Tom áš Brauner ÚJF AV ČR Řež

1. Spontánní narušení symetrie a počítání Goldstoneových bosonů v relativistických systémech při konečné hustotě Tomáš Brauner ÚJF AV ČR Řež ÚČJF MFF UK

2. Program • Spontánní narušení symetrie. • Nielsenovo-Chadhovo pravidlo. • Lineární σ-model s chemickým potenciálem. • Příklad: kondenzace SU(3) sextetu. • Otevřené problémy. ÚČJF MFF UK

3. Program • Spontánní narušení symetrie. • Nielsenovo-Chadhovo pravidlo. • Lineární σ-model s chemickým potenciálem. • Příklad: kondenzace SU(3) sextetu. • Otevřené problémy. ÚČJF MFF UK

4. Spontánní narušení symetrie Nastává, když základní stav má nižší symetrii než lagrangián. • Symetrie není realizována unitárními operátory. • Degenerované, unitárně neekvivalentní základní stavy. • Nehmotné módy jako dlouhovlnné fluktuace parametru uspořádání. ÚČJF MFF UK

5. Příklady • Feromagnetismus: spontánně narušené rotace spinů. • Supravodivost, supratekutost: fázové transformace vlnové funkce. • Silná interakce: chirální symetrie existence lehkých pseudoskalárních mezonů. • Elektroslabá interakce: Higgsův mechanismus vznik hmot elementárních částic. • Relativistické mnohočásticové systémy: barevná supravodivost. ÚČJF MFF UK

6. Goldstoneův teorém Spontánní narušení spojité globální symetrie implikuje existenci nehmotného módu ve spektru teorie. Nerelativistická verze: existence excitace, pro niž . Goldstoneovy bosony = dlouhovlnné fluktuace parametru(ů) uspořádání. ÚČJF MFF UK

7. Nízkoenergetické vlastnosti GB • Disperzní relace Goldstoneova bosonu? • Limita jednoduchá, popsatelná nízkoenergetickouefektivní teorií pole. • Vysokoenergetické chování závisí na detailech fyziky na malých vzdálenostech. • Ne univerzální, ale nenezajímavé. ÚČJF MFF UK

8. Počítání Goldstoneových bosonů • Původní Goldstoneův teorém předpovídáalespoň jeden Goldstoneův boson. • Počítání triviální pro vnitřní symetrie v Lorentz invariantních teoriích. • Prostoročasové symetrie: vizLow a Manohar. • Zde: vnitřní symetrie v nerelativistických systémech. • Těžký problém, dosud neexistuje obecné řešení. ÚČJF MFF UK

9. Program • Spontánní narušení symetrie. • Nielsenovo-Chadhovo pravidlo. • Lineární σ-model s chemickým potenciálem. • Příklad: kondenzace SU(3) sextetu. • Otevřené problémy. ÚČJF MFF UK

10. Nielsenovo-Chadhovopravidlo H. B. Nielsen and S. Chadha, Nucl. Phys. B105, 445 (1976) • Mocninná závislost energie na impulsu. • Goldstoneovy bosony I. typu: . • Goldstoneovy bosony II. typu: . # GB typu I + 2 £# GB typu II ¸ # narušených generátorů Důkaz využívá analytických vlastností Goldstoneova komutátoru. Velmi obecný výsledek: libovolná mocninaimpulsu v disperzní relaci anerovnostpro počet Goldstoneových bosonů. ÚČJF MFF UK

11. Nielsenovo-Chadhovopravidlo ÚČJF MFF UK

12. Nielsenovo-Chadhovopravidlo H. B. Nielsen and S. Chadha, Nucl. Phys. B105, 445 (1976) • Mocninná závislost energie na impulsu. • Goldstoneovy bosony I. typu: . • Goldstoneovy bosony II. typu: . # GB typu I + 2 £# GB typu II ¸ # narušených generátorů Důkaz využívá analytických vlastností Goldstoneova komutátoru. Velmi obecný výsledek: libovolná mocninaimpulsu v disperzní relaci anerovnostpro počet Goldstoneových bosonů. ÚČJF MFF UK

