四川省凉山州教育科学研究所 谌 业 锋 ⊙ 四川省特级教师 ⊙ 凉山州专家型教师 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中学高级教师 ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙ 西昌学院客座教授

1. 数学高考命题的试题设计 四川省凉山州教育科学研究所 谌 业 锋 ⊙ 四川省特级教师⊙ 凉山州专家型教师 ⊙ 凉山州学术和技术带头人 ⊙ 中学高级教师 ⊙ 中小学教育研究室主任 ⊙西昌学院客座教授 欢迎访问 业锋教育在线http://www.lsyf.cn 谌业锋主页http://lsyf.cn/jksyf.html （讲座幻灯课件请在网上下载，让我们一起思考！） QQ:178990915 电话:18981539788E-mail:jksyf@163.com

2. 高考数学试题的题型有三种： • 选择题、填空题和解答题。 • 解答题是答案不惟一的开放式试题的俗称。 • 下面将按这三种题型分别讨论其功能。

3. （一）题型功能 • 1. 选择题的功能 • 一组高考数学选择题，只要各题充分扬长避短、保证质量，运用好群体效应，一般都能较好地完成下列考查功能： • （1）能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。

4. （2）能比较确切地测试考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度。（2）能比较确切地测试考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的理解和掌握程度。 • 这一功能的重点在于测试的确切性，这是由“选择题考查目标集中，少受其他因素干扰”这个固有特点所决定。 • （3）在一定程度上，能有效考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及灵活和综合地运算数学知识解决问题的能力。

5. 这个功能指出了选择题这一题型在能力考查中是有所作为的，但其深入的程度却受到一定的局限，远没有解答题那么深。 • 从考查功能的角度看，选择题这一题型最大的缺陷是： • 对于表达能力的考查，从根本上说无能为力； • 对复杂的逻辑思维能力的考查，它也容纳不下。 • 这些方面的功能只能由开放式的答题之类的题型来承担。

6. 选择题的功能，除了在考试中的考查功能之外，在其教学中的教育功能也不应低估。选择题的功能，除了在考试中的考查功能之外，在其教学中的教育功能也不应低估。 • 有部分教师，对数学考试中使用选择题总是放心不下，认为学生的猜测和间接解法有悖于数学的严谨性，有助长学生马虎应付之嫌，有促使学生懒于动手之弊。 • 因此，对这种题型的使用持消极的态度，缺乏教学上的积极引导，更谈不上在教学上发挥这种题型的教育功能。

7. 事实上，数学选择题这一题型在培养学生的逻辑思维能力上，有其独特的和别的题型难以替代的功能。事实上，数学选择题这一题型在培养学生的逻辑思维能力上，有其独特的和别的题型难以替代的功能。 • 我们之所以说考试时间和题量制约着选择题的题型功能，其主要原因是：选择题作为单个题目来说，其考查功能毕竟非常有限，为了使选择题在考试中发挥有效的作用，必须依靠群体力量。 • 在一次考试中，为了保证一定的信度和效度，时间不能太短，题量应当有一定的数目。

8. 首先，对选择题应答时的猜测现象，应该客观、公正的看待。首先，对选择题应答时的猜测现象，应该客观、公正的看待。 • 众所周知，解答数学题时，在分析和寻求答案的过程中，猜测和尝试几乎是不可避免的，而且，就其猜测试探本身而言，这也是一种积极的思维活动。 • 没有猜想与预测，就没有创造性思维。

9. 对数学选择题的猜答，往往是在思索求解之后，仍难以作出决断的时候，凭借一定的依据，不得已而为之的一种做法。对数学选择题的猜答，往往是在思索求解之后，仍难以作出决断的时候，凭借一定的依据，不得已而为之的一种做法。 • 多数考生的猜答并非盲目涂鸦，而是凭着自己的知识、经验和决断能力，自觉不自觉地排除了某些项之后，才作猜答的。 • 知识和经验不足、能力差的考生，猜错的机会也多；反之，知识和经验较多、能力较强的考生，猜对率也较高。

10. 可见，猜答的结果，也还反映了一定的区分度。此外，积极的猜想，往往要全面调动自己的形象思维、直觉思维和逻辑思维，对于思维开阔性的培养具有积极的意义。可见，猜答的结果，也还反映了一定的区分度。此外，积极的猜想，往往要全面调动自己的形象思维、直觉思维和逻辑思维，对于思维开阔性的培养具有积极的意义。 • 因此，鼓励有根据的猜想，促进猜想预测能力的培养，极大限度地提高解决问题的主观能动性，是发展学生创造性思维不可缺少的一种手段，这与投机取巧有本质的区别。 • 我们应当积极利用数学选择题，发挥它在培养学生创造性思维方面的这一功能。这也是数学选择题在数学教学中的一个重要的教育功能。

