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割当て問題. • 割当問題の記法・定式化 • 拡張 • 特殊ケース（マッチング） • ３種類のものを割当てる問題. 割当て問題とは. 端的に言えば、制約条件を満たすように、人を仕事に割り振る問題. 割当て問題（基本のもの）. • それぞれの人は、できる仕事とできない仕事がある • それぞれの人は、同時に受け持てる仕事の上下限がある • それぞれの仕事は、受け持つ人の最低人数がある. 担当者数 の上下限. 担当仕事数 の上下限. 受け持てない. 割当て問題（基本のもの）. これらを満たす、人 対 仕事の割当を見つける問題
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割当て問題 • 割当問題の記法・定式化 • 拡張 • 特殊ケース（マッチング） • ３種類のものを割当てる問題
割当て問題とは 端的に言えば、制約条件を満たすように、人を仕事に割り振る問題
割当て問題（基本のもの） •それぞれの人は、できる仕事とできない仕事がある •それぞれの人は、同時に受け持てる仕事の上下限がある •それぞれの仕事は、受け持つ人の最低人数がある 担当者数 の上下限 担当仕事数 の上下限 受け持てない
割当て問題（基本のもの） これらを満たす、人 対 仕事の割当を見つける問題 また、人 iが仕事 jを受け持つときに費用 aijがかかるとすると、総コストが最小な割り当て方を求める問題
割当て問題：記法 仕事をする人： 1,2,…,n 仕事： 1,2,…,m 人 iが仕事 jを受け持つときにかかる費用： aij 人 iが仕事 jをできる： aij < +∞ 人 iが仕事 jをできない： aij = +∞ 人 iが受け持つ仕事数の上下限： ui,li 仕事 jを受け持つ人数の上下限： u'j,l'j
割当て問題：定式化 変数： xij ：人 iが仕事 jを受け持つとき 1、そうでないとき 0 目的関数：Σ aijxij 制約条件： li ≦ Σj=1,…,m xij≦ui l‘j ≦ Σi=1,…,n xij≦ u'j xij∈ { 0, 1 } 01整数計画問題になる
割当て問題：線形化 01制約を、線形緩和した線形計画を作る 目的関数： Σ aijxij 制約条件： li ≦ Σj=1,…,m xij ≦ui l‘j ≦ Σi=1,…,n xij≦u'j 0 ≦xij≦ 1 「単体法（シンプレックス法）で得られる最適解は、かならず01解になっている」という良い性質がある
割当て問題：拡張 •各人が、各仕事に何時間かの時間を割く、という問題を考える xij ：人 iが仕事 jに割く時間 人 iが仕事 jに割く時間の上下限： ui,li 仕事 jを必要な総時間数の上下限： u'j,l'j 目的関数：Σaijxij 制約条件：li≦ Σj=1,…,mxij≦ ui l‘j≦ Σi=1,…,nxij≦u'j 0 ≦xij≦ 最長労働時間 •この問題も「単体法（シンプレックス法）で得られる最適解は、（条件の係数が整数なら）必ず整数解になっている」
割当て問題：拡張 (2) •拡張した割当問題は、輸送問題の特殊ケース － 人 工場 － 仕事 小売店 という対応を考えると、 •人 iが仕事 jを k時間受け持つ 工場 iから小売店 jへ製品を k個輸送する となり、そのまま輸送問題になる シンプレックス法で解いた場合、解の整数性が保障される
割当て問題：さらなる拡張 •各個人に、それぞれの仕事の得意度のようなものがある場合を考えよう。つまり － 人 iが仕事 jをするときの効率を fij とする （つまり、単位時間働くと仕事が fij 進むということ） － 仕事 jは、合計で lj以上 uj 以下の働きが必要 •仕事に関する制約条件が l’j≦ Σi=1,…,nfijxij ≦u’j となる。相変わらず線形計画だが、整数最適解が得られるとは限らない •最小費用流とは異なる問題となる （一般化フロー問題、と呼ばれる問題と、等価）
最適マッチング • グラフ G = (V,E)と、枝の重み w：E→Rが与えられたとき、互いに隣接しない枝集合で、枝重み和が最大（最小）なものを求めよ という問題が最適マッチング問題 •最適マッチングは、O(|V||E|)時間で求められる •最大マッチング（枝数が最も多いマッチング）は、 O(|V|1/2|E|)時間で求められる
人 仕事 最適マッチング (2) グラフが２部グラフのとき、マッチング問題は割当問題になる •人集合を頂点集合１に、仕事集合を頂点集合２に対応させる •人 iが受け持つ仕事数を 0,1 に 仕事 jを受け持つ人数を 0,1 に制限する •グラフで枝がある組のコストを枝重み 枝がないところに +∞ のコストを与える
最適マッチングの求め方 交互パス・サイクル： マッチングの枝とそうでない枝が交互になっているもの •交互パス・サイクルを入替ると、異なるマッチングが得られる •２つのマッチングの対称差は、交互パス･サイクルの集合になる 定理： 枝集合が最大（重み）マッチング （本数・重みの）増加パス・サイクルがない 証明
