A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi állapotban

1. A Boltzmann-egyenlet megoldása nem-egyensúlyi állapotban Amennyiben S az egyensúlyi helyzethez közeli állapotban van, feltehető, hogy lokális egyensúly áll fenn minden pontban: Fizikai értelemben Matematikai értelemben A lokális egyensúly pedig abból áll, hogy n,  és u függ a helytől és az időtől. Mivel a fenti átlagok v-től függetlenek viszont Erre bevezetjük a D operátort

2. Ha a lokális egyensúly fennáll, akkor az előző egyenlet jobbol- dala “kis szám”. Ebből viszont az következik, hogy a bevezetett helyfüggő átlagmennyiségek közelítőleg kiegyenlítik az egyen- súlyi állapotra levezetett mérlegegyenletet. Ehhez értékeljük ki a lokális hőáramot és a nyomást: Ez utóbbit vessük össze a nyomás definíciójával:

3. A Boltzmann-eloszlásban öt szabad állandó van, ezek kifejez-hetőek a lokális (sebességekre vonatkozó) momentumokkal. Nézzük a nyomástenzor elemeit: Mivel Ami egy összefüggés a lokális hőmérséklet, nyomás és részecske-szám között-lokális egyensúly feltételezése mellett.

4. A vizsgált közelítésben a mérlegegyenletek: Következtetés: sohasem áll be az egyensúly!!! (az anyag- és energia áramok nem csökkennek az idővel) Ezzel a 0. rendűközelítés tárgyalását befejeztük.

5. Az első és harmadik egyenletből következik, hogy egy áramvonal Mentén csak adiabatikus folyamat mehet végbe. Írjuk az első és Harmadik egyenlet az alábbi alakba: Itt beírtam, hogy cv=3/2. A két egyenletet összeadjuk és felhasználjuk az alábbi összefüggést: P=/m, amivel Megmutatható, hogy a sűrűség is, a nyomás is kielégít egy lineáris hullámegyenletet, azaz, nincs gyengítés.

6. Az első-rendű közelítésben feltesszük, hogy Első lépésként kiszámítjuk az ütközési integrált (g2 elhagyásával): A második tag részletezve:

7. Amivel a Botzmann-féle transzportegyenlet így írható: Amennyiben g<<f(0), és f(0)-ban csak valamely L távolság után látunk észrevehető változást, az alábbi összefüggést kapjuk: Vagy: Ebből az látható, hogy f(0) akkor jó közelítés, ha az a karakterisz- tikus L távolság, amelyen a lokális sűrűség, hőmérséklet és átlag- sebesség megváltozik sokkal nagyobb, mint a szabad úthossz.

8. A, Hilbert módszere Az előzőekben bemutatott közelítések ad hoc jellegűek. Kívá- natos egy szisztematikus és általános módszer kidolgozása. Ez egyben leírja, hogyan kapcsolódik a molekulák dinamikája (a transzportelmélet) a gáz vagy folyadék egészének viselkedéséhez. Jelölés: az ütközési integrálra bevezetjük a jelölést, explicit módon kifejezve, hogy az ütközési integrál nem lineáris. A megoldandó egyenletben az ütközési integrálba becsem- pésszük a dimenziótlan e paramétert, ami a szabad úthosszt méri alkalmas egységekben. A megoldandó egyenlet:

9. Mivel D-ben van idő szerinti deriválás ezért kell kezdeti felté- tel, aminek súlya a megoldásban t=t/e időállandóval expo- nenciálisan csökken. A hely szerinti deriválás miatt egy véges közeg határán peremfeltételt kell előírni. A peremfeltétel súlya a megoldásban a felülettől távolodva csökken. Nyomáshullámok esetén r,  és u szakadásos függvény lehet. Az említett tranziens jelenségek leírásához is szükség van egy pontos elméletre. Keressük a megoldást alakban.

10. A keresett forma egy fajta aszimptotikus sorfejtés. Az első három egyenlet: Az első egyenlet adja az egyensúlyi megoldást. Bevezetjük az L lineáris operátort: Jelölje N az L operátor nullterét, amit a megmaradó mennyiségek és az egyensúlyi megoldás meghatároznak: if0(r,v,t) egy bázis az N térben, itt i=1,…,4 a megmaradó mennyiségeknek megfelelően.

11. Bevezetjük az N-térre vetítő P projektor operátort. Jelölje R az L operátor értékkészletét, R-ben olyan F függvények találhatóak, amelyekre: i=1,…,4. Azaz, az R térbeli függvények nem adnak járulékot a megmaradó mennyiségekhez. A megoldás minden komponensét felbontjuk egy N-beli Y-re és egy R-beli F-re: n -a hidrodinamikai komponens, Fn-a kinetikus vagy transzport komponens, továbbá a hidrodinamikai komponens kifejezhető az egyensúlyi állapothoz tartozó megoldással. Ebben szerepelnek a (rn, un, n) ismeretlen függvények.