11. 其次，数学选择题的间接解法在培养学生思维的批判性和深刻性方面，也有其突出的作用。其次，数学选择题的间接解法在培养学生思维的批判性和深刻性方面，也有其突出的作用。 • 所谓间接解法，不论具体的方式如何，其实可以把它们归结为反例否定和逻辑排除两大类型。 • 这种思维能力实质上是思维的批判性和深刻性的一种反映。

12. 长期以来，在中学的数学教学中，这恰好是一个薄弱环节。学生们比较多地接受了命题和定理的正面陈述和直接论证的做法，形成一定的思维定势。长期以来，在中学的数学教学中，这恰好是一个薄弱环节。学生们比较多地接受了命题和定理的正面陈述和直接论证的做法，形成一定的思维定势。 • 对于反证法，运用反例否定结论的思维方式，普遍尚不习惯。 • 因此，借助选择题的间接解法，强化反例教学，能有效地改变这种状况，克服这个薄弱环节。这是数学选择题的另一个教学教育功能。

13. 最后，借助选择题培养学生的估算能力也十分有效。最后，借助选择题培养学生的估算能力也十分有效。 • 这是因为：有不少数量型的数学选择题，解答时并不必进行准确的计算，只须对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断。 • 这是其他题型所少见的。而估算能力往往也是中学生的一个薄弱环节，必须在数学教学中，努力克服它。 • 在估算能力的培养上，选择题正好能发挥良好的教学教育功能。

14. 2. 填空题的功能 • 填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同的特点： • 其形态短小精悍；考查目标集中；答案简短、明确、具体，不必填写解答过程；评分客观、公正、准确等等。 • 对于答案都是数字或符号的一组填空题，在试卷的编排上还可将其“选择化”，这时同样可用电脑阅卷评分和统计成绩，节省人力和物力。

15. 不过填空题和选择题也有质的区别。 • 首先，表现为填空题没有备选项。 • 因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些。 • 长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因。

16. 其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活。 • 在对题目的阅读理解上，较之选择题，有时会显得较为费劲。当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图。

17. 填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质区别。填空题与解答题比较，同属提供型的试题，但也有本质区别。 • 首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解答过程的主要步骤，提供合理、合法的说明。 • 填空题则无此要求，只须填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、概括和准确。其次，试题内涵，解答题比起填空题要丰富得多。 • 填空题的考点少，目标集中，否则，试题的区分度差，其考试信度和效度都难以得到保证。

18. 这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。这是因为：填空题要是考点多，解答过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因。 • 有的可能是一窍不通，入手就错了，有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，得相同的成绩，尽管他们的水平存在很大的差异。 • 对于解答题，则不会出现这个情况，这是因为解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况评定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度，较之填空题大得多。

19. 从上面的讨论可见，填空题这种题型介于选择题与解答题这两种题型之间，而且确实是一种独立的题型，有其固有的特点。要编制出高质量的填空题，也不是一件容易的事情。 • 填空题的考查功能，大体上与选择题的考查功能相当。而且，为了真正发挥好这种题型的考查功能，同样要靠群体效应。但是，由于填空题的应答速度难以赶上选择题，因此在题量的使用上，难免又要受到制约。 • 从这一点看，一组好的填空题虽然也能在较大的范围内考查基础知识、基本技能和基本思想方法，但在范围的大小和测试的准确性方面，填空题的功能要弱于选择题。 • 不过，在考查的深入程度方面，填空题则优于选择题。

20. 作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质），判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。作为数学填空题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质），判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，懂就是懂，不懂就是不懂，难有虚假，因而考查的深刻性往往优于选择题。 • 但是比起解答题，其考查深度还是差得多。就计算和推理来说，填空题始终都得控制在低层次上，不能盲目拔高要求。

21. 填空题的另一个考查功能，是可以有效地考查阅读能力、观察和分析能力。这是因为我们可以把试题编制成“读懂了，正确的结论也就出来了”的形态，并且可使这个审读分析过程既无干扰又无提示。填空题的另一个考查功能，是可以有效地考查阅读能力、观察和分析能力。这是因为我们可以把试题编制成“读懂了，正确的结论也就出来了”的形态，并且可使这个审读分析过程既无干扰又无提示。 • 这一点，对于选择题或解答题都是难以做到的，选择题总得还要备选项，解答题总得要有一定的推演、说明步骤。

