4 面体 (正3角錐) の重心 〜 重心を透視できる4面体づくり 〜 - PowerPoint PPT Presentation

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4 面体 (正3角錐) の重心 〜 重心を透視できる4面体づくり 〜

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  1. 4面体(正3角錐)の重心〜重心を透視できる4面体づくり〜4面体(正3角錐)の重心〜重心を透視できる4面体づくり〜

  2. 4面体断面見取り図づくり

  3. 4面体の断面4面体を作る • 右上図は、4面体ABCD • 右下図は、4面体ABCDをABMで切断し、 4面体ABCMと4面体ABDMの二つに 2等分したもの

  4. 3垂線は一点で交わる

  5. 三角形の重心は中線を2:1に内分する点 • 左上 △BCDの重心Hは、 BH:HM=2:1 の点。 ・左下 4面体の一面△の重心

  6. 切断面で考える

  7. 切断面に補助線を引く

  8. 補助線を引いて推論する △ABMにおいて AG2=BG1 より AB // G2G1 よって△ABM ∽ △G2G1M したがって  AM: G2M=3:1= AB: G2G1(中点連結定理の拡張により) さらに、△ABG ∽ △G2G1Gにより AG:GG1 =3:1 以降、  辺の長さを用いて計算して4面  体の重心が垂線を3:1に内分する点であることを検証することになる。

  9. 三角錐の重心が3:1であることを計算で証明する三角錐の重心が3:1であることを計算で証明する 一辺を√2aとすると、BMは直角三角形BCMより、BM2+CM2=BC2 BM2=BC2- CM2 <*>△BCDにおいてBG1:G1M=2:1より =(√2a) 2-(√2a/2) 2BG1=2BM/3=(2/3)(√6a/2 )= √6a/3 =3a2/2 (=AG2) BM=√3a/√2= √6a/2 (=AM) G1M=BM/3=(1/3)(√6a/2 )= √6a/6 <*へ続く> 垂線AG1=BG2は、 <**> AB:G2G1=3:1=AG:GG1により AG12=AM2-G1M2 AG = (3/4)AG1=3/4×2a/√3=√3a/2 = (√6a/2 )2-(√6a/6)2 GG1=(1/4) AG1= 1/4×2a/√3=√3a/6 =4a2/3        よって AG1=2a/√3(AG/GG1) = (√3/2) a/(√3/6) a <**へ続く> = √3/2×6/√3=3/1