Autovalores e autovetores: - PowerPoint PPT Presentation

betty_james
slide1 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Autovalores e autovetores: PowerPoint Presentation
Download Presentation
Autovalores e autovetores:

play fullscreen
1 / 16
Download Presentation
Autovalores e autovetores:
768 Views
Download Presentation

Autovalores e autovetores:

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

    1. Autovalores e autovetores: Introduo e definies Polinmio caracterstico Multiplicidade de autovalores Aplicao de autovalores

    3. Definies: Considere A uma matriz nxn. Um escalar ? chamado de autovalor de A, se existe um vetor no nulo x tal que Ax = ?x. Tal vetor chamado de autovetor de A. Dados uma matriz A de ordem n e ? um autovalor de A, chamamos de auto-espao de A a coleo de autovetores correspondentes a cada ? acrescida do vetor nulo. Exemplos: 1) Mostre que (1,1) autovetor de A, onde e obtenha o autovalor correspondente. 2) Mostre que 5 autovalor de 3) Encontre, geometricamente, os autovetores de

    4. Polinmio caracterstico Agora que j vimos algumas aplicaes dos determinantes, vamos utiliz-lo para mais uma aplicao. Definies: Seja A uma matriz de ordem n, denominamos polinmio caracters-tico de A, o polinmio P(?) obtido pelo clculo de: P(?) = det(A- ?I). A equao P(?) = 0 denominada equao caracterstica de A. Os autovalores de uma matriz A so precisamente as solues ? da equao caracterstica. Assim, dada a matriz A temos o seguinte algoritmo: Encontrar o polinmio caracterstico de A; encontrar os autovalores de A atravs de sua equao caracterstica; para cada autovalor encontrar o subespao anulado por A- ?I, esse o auto-subespao associado ao autovalor ? i , denominado E?, formado pelos autovetores de A; Encontre uma base para cada auto-subespao.

    5. Multiplicidade do autovalor: Existem dois tipos de multiplicidade para um autovalor: A multiplicidade algbrica dada pela sua multiplicidade como raiz da equao caracterstica. A multiplicidade geomtrica dada pela dimenso de seu auto-subespao. Exemplo: Encontre as multiplicidades algbrica e geomtrica dos autovalores da matriz A, dada por:

    6. Crescimento populacional da Tartaruga-da-Amaznia Introduo; Modelo matemtico; Estudo qualitativo do sistema; Resultados; Concluses. Artigo disponvel em: http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/tartaruga.pdf

    7. Introduo Pesquisa e aplicao dos conhecimentos matemticos s diversas reas do conhecimento; O projeto Quelnios da Amaznia; Objetivos deste trabalho; Metodologia de estudo.

    8. Modelo matemtico:

    9. Modelo matemtico: equaes N0 ( t+ 1 ) = ? . N10( t ) N1 ( t+ 1 ) = ?0 . N0 ( t ) N2 ( t+ 1 ) = ?1 . N1 ( t ) N3 ( t+ 1 ) = ?2 . N2 ( t ) N4 ( t+ 1 ) = ?3 . N3 ( t ) N5 ( t+ 1 ) = ?4 . N4 ( t ) N6 ( t+ 1 ) = ?5 . N5 ( t ) N7 ( t+ 1 ) = ?6 . N6 ( t ) N8 ( t+ 1 ) = ?7 . N7 ( t ) N9 ( t+ 1 ) = ?8 . N8 ( t ) N10 ( t+ 1 ) = ?9 . N9 ( t ) + (1 - ? ) . N10(t) onde, ? a mortalidade de adultos, ou seja, o nosso sistema de equaes dado por: Ni (t+1) = ?i-1 . Ni-1 (t)

    10. Modelo matemtico: forma matricial

    11. Estudo qualitativo do sistema: polinmio caracterstico P(?) = det(A - ?I) P(?) = ?10(- ?+1- ?) + ? ?0 ?1 ... ?9 P(?) = -?11 + (1- ?)?10 + K K = ? ?0 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 ?8 ?9 Seja ? = Max

    12. Teorema: Cota de Kojima Dado um polinmio p(x) = anxn +an-1xn-1 + ... +a0 toda raiz, real ou complexa, verifica: |? | = Q1 + Q2 onde Q1 e Q2 so os maiores valores obtidos do conjunto:

    13. Estudo qualitativo do sistema: avaliao grfica

    14. Resultados Assumimos a razo sexual como sendo 1/2; Segundo Rocha (1991, 92 e 93), cada fmea desova cerca de 90 ovos a cada estao (? = 90); Do total de ovos, apenas 81,6% sobrevivem, ento do total de ovos apenas 40,8% sero fmeas que emergiro (?0 = 0,408); H uma estimativa de que 5% dos filhotes que nascem conseguem sobreviver at um ano de vida (?1 = 0,05); Desses, apenas 1% chega a fase reprodutiva, que acontece aps os 9 anos de idade, ou seja, ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 ?8 ?9 ? 0,01 A partir da, tem-se uma mortalidade de cerca de 95%, (1 - ? = 0,05). P(?) = -?11 + 0,05?10 + 0,01836 ? ? 0,745296820391

    15. Concluses Tendo em vista o estudo qualitativo do comportamento do sistema e o valor obtido para a cota de Kojima (? ? 0,745296820391 < 1) para os parmetros biticos considerados, podemos concluir que a espcie Podochnemis expansa ser extinta. No entanto, se pelo menos 20% dos filhotes nascidos completarem o primeiro ano de vida e, desses, outros 20% venham a atingir a idade reprodutiva, obtemos ? = 1,05 (? > 1), o que nos leva a concluir que a espcie poder ser preservada. Nesse sentido, a adoo de polticas de proteo, dar condies de preservar a espcie, caso contrrio, a extino ser inevitvel.

    16. Trabalho prtico: Crescimento Populacional Uma espcie de besouro alemo, o volmar-wasserman vive no mximo 3 anos. As fmeas podem ser divididas em 3 faixas etrias: ninfas (de 0 a 1 ano), juvenis (de 1 a 2 anos) e adultas (de 2 a 3 anos). As ninfas no pem ovos; cada fmea juvenil produz uma mdia de 4 fmeas e cada adulta uma mdia de 3 fmeas. A taxa de sobrevivncia de 25% para as juvenis e de 50% para as ninfas. Supondo que a populao inicial era de 40 ninfas, 40 juvenis e 20 adultas, obtenha: A matriz de Leslie associada a esta populao. A previso da populao para os prximos 5 anos. Os autovalores e autovetores de sua matriz de Leslie. O grfico populao x tempo com pelo menos 10 anos, indicando a populao de cada classe etria. O grfico porcentagem da populao x tempo, com pelo menos 10 anos, indicando a porcentagem para cada classe etria. A partir desses grficos, que concluses voc pode tirar ?