22. 3. 解答题的功能 • 解答题题型内涵丰富，包含的试题模式灵活多变，其基本架构是：给出一定的题设 （即已知条件）然后提出一定的要求（即要达到的目标）让考生解答。 • 不过，“题设”和“要求”的模式则五花八门、多种多样。 • 考生解答时，应把已知条件作为出发点，运用有关的数学知识和方法，进行推理、演绎或计算，最后达到所要求的目标，同时要将整个解答过程的主要步骤和经过，有条理、合逻辑、完整地陈述清楚。

23. 尽管解答题题型有缺点和不足，但比起它的强有力的考查功能，并不算突出。尽管解答题题型有缺点和不足，但比起它的强有力的考查功能，并不算突出。 • 而且也还有一定的克服解决办法，例如，为了把评分误差降低到最低限度，已经有了不少研究成果。

24. 解答题的功能： • （1）每道解答题的内容可多可少，问题可大可小，陈述可长可短，题设可明可暗，难度可深可浅。 • 命题的自由度很大，可调节的范围很宽。因此，解答题的考查功能有很大的弹性，既可在多个层次上考查基本知识、基本技能和基本思想方法，又能深入地考查数学能力和数学素质。尤其是复杂的运算，多转折的逻辑推理，多线条图形的空间想象和辨识，综合问题的分析和解决，等等，这些深层的素质和能力的考查，非解答题莫属，客观性试题的题型是无能为力的。

25. （2）考生回答解答题时，必须写出求解过程。解答题能有效地考查陈述表达能力。这也是客观题所无法办到的。 • （3）一题多解的现象十分普遍，对于同一试题的解答，所用的思想方法、数学概念和法则，以及演算、推理过程，其差别有时十分大。 • 它能为考生展露自己的才能提供广阔的天地、良好的环境条件；同时，也能比较有效地考查出各个水平层次的考生的成绩，促进考试区分度的提高。

26. （4）解答题评分标准的制定有一定的灵活性。（4）解答题评分标准的制定有一定的灵活性。 • 通常可以通过评分标准的制定，对试题的考查功能进行调控（当然，这只是一种微调），即是说，分值的配置可倾向于考查的侧重点。客观题就难做到这一点。 • 解答题的上述考查功能，概括地说，它能重点突出地深刻考查知识和能力，并且可以作多角度、多层次的考查。

27. （二）试题设计 • 高考的试题设计是一项理论性与技术性十分强的工作。 • 为了使高考能有效地为高校选拔新生服务，同时也起到促进基础教育发展的作用，必须保证试题的高质量。 • 试题设计时，应当充分考虑到方方面面众多的因素。这里着重讨论高考数学试题的设计原理与设计技术。 • 下面按选择题、填空题与解答题三种题型，分别简要讨论试题设计的方法与技术问题。

28. 1．选择题的设计 • 一道好的选择题，往往表现出短小精悍、考查中肯、格调明快和值得回味的特点。 • 设计这种题型的试题的关键在于考查能力的目标明确、具体、集中，取材恰当、合理、有针对性，精心编制好题干与备选项。

29. 具体设计过程中，要处理好下面几个关系： • （1）取材与铺陈的关系。 • 取材所涉及的知识点宜少不宜多，要服务于能力考查，且应属基础和基本的知识，不宜采用派生性的知识作为考查能力的依托。 • 每题多以2～3个知识点为宜，个别试题所含知识点可以多一些，但最好不要超过5个，否则必将降低试题的区分度。

30. 试题的铺陈、叙述与所取材料的关系是形式与内容的关系，因此要和谐相称，陈述中力求简明、规范；符合习惯；层次清楚；用短句子，不用长句子，使人一目了然，尤其是术语和符号的运用要保证准确，绝对不使用容易误解的生活语言。有些词语，如果必须让考生引起警觉时，最好要加着重号，或者用黑体字排印。

31. （2）知识和技能的关系。 • 几乎任何试题都同时考查了知识和技能。但是，由于选择题的特点，在通常情况下不宜二者并重，宜侧重一个方面。当侧重知识时，技能应淡化一些；当侧重技能时，知识的要求不宜加难加深。在高考数学能力的考查中，作为选择题题组，侧重技能考查的试题应多一些，侧重知识考查的试题可以少一点，还可设置若干综合性较强、难度较大的试题。

