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4 面体 (正3角錐) の重心 〜 重心を透視できる4面体づくり 〜. 4面体断面見取り図づくり. 4面体の断面4面体を作る. 右上図は、4面体 ABCD 右下図は、4面体 ABCD を ABM で切断し、 4面体 ABCM と4面体 ABDM の二つに 2等分したもの. 3垂線は一点で交わる. 三角形の重心は中線を2:1に内分する点. 左上 △ BCD の重心 H は、 BH : HM = 2 : 1 の点。 ・ 左下 4面体の一面△の重心. 切断面で考える. 切断面に補助線を引く. 補助線を引いて推論する. △ABM において

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Presentation Transcript
slide1

4面体(正3角錐)の重心〜重心を透視できる4面体づくり〜4面体(正3角錐)の重心〜重心を透視できる4面体づくり〜

slide3
4面体の断面4面体を作る
  • 右上図は、4面体ABCD
  • 右下図は、4面体ABCDをABMで切断し、 4面体ABCMと4面体ABDMの二つに 2等分したもの
slide5
三角形の重心は中線を2:1に内分する点
  • 左上

△BCDの重心Hは、

BH:HM=2:1

の点。

・左下

4面体の一面△の重心

slide8
補助線を引いて推論する

△ABMにおいて

AG2=BG1 より AB // G2G1

よって△ABM ∽ △G2G1M

したがって  AM: G2M=3:1=

AB: G2G1(中点連結定理の拡張により)

さらに、△ABG ∽ △G2G1Gにより

AG:GG1 =3:1

以降、

 辺の長さを用いて計算して4面

 体の重心が垂線を3:1に内分する点であることを検証することになる。

slide9
三角錐の重心が3:1であることを計算で証明する三角錐の重心が3:1であることを計算で証明する

一辺を√2aとすると、BMは直角三角形BCMより、BM2+CM2=BC2

BM2=BC2- CM2 <*>△BCDにおいてBG1:G1M=2:1より

=(√2a) 2-(√2a/2) 2BG1=2BM/3=(2/3)(√6a/2 )= √6a/3

=3a2/2 (=AG2)

BM=√3a/√2= √6a/2 (=AM) G1M=BM/3=(1/3)(√6a/2 )= √6a/6

<*へ続く>

垂線AG1=BG2は、 <**> AB:G2G1=3:1=AG:GG1により

AG12=AM2-G1M2 AG = (3/4)AG1=3/4×2a/√3=√3a/2

= (√6a/2 )2-(√6a/6)2 GG1=(1/4) AG1= 1/4×2a/√3=√3a/6

=4a2/3        よって

AG1=2a/√3(AG/GG1) = (√3/2) a/(√3/6) a

<**へ続く> = √3/2×6/√3=3/1