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中考复习：专题训练

中考复习：专题训练. §8.2 探索型问题. 学什么. 命题中缺少一定题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题。. 定义. 探索型试题. 类型与特点. 条件探索型. 结论探索型. 特殊到一般的规律探索. （ 1 ）特殊值法（特殊点、特殊数量、特殊线段等） （ 2 ）反证法 （ 3 ）分类讨论法 （ 4 ）类比猜想法. 解题方法. （ 08 泰安）在等边△ ABC 中，点 D 为 AC 上一点，连结 BD ，直线 l 与 AB,BD,BC 分别相交于点 E,P,F ，且∠ BPF=60° ．

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  1. 中考复习：专题训练 §8.2探索型问题

  2. 学什么 命题中缺少一定题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题。 定义 探索型试题 类型与特点 条件探索型 结论探索型 特殊到一般的规律探索 （1）特殊值法（特殊点、特殊数量、特殊线段等） （2）反证法 （3）分类讨论法 （4）类比猜想法 解题方法

  3. （08泰安）在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB,BD,BC分别相交于点E,P,F，且∠BPF=60°．（08泰安）在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB,BD,BC分别相交于点E,P,F，且∠BPF=60°． （1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线l向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由； （3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PE=2PF？请写出探究结果，并说明理由． （说明：结论中不得含有未标识的字母） 结论探索型：在一种位置下成立，在新的位置下是否成立？ 条件探索型：用分析法，从结论开始探索 l l E l E A A A P P E D D D P B B B C C F F F C 图１ 图2 图3

  4. 已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（图1）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时，PA2、PB2、PC2、PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论。已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（图1）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时，PA2、PB2、PC2、PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论。 结论探索型：由题中给定的条件探索与之相应的结论，本题可借鉴图1的结论，类比得出正确的结论。 P A D A M D A D P B B B P C N C C 图2 图1 图3

  5. 已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN//AD，EF//CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PM·PE，b=PN·PF，解答下列问题：已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN//AD，EF//CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PM·PE，b=PN·PF，解答下列问题： （1）当四边形ABCD是矩形时，如图1所示，请判断a与b的大小关系，并说明理由； （2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠ABC为锐角时，如图2所示，（1）中结论是否仍成立？请说明理由。 A E D A E D M N M P N P B F C B F C

  6. （3）在(2)的条件下，设BP/PD=k，是否存在这样的实数k，使得S□PEAM：S△ABD=4：9？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由。（3）在(2)的条件下，设BP/PD=k，是否存在这样的实数k，使得S□PEAM：S△ABD=4：9？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由。 第（2）问是特殊到一般的探索；第（3）问是存在性问题。要求我们在平时学习时多注意总结，多思考。多遇到一个条件会得到哪些结论。 A E D M N P B F C

  7. 考什么 （08N16） 如图, 一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形, 那么一个5×3的矩形用不同的方式分割后, 小正方形的个数可以是 _____________. 4或7或9或12或15

  8. （08N24) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t、b均为非零常数). 平移二次函数y= -tx2的图象, 得到的抛物线F满足两个条件: ① 顶点为Q; ② 与x轴相交于B、C两点(|OB|<|OC|)). 连接AB。 (1) 是否存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|·|OC|？请你作出判断，并说明理由； (2) 如果AQ//BC, 且tan∠ABO=3/2，求抛物线F对应的二次函数的解析式

  9. 练什么 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题。 …… （1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律。 （2）求出S12+S22+S32+……+S102的值。

  10. （08吉林）如图1，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（6，0）．（08吉林）如图1，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转α角，得到矩形CFED．设FC与AB交于点H，且A（0，4），C（6，0）． （1）当α＝60°时，△CBD的形状是 ； （2）当AH＝HC时，求直线FC的解析式； （3）当α＝90°时，如图2，请探究：经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由．

  11. 试一试 ∠CEB =∠FDC这一结论不变 l C 如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径且CD⊥AB，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F，连结DF。 ·O E ┌ M B A F D （1）请判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并说明理由。 ∠CEB =∠FDC （2）若将直线l绕C点旋转（直线l与CD不重合且不垂直）, 在旋转过程中，E点、F点的位置也随之变化。 思考：∠CEB与∠FDC的数量关系是否发生变化，并说明 理由。

  12. 练一练 C 如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为M,弦CF与AB交于点E。 · O (1) 连结BC，BF E ┌ M A B 你能找出图中相等的角吗？ F 猜想:CB、CE 、CF三者之间的 关系，并证明你所得结论。 D ∠ CBE = ∠ CFB 你能找出图中相似的三角形吗？ ΔCEB ∽ ΔCBF 你能说出CB、CE 、CF三者之间的关系吗？

  13. 练一练 C C · O · O G E ┌ M F B ┌ A B D E H F D 如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为M,弦CF与AB交于点E。 （2）若将弦AB向下平移至与⊙O相切于点D，其它条件不变，如图，则CE与CF的积是否等于CG2？如果不相等，请探求CE与CF的积等于哪两条线段的积？并给出证明过程。 C ·O E ┌ G A B M A F E H D 图① 图② 图② ┌ （3）当直线AB继续向下平移至与⊙O相离时，其它条件不变，如图③，则在（2）中探求的结论是否还成立？请说明理由。 M 图③