13. Příklady • Antiferomagnet: dva narušené generátory SU(2) spinových rotací, dva GB – magnony. • Feromagnet: dva narušené generátory SU(2) spinových rotací, jeden magnon s . • V čem je rozdíl? • Nenulová spinová hustotave feromagnetickém stavu, narušená invariance vůči časové inverzi. ÚČJF MFF UK

14. Leutwyler: nenulová hustota neabelovských nábojů • GB II. typu s kvadratickou disperzní relací. Modifikace počítání GB Nielsen & Chadha ??? Nenulová hustota nábojů Nelineární disperzní zákon • Schäfer et al.: nulová hustota všech noetherovských nábojů obvyklý počet GB. Leutwyler Počítání GBa hustota nábojů ÚČJF MFF UK

15. Leutwyler: nejobecnější řešení Wardových identit, efektivní lagrangián ve vedoucím řádu. • Nenulová husota náboječlen s první mocninou časové derivacekvadratická disperzní relace GB a narušení časové inverze. • Efektivní lagrangián invariantní až na úplnou derivaci. • Přímočarý popis GB s lineární nebo kvadratickou disperzní relací. • Vyšší mocniny impulsu:Realizují se vůbec? Efektivní teorie pole ÚČJF MFF UK

16. Efektivní teorie pole ÚČJF MFF UK

17. Leutwyler: nejobecnější řešení Wardových identit, efektivní lagrangián ve vedoucím řádu. • Nenulová husota náboječlen s první mocninou časové derivacekvadratická disperzní relace GB a narušení časové inverze. • Efektivní lagrangián invariantní až na úplnou derivaci. • Přímočarý popis GB s lineární nebo kvadratickou disperzní relací. • Vyšší mocniny impulsu:Realizují se vůbec? Efektivní teorie pole ÚČJF MFF UK

18. Jeden narušený generátorjednareálnásouřadnice na kosetovém prostoru. • Lineární disperzní relacese objevuje ve tvaru . • Řešení s kladnou i zápornou energií lze z nich vytvořit jedno reálné pole. • Kvadratická disperzní relacese objevuje jako . • Jen řešení s kladnou energiípotřebujeme komplexnípole, tj.dvě reálná pole. • 1 kvadratický GB = 2 reálná pole = 2 narušené generátory. Intuitivní obrázek počítání GB ÚČJF MFF UK

19. Nutná neabelovská struktura grupy symetrie. • Jeden GB se váže na dva narušené proudy modifikované počítání Goldstoneových bosonů. Goldstoneův komutátor neabelovských nábojů • Noetherovský náboj jako parametr uspořádání. ÚČJF MFF UK

20. Program • Spontánní narušení symetrie. • Nielsenovo-Chadhovo pravidlo. • Lineární σ-model s chemickým potenciálem. • Příklad: kondenzace SU(3) sextetu. • Otevřené problémy. ÚČJF MFF UK

21. Relativistické systémy při konečné hustotě • Mikroskopická dynamika Lorentzinvariantní, makroskopické narušení přítomností média. • Aplikace na fázový diagram QCD. • Cíl: zesílit Nielsenovo-Chadhovopravidlo za cenu omezení rozsahu platnosti. • Standardně používané modely: • Nambu & Jona-Lasinio (střední pole), Blaschke et al. • Lineární sigma model (stromová úroveň), Miransky a Shovkovy, Schäferet al. ÚČJF MFF UK

22. Lineární sigma model • Nejpoužívanější model pro popis spontánního narušení symetrie. • Potenciál „mexického klobouku“, SSB na stromové úrovni. • Poruchové výpočty nad základním stavem posunutým do minima klasického potenciálu. • Hlavní výsledek:přesná korespondence mezi počítáním GB, disperzní relací a hustotami noetherovských nábojů. ÚČJF MFF UK

23. Lineární sigma model: SU(2) £ U(1) • Relevantníprokondenzaci kaonův husté chladné QCD. • Efekty nenulové hustoty zahrnuty prostřednictvím chemického potenciálu. • Výpočet na stromové úrovni: rozvoj skalárního pole kolem nového základního stavu, spektrum se získá z bilineární části lagrangiánu. ÚČJF MFF UK

24. Odkud pochází mixovací člen? SU(2) £ U(1) pokračování • Exponenciální parametrizace. • Bilineárnílagrangián. ÚČJF MFF UK

