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数理逻辑 (3). 模型论初步. 公理系统. 一个公理系统首先必须具备的性质是协调性,即无矛盾。 最好具有完备性。 自明性不再像欧式几何那样是必须的。但是数学柏拉图主义决定了公理系统必须有“意义”。. 希尔伯特 1862-1943 德国. 欧式几何的公理化。. 皮亚诺 1858-1932 意大利. 皮亚诺算术公理系统 (PA): ∀n(n+1≠0) ∀n∀m(m+1=n+1→m= n ) ∀m( m+0= m ) ∀m( m  0=0) ∀n∀m( m  (n+1)=( m  n)+m ) ∀ n(n ⊀ 0)

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Presentation Transcript
slide1

数理逻辑 (3)

模型论初步

slide2
公理系统

一个公理系统首先必须具备的性质是协调性,即无矛盾。

最好具有完备性。

自明性不再像欧式几何那样是必须的。但是数学柏拉图主义决定了公理系统必须有“意义”。

1862 1943
希尔伯特1862-1943 德国

欧式几何的公理化。

1858 1932
皮亚诺1858-1932 意大利

皮亚诺算术公理系统(PA):

∀n(n+1≠0)

∀n∀m(m+1=n+1→m=n)

∀m(m+0=m)

∀m(m0=0)

∀n∀m(m(n+1)=(mn)+m)

∀n(n⊀0)

∀m∀n(m<n+1→(m<n∨m=n))

(φ(0) ∧∀n(φ(n) →φ(n+1))) →∀nφ(n)。

slide5
协调性的证明

一个理论T是指一个句子的集合。

T是协调的(consistent),如果没有句子φ使得T┠φ∧¬φ。

T是完全的(complete),如果它是极大的协调理论。

证明理论T协调性的方法:(1)模型论。(2)证明T是不完备的。

slide6
语言的结构

给定一个语言L,它的一个结构M=(M,…)包含一个定义域(Domain)M,并且所有常量,谓词,函数作用在这个定义域上。

(Z,+,0)就是群论语言的一个结构。

(N, +,,<,0,1)就是算术语言的一个结构。

slide7
指派

给定一个语言L和它的一个结构M=(M,…)。

一个指派(assignment)是一个从变量集到M的函数s。

有了指派,则每一个项t都有一个值s(t)。

在一个指派s下,我们可以归纳地定义满足关系Mㅑϕ[s]。

Mㅑt[s]=t’[s]如果s(t)=s(t’)。

MㅑR(u_0,u_1,…u_n)[s]如果u_0[s],u_1[s],…u_n[s] ∈RM。

Mㅑ¬ϕ[s]如果¬Mㅑϕ[s]。

Mㅑφ∨ψ[s]如果Mㅑφ[s]或者Mㅑψ [s]。

Mㅑφ∧ψ[s]如果Mㅑφ[s]并且Mㅑψ [s]。

Mㅑxϕ[s]如果对每一个d∈M,我们让新指派s’(x)=d但是s’对于其它变量的值与s相同,则Mㅑϕ[s’]。

Mㅑxϕ[s]如果存在一个d∈M,我们让新指派s’(x)=d但是s’对于其它变量的值与s相同,则Mㅑϕ[s’]。

slide8
理论的模型

定理:对于一个句子ϕ以及任意的指派s,s’,Mㅑϕ[s] 当切仅当Mㅑϕ[s’]。

因此句子的满足关系不依赖于指派。

对于一个句子ϕ,我们可以定义Mㅑϕ。

一个理论T,MㅑT,如果对于T中每一个句子ϕ,Mㅑϕ。

M称为T的一个模型.