32. （3）题干和备选项的关系。 • 为保证试题的完整性和紧凑性，必须精心安排好题干和备选项的分割和连接。 • 分割要恰当，关联词要准确明白，使整题读起来通顺流畅。 • 其次，错误选项的设置，宜围绕考生可能出现的失误情况，提取有代表性和针对性的内容，进行编制，绝对不要胡编乱凑。

33. 正确项与诱误项之间，形式上应尽量协调，力求使之具备同类性（即类型相同或相近）和匀称性（即彼此相称，防止长短悬殊太大）。正确项与诱误项之间，形式上应尽量协调，力求使之具备同类性（即类型相同或相近）和匀称性（即彼此相称，防止长短悬殊太大）。 • 如有可能，还要使正确选项多点隐蔽的色彩，诱误选项多些迷惑的形态。 • 此外，还要从逻辑上认真审视各选项之间的关系，尽可能防止由简单逻辑便能一下子把诱误选项排除，而不必用到题中有关的知识。

34. （4）传统与创新的关系。 • 选择题侧重于基础知识和基本技能的考查，在一组选择题中，无须每一题都刻意求新。因为这样做，势必大大增加了整个题组的难度，也大大增加了命题的工作量。 • 然而，各题都是熟悉的传统面孔，全然没有新意，又会使整组试题的难度降低，难以保证测试的区分度，这也不可取。

35. 因此，传统与创新必须兼顾，两方面的试题各占多少比例才算合适，这得视考试的目标和考生的实际情况而定。因此，传统与创新必须兼顾，两方面的试题各占多少比例才算合适，这得视考试的目标和考生的实际情况而定。 • 就高考数学考试而论，顾及到解答题的难度比较大，应给考生提供较多的答题时间，在选择题中，传统性与创新性试题题量的比例控制在2∶1左右，比较恰当。 • 编制四选一的选择题时，容易出现的疏漏和失误是：已知条件过剩或不足；备选项无一正确；正确选项不止一个；有的选项明显虚设；等等。这类失误在选择题的题型设计中都应尽量避免。

36. 2．填空题的设计 • 填空题的设计和编制，可借鉴选择题的设计方法。同样要注意考查中心突出、集中、鲜明，用此指导题材的取用和剪裁；陈述上力求简洁、精炼、确切，尤其是指导语的使用，务必防止歧义，且保证答案简明；求解的过程宜短，步骤不得太多，最好是1～2步，不宜超过3步，否则难以保证信度，也势必降低区分度。

37. 在设计填空题时，对难度调节必须十分重视。这是因为填空题的难度变化十分敏感，高考中多数考生解答填空题的能力比较弱，甚至有惧怕心理。因此填空题不宜出难题。 • 就一般而言，填空题由于缺乏备选项的参照，试题提供的信息没有选择题那样丰富，解答起来难度往往略高于选择题。

38. 与解答题比较，由于题目考查的内容相对集中，容量较小，且由题设到所求的跨度一般说来要小得多，故其难度略低于解答题。与解答题比较，由于题目考查的内容相对集中，容量较小，且由题设到所求的跨度一般说来要小得多，故其难度略低于解答题。 • 填空题位于选择题与解答题之间，有一定的过渡作用，各题之间，其难度要求也宜有所差别。这些因素，都要求对填空题的难度调控，应当十分用心和仔细，认真斟酌厘定。

39. 调控填空题难度的一般方法主要是：改变题设或提问方式；变动参数；换个说法等等。 调整填空题的难度时，不要囿于原题的表面形式，应深入其解法，把思路放开，才有广阔的活动天地。 • 一般说来，对于解答过程步骤较多或解法巧妙的填空题，若调低难度后所得的试题不理想时，则不妨作反向处理，即调难一些，把它改成解答题，也未尝不可。

40. 调控填空题难度的一般方法主要是：改变题设或提问方式；变动参数；换个说法等等。 • 调整填空题的难度时，不要囿于原题的表面形式，应深入其解法，把思路放开，才有广阔的活动天地。 • 一般说来，对于解答过程步骤较多或解法巧妙的填空题，若调低难度后所得的试题不理想时，则不妨作反向处理，即调难一些，把它改成解答题，也未尝不可。

41. （1）选材与立意。 • 巧妇难为无米之炊，没有题材，命题也就无法展开。因此，选好试题的材料是编写试题的第一步。选材是根据一定的考查目的和中心进行的，这便是“立意”。立意与选材两者之间，往往交织在一起。有时是先立意，确定试题的编写意图，明确考查目的（如：考查哪几种能力？哪种能力是主？哪种能力是兼考的？考查哪个学科分支？考哪一部分内容？等等），然后再选用合适的材料作为题材。

