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第五章 留数及其应用. 5.1 孤立奇点 5.2 留数 5.3 留数在定积分计算上的应用. §5.1 孤立奇点. 函数不解析的点称为 奇点 . 如果函数 f ( z ) 虽在 z 0 不解析 , 但在 z 0 的某一个去心邻域 0<| z - z 0 |< d 内处处解析 , 则 z 0 称为 f ( z ) 的 孤立奇点. 将函数 f ( z ) 在其 孤立奇点 z 0 的去心邻域 0<| z - z 0 |< d 内展开成洛朗级数 . 根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下：.
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第五章 留数及其应用 5.1 孤立奇点 5.2 留数 5.3 留数在定积分计算上的应用
§5.1 孤立奇点 函数不解析的点称为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.
将函数 f (z)在其孤立奇点z0的去心邻域0<|z-z0|<d内展开成洛朗级数. 根据展开式中所含负幂项的不同情况对孤立奇点分类如下： • 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点. f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,0<|z-z0|<d 则在圆域|z-z0|<d内恒有f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,从而 f (z)在z0点也解析.故z0称为可去奇点.
2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m +...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+ c1(z-z0)+...(m1, c-m0),则称孤立奇点z0为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成: 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +..., 在 |z-z0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
综上所述: 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型.
不恒等于零的解析函数f(z)如能表示成 其中 在z0解析且 , m为某一正整数, 则z0称为f(z)的m级零点. 4.函数的零点与极点的关系 例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点. 根据这个定义, 我们可以得到以下结论:设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是:f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1),f (m)(z0)0 .
因为, 若 f (z)在z0解析, 就必能在z0的邻域展开为泰勒级数: f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易证 z0是 f (z)的m级零点的充要条件是前m项系数 c0=c1=...=cm-1=0, cm0,等价于f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f (m)(z0)0 。 例如 z=1是f (z)=z3-1的零点, 由于f ‘(1) = 3z2|z=1=3 0, 从而知z=1是f (z)的一级零点.
由于 中的在z0解析, 且 故 必在z0连续, 所以给定 所以 在z0的去心邻域内不为零, 即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.
该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.
留数的定义 • 如果函数f(z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理 但是, 如果z0为f(z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0<|z-z0|<R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 未必再等于零.(先回顾P40例3.1.1) §5.2 留数
两端沿C逐项积分: 定义
D zn z1 Cn C1 C3 z2 z3 C2 C 2.留数定理 定理一 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ...,zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则
不能应用留数定理。 证明 把C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有 注意检查定理中的条件要满足。例如
求函数在孤立奇点z0处的留数就是求它在去心邻域内所展洛朗级数中(z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数会更有利. 如果z0是f (z)的可去奇点, 则Res[f(z),z0]=0 . 如果z0 是本性奇点, 则只好将其展开成洛朗级数. 如果z0 是极点, 则有如下规则:
3. (极点)留数的计算规则 规则1如果z0为f (z)的一级极点, 则 规则2如果z0为f(z)的m级极点, 则 事实上, 由于f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)m f(z)=c-m+c-m +1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,
令 zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)! 就是Res[f(z),z0],即得规则2,当 m=1时就是规则1。
由规则1, 得 我们也可以用规则3来求留数: 比用规则1更简单!
例 4 解： z = 0为一级极点。
例 5 解： 原式=
设函数f(z)在圆环域R<|z|<内解析,C为圆环域内绕原点的设函数f(z)在圆环域R<|z|<内解析,C为圆环域内绕原点的 任何一条简单闭曲线, 则积分 的值与C无关, 称其为f (z)在点的留数, 记作 理解为圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。 *§5.3.在无穷远点的留数 f (z)在圆环域 R<|z|<内解析：
这就是说,f(z)在点的留数等于它在点的去心邻R<|z|<+内洛朗展开式中 z-1 的系数变号.
定理二如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零.定理二如果f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那么f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零. 证：除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,...,n).且C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,...,n)包含在它内部的正向简单闭曲线, 则根据留数定理与在无穷远点的留数定义, 有
所以规则4 成立. 定理二与规则IV为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又 一种方法, 在很多情况下, 它比利用上一段中的方法更简便.
例 6 解：
如图，对于实积分 ，变量x定义 在闭区间[a,b](线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分要变为闭路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含闭路的一个区域中,让实积分成为闭路积分的一部分： §5.3 留数在定积分计算上的应用 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是涉及闭路积分的，要应用于定积分，必须先将定积分变为闭路积分中的一部分。
其中f(z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk(k=1,2,...,n)为单位圆|z|=1内的f(z)的孤立奇点.
解: 由于 , 被积函数的分母在 内不为零,因而积分是有意义的. 例1 计算 的值.
在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.
例2 计算 的值. 解：令
例3 解：
y 不失一般性, 设 CR z3 z2 z1 为一已约分式. O x -R R 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.