T是可满足的,如果T有一个模型。

1906 1978
哥德尔1906-1978,奥地利

歌德尔完备性定理:T是可满足的当切仅当T是协调的。

证明:φ┠ψ并且Mㅑφ,则Mㅑψ。

因此可满足性蕴含协调性。

协调性蕴含可满足性:韩钦(Henkin)常量法。

slide10
一个重要推论

Tㅑϕ如果 T的每一个模型都是ϕ的一个模型。

推论:Tㅑϕ当且仅当 T┠ϕ。

证明:如果T┠ϕ,则存在X有穷子集Y使得∧ψ∈Yψ ┠ϕ。因此Tㅑϕ。

如果T不证明ϕ,则T与¬ϕ是协调的,因此由完备性定理,T∪{¬ϕ}存在模型。 QED

slide11
紧致性定理

紧致性定理:T是可满足的当切仅当它的每一个有穷子集都是可满足的。

证明:歌德尔完备性定理的直接推论。 QED

推论:如果T有任意大有穷模型,则模型可以任意大。

证明:对于任何无穷基数κ, T∪{cα≠cβ|α≠β<κ}是可满足的。

QED

因此一个理论不可能完全决定它的模型。

slide12
几个例子
  • PA的任何模型必然包含所有自然数。
  • PA的模型可以任意大。
  • PA的非标准模型。

PA∪{0<c,1<c,…}。

slide13
子模型

给定同一语言的两个结构M=(M,…)和N=(N,…),记为M⊆N,如果M⊆N,并且M所有的谓词,函数限制在N上都与N中的对应谓词,函数一致,则M称为N的子模型。

如果M⊆N并且对于所有公式ϕ(v0, v1,…)以及M中所有元素a0, a1,…, Mㅑϕ(a0, a1,…)当且仅当Nㅑϕ(a0, a1,…),则M称为N的初等子模型,记为M≺N。

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模型的关系

给定同一语言的两个结构M=(M,…)和N=(N,…),记为M≡N,如果对于所有句子ϕ,Mㅑϕ当且仅当Nㅑϕ,则称M与N初等等价。

如果存在一个双射函数f:M->N使得对于所有公式ϕ(v0, v1,…)以及M中所有元素a0, a1,…, Mㅑϕ(a0, a1,…)当且仅当Nㅑϕ(f(a0),f(a1)…),则称M与N同构,记为M≅N。

显然M≺N和M≅N蕴含M≡N。

slide15
几个例子

(Z,+,0)是(Q,+,0)的子模型。

(Q,+,,0,1)是(R,+,,0,1)的子模型。

但是他们都不是初等子模型。考虑yx(x+x=y) 以及x(xx=1+1) 。

(ω,<) ≡(ω∪{½},<)但是(ω,<)不是(ω∪{½},<)的初等子模型。

(Q,+,0)是(R,+,0)的初等子模型。因此(R,+,0)≡(Q,+,0)但是不同构。

slide16
可定义性

给定一个语言的结构M=(M,…),一个集合A⊆M是可定义的,如果存在一个公式ϕ以及a∈M使得对于所有的m∈M, m∈A当且仅当Mㅑϕ(m,a)。

定理:如果A⊆M是无参数可定义的并且f是M的一个自同构,则f(A)=A。

对于任何可数语言的无穷结构M=(M,…),M必然存在一个不可定义的子集。

自然数集合在整数环中是可定义的但在整数群中不可定义。

1887 1963
斯科伦1887-1963 挪威

给定一个结构M,φ(u,v)的斯科伦函数是一个函数f使得Mㅑ∀u(vφ(u,v)↔φ(u,f(u)))。

斯科伦定理:如果|L|=κ,M是L的一个结构并且X⊆M,则有一个N≺M使得X⊆N并且|N|≤κ+|X|+ℵ0。

slide18
斯科伦悖论

斯科伦悖论:如果集合论是协调的,则集合论有一个可数模型。

slide19
习题
  • 如果M是PA的一个非标准模型并且对于所有的自然数n, Mㅑϕ(n), 则存在一个非标准自然数c∈ M使得Mㅑϕ(c)。
  • 对于任何无穷结构M以及任意基数κ>|M|,存在一个结构N,使得|N|=κ并且M≺N。
  • 证明对于整数环(Z,+,,0,1),每一个公式φ(u,v)都有一个可定义的斯科伦函数。
slide20
阅读材料
  • 《Model Theory》, David Marker
  • 《Model Theory》, C.C. Chang and Jerome. Keisler
  • 《Model Theory》, Wilfrid Hodges