  14. 练一练 C C · O · O G E ┌ M F B ┌ A B D E H F D 如图，已知：AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为M,弦CF与AB交于点E。 （2）若将弦AB向下平移至与⊙O相切于点D，其它条件不变，如图，则CE与CF的积是否等于CG2？如果不相等，请探求CE与CF的积等于哪两条线段的积？并给出证明过程。 C ·O G A F D 图① 图② ┌ （3）当直线AB继续向下平移至与⊙O相离时，其它条件不变，如图③，则在（2）中探求的结论是否还成立？请说明理由。 A E H B M 图③

  15. 想一想 如图，已知：在平面直角坐标系中，点O在y轴上，以O为圆心，半径长为4的圆与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C、D，且AB=BC，点P是⊙O上一动点（P点与A、B两点不重合），连结BP、AP。（1）求∠APB的度数。 ( ( Y 解：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径 ( ( ∴AC=BC ( ( 又∵AB=BC ( ( ( ∴AB=BC=AC=120° X ( ①若点P在ACB上，则∠APB=60° ( ②若点P在AB上，则∠APB=120° 要注意分类讨论 C P · ·O A ┌ B · P D

  16. （2）若过点P的⊙O的切线交X轴于点G，问是否存在点P,使得△APB与以B、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。（2）若过点P的⊙O的切线交X轴于点G，问是否存在点P,使得△APB与以B、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。 ( ②若点P在AB上， 要会运用数形结合思想解决问题！ ( Y Y ①若点P在ACB上， X X 根据对称性知， 也是符合条件的点。 解：假设存在点P，使得△APB与以B、G、P为顶点的三角形相似。 ∵∠PBA＝∠GBP ∠GPB＞∠APB, C ∵∠PBA=∠GBP ∠PAB＞∠PGB 又∵∠APB＝120° ∴只能是∠PAB=∠GPB ∠APB=∠PGB C 又∵PG是⊙O的切线 ∴∠BGP是锐角， ·O P · ∴∠GPA=∠PBA ∴∠PGA∽△BPA ∴∠BGP＜∠APB G ┌ A B ∴∠PAG=∠PAB=90° ·O ∴△APB与以A、G、P为顶点的三角形不相似。 ∴PB是⊙O直径 ∴PB=8 · P D B ┌ M ∵∠APB=60°∴∠ABP=30° G A 综上所述，符合条件的P点有两个， D

  17. 通过本节课的学习你有哪些收获？ （1）数学知识：圆周角定理及其推论，弦切角定理的推论，相似三角形的判定及性质等。 （2）数学方法： ①解结论探索型问题的方法：对所探索的问题通过观察、度 量、分析、类比、猜想先得到结论，再科学验证结论。 ②解存在性探索型问题的方法：先假设结论存在，把结论作 为一个题设的条体，若求出需要的符合题设的结论就存在；若求不出结论或可求出和题设矛盾的结论，则不存在。 （3）数学思想：数形结合思想和分类讨论思想。 作业：中考学教导引第四十讲

  18. 考什么 (07N17) 给定下面一列分式：x3/y、-x5/y2、x7/y3、-x9/y4……，（其中x≠0）. （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？ （2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式 .

  19. （08N19)在凸多边形中, 四边形有2条对角线, 五边形有5条对角线, 经过观察、探索、归纳, 你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条? 简单扼要地写出你的思考过程.

  20. (08N23）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F.(08N23）如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF； (2) 证明：AE=BF； (3) 以线段AE、BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC=S△ABG , 求∠C的取值范围.

  21. （07N16） 如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为1/2的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P3,P4,…Pn…，记纸板Pn的面积为Sn，试计算求出S2=；S3=；并猜想得到Sn-Sn-1=(n≥2)。

  22. (04年杭州）给出一个正方形，请你动手画一画，将它剖分为n个小正方形，那么，通过实验与思考，你认为这样(04年杭州）给出一个正方形，请你动手画一画，将它剖分为n个小正方形，那么，通过实验与思考，你认为这样 的自然数n可以取的所有值应该是___________________。 n≥4，且n≠5的整数 走进中考

  23. 数一数：到底有几个正方形 ？ 有什么规律吗？ 1 12+22+32+······+n2 4+1 看谁算的快！ 9+4+1 Key：385 16+9+4+1

  24. 数一数魔方中所含立方体的个数 你能把它看透吗？请与你的同学合作一下 1 8+1 27+8+1 43+33+23+13 规律：13+23+33+······+n3

  25. 如图①，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。如图①，AD是圆O的直径，BC切圆O于点D，AB、AC与圆O相交于点E、F。 （1）求证：AE·AB=AF·AC； （2）如果将图①中的直线BC向上平移与圆O相交得图②，或向下平移得图③，此时，AE·AB=AF·AC是否仍成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由。

  26. 这是一种特殊的情形，既运用了特殊到一般的思想，又获得了猜想证明的思路。这是一种特殊的情形，既运用了特殊到一般的思想，又获得了猜想证明的思路。

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