e4, f3, g2. • N(А) = 7; • Р(А) = N(A)/N; Р(А) = 7/64.

34. п.31 задача 11 решение: • б) Событию А – «за один ход шахматный слон может перейти на поле а5 (двигаясь только по диагонали)» благоприятствуют элементарные события b6, c7, d8, b4, c3, d2, e1. • N(А) = 7; • Р(А) =7/64. • в) аналогично с4, Р(А) = 11/64, • г) 9/64; • д) 13/64; • е) 9/64.

35. п. 31 задача 12 • У Лены есть 4 книги писательницы Гонцовой: « Очки для крота», « Шило в мешке», « Квадратное колесо» и « Полосатый огурец». Оля не знает, какие книги есть у Лены, но решила подарить Лене ещё одну или две книги Гонцовой. В магазине оказались книги «Шило в мешке», «Вагончик тронется», «Акула в аквариуме» и «Квадратное колесо». Найдите вероятность того, что у Лены окажется хотя бы две одинаковые книжки, если Оля выбрала случайным образом: • А) одну книжку Б) две разные книжки

36. п. 31 задача 12 решение: • Обозначим книги, которые есть у Лены дома: «Очки для крота» - 1; «Шило в мешке» - 2; «Квадратное колесо» – 3; Полосатый огурец» - 4. У Лены дома есть набор из книг 1234. • Обозначим книги, которые есть в магазине: «Шило в мешке» – 2; «Вагончик тронется» - 5; «Акула в аквариуме» – 6; «Квадратное колесо – 3. • а) Оля выбрала случайным образом одну книжку. Всего элементарных событий 4: 2, 5, 6, 3. У Лены могут получится наборы книг: 12342, 12345, 12346, 12343. Событие А «У Лены окажется хотя бы две одинаковые книжки». Благоприятствующих событий N(А) = 2 (покупка книг 2, 3) Р(А) = N(A)/N; Р(А) = 2/4 = 1/2. • б) Оля выбрала случайным образом две книжки. • Всего элементарных событий 6: (2;5), (2;6), (2;3), (5;6), (5;3), (6;3). У Лены могут получится наборы книг: 123425, 123426, 123423, 123456; 123453, 123463. Событие А «У Лены окажется хотя бы две одинаковые книжки». Благоприятствующих событий N(А) = 5. Покупка книг: (2;5), (2;6); (2;3); (5;3), (6;3). Р(А) = 5/6. Ответ: а) 1/2; б) 5/6.

37. п.31 задача 13 • По правилам игры «Морской бой» на поле 10 х 10 клеток размещаются четыре однопалубных корабля (по одной клетке), три двухпалубных, два трехпалубных и один четырехпалубный. • а) Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в какой-нибудь из кораблей противника. • б) Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в четырехпалубный корабль. • в) Найдите вероятность первым же выстрелом попасть в однопалубный корабль.

38. п. 31 задача 13 решение: • Р(А) = N(A)/N • а) Событие А – « первым выстрелом попасть в какой-нибудь из кораблей противника» N(A) = 20 Р(А) = 20/100 = 0,2 • б) Событие А – «первым выстрелом попасть в четырехпалубный корабль» N(A) = 4 Р(А) = 4/100 = 0,04 • в) Событие А – « первым выстрелом попасть в однопалубный корабль» • N(A) = 4 • Р(А) = 4/100 =0,04

39. п. 31 задача 14* • При игре в «Морской бой» после первого вашего выстрела противник сообщил, что вы подбили какой-то корабль (но не потопили его). Какова вероятность того, что вы попали: а) в четырехпалубный корабль; б) в трехпалубный; в) в двухпалубный.

40. п.31 задача 14* решение: • Вы подбили какой-то корабль, но не потопили его. Это может быть двухпалубный корабль, трехпалубный или четырехпалубный корабль. Так как двухпалубных кораблей – 3, трехпалубных кораблей – 2, четырехпалубных -1, то общее число элементарных событий: N = 2х3 + 3х2 + 4 = 16. Событие А «вы попали в четырехпалубный корабль». Ему благоприятствуют 4 элементарных события, т.е. N(A)=4. Р(А) = N(A)/N; Р(А) = 4/16 =1/4=0,25.