25. Bilineárnílagrangiány • Směšování dvou polí chemickým potenciálem. • Sektor(H,3): jeden GB s • Sektor(1,2): jeden GB s ÚČJF MFF UK

26. Rovinné vlny Bilineární lagrangián pro kvadratický GB, Rovinná vlna – řešení klasické pohybové rovnice: Noetherovské SU(2) £ U(1) proudy: ÚČJF MFF UK

27. Rovinné vlny II Izospinový vektor rotuje v rovině (1,2):rovinná vlna je kruhově polarizovaná. Nenulový proud a hustota nenarušeného náboje: rovinná vlna nese nenarušený náboj. ÚČJF MFF UK

28. Přesnáglobální symetrie . Obecný lineární sigma model • Skalární teorie pole s kvartickou interakcí. • Do hamiltoniánu se přidají chemické potenciály pro sadu vzájemně komutujících nábojů. • Do lagrangiánu se zavedou kovariantní derivace. ÚČJF MFF UK

29. H- mixování lineárníGoldstoneovy bosony. • - mixováníkvadratické Goldstoneovy bosony, směšovací člen úměrný hustotě komutátoru dvou narušených generátorů. Obecný lineární sigma model II • Obecný lagrangián a parametrizace pole: • Bilineárnílagrangián: ÚČJF MFF UK

30. Výsledky • GBs mají buď lineární nebo kvadratickou disperzi. • Lineární GB vzniká mixováním Goldstoneova pole a Higgsova pole chemickým potenciálem. • Kvadratický GB vzniká mixováním dvou Goldstoneovýchpolí chemickým potenciálem. • Ke každému páru generátorů, jejichž komutátor má nenulovou hustotu, existuje jeden kvadratický GB. • Nielsenovo-Chadhovo pravidlo je splněno. ÚČJF MFF UK

31. Program • Spontánní narušení symetrie. • Nielsenovo-Chadhovo pravidlo. • Lineární σ-model s chemickým potenciálem. • Příklad: kondenzace SU(3) sextetu. • Otevřené problémy. ÚČJF MFF UK

32. Kondenzace SU(3) sextetu • Model s globální SU(3) £ U(1) symetrií. • Symetrické maticové skalární pole, . • Dvě různé upořádané fáze v parametrovém prostoru. • Fázové rozhraní a=0: rozšířená SU(6) £ U(1) symetrie, narušenáspontánně na SU(5) £ U(1). ÚČJF MFF UK

33. GB uspořádané do multipletů nenarušené symetrie. • Nižší nenarušená symetrie složitější struktura spektra. Fázový diagram • Boseho-Einsteinova kondenzace pro 2>M • Všechny fázové přechody jsou druhého druhu. ÚČJF MFF UK

34. Spektrum excitací 6 narušených generátorů 6 lineárních GB 5 narušených generátorů 1 lineární GB 2 kvadratické GB ÚČJF MFF UK

35. Program • Spontánní narušení symetrie. • Nielsenovo-Chadhovo pravidlo. • Lineární σ-model s chemickým potenciálem. • Příklad: kondenzace SU(3) sextetu. • Otevřené problémy. ÚČJF MFF UK

36. Nielsenovo-Chadhovo pravidlo • V lineárním σ modelu GB buď lineární nebo kvadratický. • # linearních GB + 2 £ # kvadratických GBs vždy = # narušených generátorů, až na fázová rozhraní, kde vymizí fázová rychlost lineárních GB. • Dosud jediný generický případ, kde v nastává ostrá nerovnost v Nielsenově-Chadhově pravidle. • Jediný další příklad explicitně zmiňují Sannino a Schäfer. ÚČJF MFF UK

37. Co dál Spočítat smyčkové korekce v lineárním sigma modelu. • Vliv interakce v normální fázi. • Rozpad lineárních Goldsoneových bosonů. • Chování v okolí fázového přechodu. • Kontrola platnosti Nielsenova-Chadhova pravidla. ÚČJF MFF UK

38. Co dál II Rozšířit výsledky na širší třídu modelů. • Zobecnit výsledky na obecný relativický systém s chemickým potenciálem. • Velmi speciální způsob narušení Lorentz invariance. • Obnovit Lorentz invarianci zavedením vnějšího kalibračního pole pro chemický potenciál. • Wardovy identity – informace o disperzi GB? ÚČJF MFF UK