最適マッチングの求め方 (2) １． 空集合のマッチングからスタート ２．重みの増加する交互パス・サイクルを見つけては入替える （グラフ探索でO(|E|+|V|) 時間で見つけられる） •毎回、枝の本数が増える交互パスの中で、最も重みが増加するものを見つけるようにすると、極大になったところで最適になる （最大 |V|回、O(|V||E|)時間で見つけられる） •最大マッチングの場合は、毎回、見つけられる だけ増加交互パスを見つけるようにすると、 最大 √|V| 回、O(√|V| |E|)時間になる
交互パス・サイクルを見つける •マッチングの枝に頂点集合１から頂点集合２への向きを、そうで各枝には反対の向きをつける 頂点集合１ 頂点集合２
交互パス・サイクルを見つける (2) •マッチングの枝に頂点集合１から頂点集合２への向きを、そうでない枝には反対の向きをつける 有向グラフができる 頂点集合１ 頂点集合２ • 交互○○と、有向グラフの有向○○の間に対応ができる － 交互サイクル 有向サイクル － 交互パス 有向パス － 増加パス （端点がマッチング枝に接続しない）有向パス
交互パス・サイクルを見つける (3) •交互サイクルを見つける 有向サイクルを見つければよい •交互パスを見つける 有向パスを見つける ただし、交互パスは入れ替えてマッチングにならないものもある （パスの端点が、パスに含まれないマッチングの枝に接続してると） 有効な交互パスを 見つけるために、 頂点 s,tと／枝を追加 t s
交互パス・サイクルを見つける (4) •sから tへの有向パスで、 －茶色の枝に始まり、茶色の枝で終わるもの 増加交互パス －橙の枝に始まり、橙の枝で終わるもの 減少交互パス －始まりの枝と終りの枝の色が異なるもの 増減無し交互パス t どのタイプの交互パスも、グラフ探索で線形時間で 見つけられる s
３種類のものを割当る • 「人と仕事」だけでなく、「人と仕事と道具」といった、3種類以上のものを割り当てる問題を考える 人 iが仕事 j を道具 kを使って行うとき 1 となる変数 xijk使って定式化する 目的関数： Σaijkxijk 制約条件： li≦ Σj,kxijk≦ ui l‘j≦ Σi,kxijk≦u'j l''k≦ Σi,jxijk≦u''k xijk∈ { 0, 1 }
残念ながら •xijkが0,1 でなくて良い状況なら（例えば人 iが仕事 j のために道具 kを使って xijk時間働く、というような場合）線形計画になる 目的関数：Σaijkxijk 制約条件： li≦ Σj,kxijk≦ui l‘j≦ Σi,kxijk≦u'j l''k≦ Σi,jxijk≦u''k 0≦xijk≦ 1 残念ながら、必ず整数最適解がある、というわけにはいかない しかし、いろいろな使い道がある
予備校の時間割作成 •予備校の授業時間割を作りたい 月曜1時限 田村 山本 ．．． 月曜2時限 鈴木 田中 ．．． 火曜1時限 加藤 山田 ．．． 中2英語 中1国語 中3英語 中1英語 中3国語 中2数学
３種類の割当て •教師と科目と時間の割当てが時間割である 教師 科目 時間 中1国語 月曜1時限 月曜2時限 中1英語 火曜1時限 中2数学 ・・・ ・・・
予備校時間割の定式化 •教師 iが授業 j を k時限目に行うとき 1 となる変数 xijk （全部並べて、月曜の最初1時限、金曜の最後 n時限、とする） 制約 •教師は、行う授業の数に上下限がある •どの授業も、必ず、ちょうど 1回（あるいは複数回）行われる •同時に行える授業は h個 •教師は、同時に２つ以上の授業を行わない
予備校時間割の制約条件 •教師 iの行う授業数 ＝ 各 j,kについて xijkを足す l≦ Σjkxijk≦ ufor∀i •授業 jが行われる回数 ＝ 各 i,kについて xijkを足す Σikxijk＝cfor ∀j •k時限目の授業数 ＝ 各 i,jについて xijkを足す Σijxijk≦hfor ∀k •k時限目に教師 iの行う授業数 ＝ 各 jについて xijkを足す Σjxijk≦ 1for ∀i,k
学校の時間割 •教師（科目）とクラスと時間の割当てが時間割である 教師（科目） クラス 時間 1年A組 月曜1時限 月曜2時限 1年B組 火曜1時限 2年A組 ・・・ ・・・
学校の時間割定式化 教師 iの授業を、クラス j が k時限目に行うとき 1 となる変数 xijk （全部並べて、月曜の最初1時限、金曜の最後n時限、とする） 制約 • 教師は同時に2つの授業はできない • 各クラスはそれぞれの授業をちょうど何回かする • 各クラスは同時に2つの授業を受けない 予備校バージョンと同じように制約式が作れる
基本的な制約 教師 iの授業を、クラス j が k時限目に行うとき 1 となる変数 xijk •教師は同時に2つの授業はできない 0 ≦Σjxijk≦ 1for ∀i,k • 各クラスは各科目のどれかの先生の授業をちょうど何回か受ける Σk,i∈Cxijk= ci for ∀j •各クラスは同時に2つの授業を受けない 0≦Σjxijk≦1for ∀j,k
その他の制約 •1時間目、午後にしない授業 •連続で行う授業の制約 •同じ科目は、なるべく離して配置 •同じ年度のクラスは連続して行いたい授業 などなど •以上、数理的な条件として表せるので、数理計画として解ける。
まとめ •基本的な割り当て問題、各人が仕事に割く時間を考えた割り当て問題は、線形計画で整数解が得られる •仕事の能率の要素を入れても線形計画で解けるが、整数解が得られるとは限らない •割り当て問題の特殊ケースであるマッチング問題は簡単に解ける •授業の時間割作成問題は3つのものを割り当てる問題になる