41. п.31 задача 14* решение: • б) Р(А) = 6/16 =3/8 = 0,375; • в) Р(А) = 6/16 = 3/8 = 0,375. • Все рассуждения аналогичные. • Ответ: а) 0,25; б)в) 0,375.

42. п. 31 задача 15* решение: • Элементарными событиями можно считать следующие: з1и1; и1к1; к1к2; е7е8; д8е8; е8ж8; е8е9. N = 7. • Все события равновозможны. • г) Событие А « вы попали в оставшийся двухпалубный корабль, выстрелив в е7» Событию А благоприятствует только одно элементарное событие: е7е8. N(А) = 1, Р(А) = N(А)/N, Р(А) = 1/7. • д) Событие А « вы попали в оставшийся двухпалубный корабль, выстрелив в поле е7».Событию А благоприятствует: е7е8, д8е7, е8ж8, е8е9. N(А) = 4; N = 7; Р(А) = N(А)/ N; Р(А) = 4/7. Ответ: г) 1/7; д) 4/7.

43. п. 31 задача 16* • Надя складывала в коробочку только двухрублевые монеты. Однажды Ира взяла из коробочки несколько монет, заменив их монетами по одному рублю так, что общая денежная сумма осталась прежней. После замены вероятность наудачу вытащить двухрублевую монету оказалась в 3 раза больше вероятности вытащитьрублевую. Какую часть двухрублевых монет взяла Ира?

44. п. 31 задача 16* решение: • Пусть было х двухрублевых монет, Ира взяла из коробки у двухрублевых монет, осталось в коробке (х – у) двухрублевых монет. • Так как Ира заменила двухрублевые монеты на монеты по одному рублю так, что общая денежная сумма осталась прежней, ей пришлось положить в коробку 2у монет по одному рублю. • В коробке стало х - у + 2у = х + у двухрублевых монет и монет по одному рублю.

45. п.31 задача 16* решение: • Вероятность вытащить наудачу двухрублевую монету Р(А) = (х – y)/(х + у) • Вероятность вытащить наудачу рублевую монету Р(В) = 2y/(х + y) • Так как вероятность вытащить наудачу двухрублевую монету в 3 раза больше вероятности вытащить рублевую монету, то получаем, что Решаем уравнение, получаем, что х =7у, следовательно Ира взяла седьмую часть двухрублевых монет.

46. п. 31 задача 17* решение: • 1 способ: Пусть первый полицейский встал на первый перекресток. Так как полицейские должны стоять на разных перекрестках, то у второго полицейского пять возможностей встать на 2, 3, 4, 5, : перекрестки, т.е. N=5. Событие А - «полицейские стоят на одной улице». N(A) = 3; Р(А) = N(A)/N; Р(А) = 3/5 = 0,6. Ответ: 0,6

47. п.31 задача 17*решение: • Так как полицейские должны встать на разные перекрестки, то элементарными событиями эксперимента можно считать: (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1;6), (2;3), (2;4), (2;6), (3;4), (3;5), (3;6), (4;5), (4;6), (5;6). N= 15. • События А - «полицейские стоят на одной улице». Этому событию благоприятствует 9 элементарных событий. N(A) = 9. • Р(А) = N(A)/N; Р(А) = 9/15 =3/5= 0,6. Ответ 0,6.

48. п.31 задача 18* решение: Элементарные события: (1;2), (1; 3),(1;4), (2;3); (2;4), (3;4). N = 6. Событие А (выигрыш прохожего) «вытаскивает два противоположных угла» N(A) = 2; Р(А) = 2/6 = 1/3. Событие В ( выигрыш игрока) « вытаскивает два соседних угла» N(B)= 4; Р(В) = 4/6 = 2/3. Р(В) = 1 – Р(А) Р(В) = 1- 1/3 = 2/3. Ответ: 1/3 и 2/3