42. 而有时是先注意到一些好的题材，再琢磨，用它进行编题可达到哪些考查目的，并作进一步的剪裁取舍。而有时是先注意到一些好的题材，再琢磨，用它进行编题可达到哪些考查目的，并作进一步的剪裁取舍。 • 不管谁先谁后，实际上两者都必须一起考虑，互相照顾，经过反复多次的修剪，才能趋于目标一致，进入构题的阶段，将较为朦胧的想法具体化和明朗化。在这个过程中，立意是核心，选材服务于立意。

43. 题材的来源可以是多方面的，概括起来，大体可分为两大类： • 第一类，由某些概念、性质或简单的基本问题出发（它们多数来源于教科书或相关资料），将它们与初步确定的考查要求联系起来，进行分析和思考，将有关的知识点、基本的方法，进行适当的有机组合，逐步形成综合模式的解答题。

44. 由于立足于数学能力和数学思想方法的考查，因此往往选出的题材或多或少，总是带有综合的色彩。采用这类方法取材时，应有中心，渐次扩张和蔓延，尽力避免生硬拼凑的做法，防止把风马牛不相及的素材无机地堆砌在一起。

45. 第二类，从数学研究中选取适当的素材；或从比较高的观点出发，物色问题；也可以从社会现象、自然现象、生活现象、生产过程和科学实验等实践领域中寻找素材和问题。通常说来，用这类方法选得的问题和素材，所蕴含的数学思想方法比较深刻，内容也较为丰富复杂。第二类，从数学研究中选取适当的素材；或从比较高的观点出发，物色问题；也可以从社会现象、自然现象、生活现象、生产过程和科学实验等实践领域中寻找素材和问题。通常说来，用这类方法选得的问题和素材，所蕴含的数学思想方法比较深刻，内容也较为丰富复杂。

46. 其形式要么十分抽象，要么过于具体，枝节横生，因而它们不能直接入卷作为高考数学试题。但可以作为基础，将其化解分拆，变抽象为具体，将具体而又枝节横生者加以修剪、删繁就简，作有科学根据的概括、省略和近似处理，直至把它们变成符合构题条件的材料。用这类方法获得的题材进行命题，往往能获得形式新颖、考查功能良好、深刻的好试题。其形式要么十分抽象，要么过于具体，枝节横生，因而它们不能直接入卷作为高考数学试题。但可以作为基础，将其化解分拆，变抽象为具体，将具体而又枝节横生者加以修剪、删繁就简，作有科学根据的概括、省略和近似处理，直至把它们变成符合构题条件的材料。用这类方法获得的题材进行命题，往往能获得形式新颖、考查功能良好、深刻的好试题。

47. 简略地说，这两类选材方法是两种不同思路的反映，第一类方法所用的思路是：由低到高，由简到繁，由浅到深；简略地说，这两类选材方法是两种不同思路的反映，第一类方法所用的思路是：由低到高，由简到繁，由浅到深； • 第二类方法所用的思路是：由高到低，由繁到简，由深到浅。尽管思路不同，出发点也不同，然而却殊途同归，为的只有一个中心，实现在高考中的数学能力考查。

48. 单题的立意要鲜明。 • 立意包含立足点和考查意向两个方面，立足点也就是试题的中心，考查意向也即考查目的，考查目标。一道试题，既可用知识内容立意，也可用能力要求立意，还可用问题和情境立意。当考试的试题是以知识考查为主线时，多数试题将以知识内容立意，若试卷是以数学能力考查为主线时，多数试题则应以能力要求立意。而一些综合性比较强和实际应用型的试题，则宜以问题和情境立意。

49. 采取上述的取材和立意的方法，既可使单题的设计顺利进行，保证试题中心突出，防止散乱或堆砌的毛病，又可使整卷的搭配和调整易于操作，减少来回折腾，节省时间，提高效率。

50. （2）搭架与构题。 • 有了恰当的题材之后，便可进入搭建试题的框架，构筑试题的模坯。这时仍属单题编制的初级阶段。所产生的试题，其形态和结构还都比较粗糙。 • 设计试题的框架结构时，应以所选的题材为依据，采用与之相适应的结构架式。例如，题材是证明线面垂直和求棱锥体积，这时便要确定一个适当的几何体，来承托这些题材，把题材分置到适当的位置上，使之能够有效地考查空间想像能力、逻辑推理能力和计算能力。建立试题的框架结构时，应注意主干硬朗、层次分明、清楚。