12. Most visszatérünk az egyenletek megoldásához. Az egyenletek alakja: LFn=qn. Ez a Fredholm alternatíva szerint akkor oldható meg, ha a forrás ortogonális a homogén egyenletre. A megoldást egyszerűen L inverzével (tehát csak formálisan) fogjuk felírni: Egyenlet f0-ra Forrásos egyenlet F1-re Forrásos egyenlet Y1-re Forrásos egyenlet F2-re Forrásos egyenlet Y2-re

13. Célszerű a hidrodinamikai tagot az alábbi alakban keresni: Ne felejtsük el, hogy a P projektor az 5 megmaradó mennyiségnek megfelelően 5 integrál eltűnését adja meg. Ezért az első sárga egyenlet 5 csatolt diff. egyenletet jelent, amit meg lehet oldani (r0, u0, 0)-ra. A második sárga egyenlet újra 5 csatolt diff. Egyen- letet jelent (r1, u1, 1) -re, stb. A két fekete egyenlet lokális (L csak a sebességekre hat) az r és t változókban. Peremfeltételek és kez- deti értékek.

14. B, Chapman-Enskog módszer • Tekintsük a Hilbert- módszer sárga egyenleteit és a forrástagok- • ban vegyük figyelembe az e-ban magasabb rendű tagokat is, • pontosabban: • a keresett függvény legyen fn • az első egyenlet baloldalához társítsuk a második egyenlet • jobboldalát, és írjuk ki, hogy az e-rendű. • Ezt ismételjük meg a második és harmadik sárga egyenlettel. A • kapott egyenletek:

15. Az első egyenlet a Navier-Stokes egyenletrendszer amiből 0, 0, u0 meghatározható: viszkozitás nyomástenzor Hővezetési eh

16. A Hilbert-módszernek és a Chapman-Enskog egyenleteknek több változata is használatos. Az itt megadott változat megtalálható: J. Fertziger, H. Kaper: Mathematical Theory of Transport Processes in Gases, North-Holland, Amsterdam, 1972 A sorfejtésben szereplő e paraméter egyik értelmezése: Knudsen-szám:

17. C, Az ütközési integrál linearizálása Tekintsünk egy ritka gázt, nem távol az egyensúlyi állapotától. Ekkor a sűrűségfüggvény jó közelítéssel: Ahol a második tag kicsi, a négyzete elhagyható.

18. Ez a lineárizált Boltzmann-egyenlet. A részecskék közötti poten- ciálból kiszámítható s. A neutrontranszporthoz hasonló alakra hozva: Az első tag divergál, ha a potenciál alakú. Ezért fel szokás tételezni, hogy a potenciál egy távolság után “levág”. Az s kitevőtől függ, hogy az ütközési sűrűség hogyan változik a sebességgel. Néhány egyéb lineáris ütközési integrál

19. Diffúzió közegben Amennyiben a makroszkópikus hkrm független a fázistérbeli sűrűségtől az egyenlet lineáris. Kollektív jelenségek Jellemzően nemlineáris

20. A szerkezetvizsgálat többnyire lassú (termikus) neutronokkal történik. Van Hove kimutatta, hogy ebben az esetben a szórás magfüggvénye két részből áll: G(r,t)d3r--annak val.sége, hogy amennyiben egy neutron található az origóban t=0-kor, akkor egy másik mag található t-kor az r körüli d3r-ben . Gs(r,t)d3r--annak val.sége, hogy amennyiben egy neutron található az origóban t=0-kor, akkor egy másik, ugyanolyan mag található t-kor az r körüli d3r-ben .

21. A termikus neutron tehát nem egyes atomokról szóródik, hanem • csoportokról, aggregátumokról. Ennek tömege a neutron tömegé- • nek sokszorosa, ezért rugalmas szóráskor energiaváltozás • lényegében nincs. Ezért a következő szórástípusok lehetségesek: • rugalmas, inkoherens szórás • rugalmatlan inkoherens szórás • rugalmas koherens szórás • rugalmatlan koherens szórás. inkoherens koherens

22. Töltött részecskék transzportja Az elektron az elektronhéjjal is, a maggal is kcshat. A kschatás távolsága elvileg végtelen. Következmény: lényegében folytonos, gyenge kcshatás (elektronoktól), időnként lórúgás-szerű kcshatás magoktól. A lineáris Boltzmann-egyenletben nem ismertek a mag- függvények, ezért a Monte-Carlo módszer használatos. Foton transzport A kcshatás erősen függ a foton energiájától, ezért a szórás erősen nemlineáris. A makroszkópikus hkrm folytonos függvénye a helynek, ahogyan az összetétel változik. A szabadúthossz erősen függ a hullámhossztól.