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三维物体的表示

三维物体的表示. 三维物体的表示. 3 D 概念 3 D 物体的表示. 第九章 三维 概念. 三维 图形类型 线框图 实体图 立体图 三维 坐标系统 三维 显示方法. 9.1 三维 显示方法. 平行投影 透视投影 深度提示 可见线面的标识 表面绘制 分解图和剖面图 三维和立体视图. 9 .1 3 D 概念. 透视投影 平行投影. 平行投影 考虑遮挡. 可见面 表面绘制. 三维变换流程. MC. WC. 建模变换. 观察与投影变换. PC.

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三维物体的表示

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Presentation Transcript

  1. 三维物体的表示

  2. 三维物体的表示 • 3D概念 • 3D物体的表示

  3. 第九章 三维概念 • 三维图形类型 • 线框图 • 实体图 • 立体图 • 三维坐标系统 • 三维显示方法

  4. 9.1 三维显示方法 • 平行投影 • 透视投影 • 深度提示 • 可见线面的标识 • 表面绘制 • 分解图和剖面图 • 三维和立体视图

  5. 9.1 3D 概念 透视投影 平行投影

  6. 平行投影 考虑遮挡

  7. 可见面 表面绘制

  8. 三维变换流程 MC WC 建模变换 观察与投影变换 PC DC 工作站变换

  9. 第十章 三维物体的表示 • 三维实体表示方法通常可分为两类： • 边界表示 • 空间区分

  10. 三维实体描述方法1 • 边界表示 • 使用一组曲面描述三维物体 • 曲面将物体分为内外两部分。 • 如：多边形平面表示 样条曲面

  11. 三维实体描述方法2 • 空间区分表示 • 用来描述物体内部性质 • 将包含一物体的空间区域划分成一组较小的、非重叠的、邻接的实体(通常是立方体)。 • 如：八叉树表示

  12. 3维物体的表示方法 • 多边形表面 标准图形物体 • 曲线曲面 • 二次曲面 • 样条表示 • Bezier曲线和区面 • 扫描表示 • 结构实体几何法 • 八叉树 • 分形几何方法

  13. 10.1 多边形表面 • 数据表分组： • 几何表 • 属性表 • 几何数据的组织结构____三表法 • 顶点表 • 边表 • 多边形面表

  14. E6 E3 S2 10.1 多边形表面 v1 E1 S1 v5 v3 v2 E2 E4 E5 v4

  15. v1 E1 E6 E3 S1 v5 S2 v3 E2 v2 E4 E5 v4 10.1 多边形表面

  16. 9.2.1 多边形面 • 欧拉公式： V-E+S=2 其中：V为顶点数，E为棱线数，S为面数 • 凡是满足欧拉公式的形体均称为欧拉形体 v8 v7 v1 v5 v6 v2 v4 v4 v3 v3 v1 v2 四面体(V=4,E=6,F=4) 六面体(V=8,E=12,F=6)

  17. 10.1 多边形表面 • 三表可简化成两表(点表和面表)。 信息有冗余。 • 信息输入错误导致物体失真 • 图形软件对数据完整性和一致性进行测试： • 每个顶点至少是两条边的端点 • 每条边至少是一个多边形的部分 • 每个多边形是封闭的 • 每个多边形至少有一条公共边 • 如果边表包含对多边形的指针，每一个被多边形指针引用的边有一个逆指针指回多边形。

  18. 10.1.2 平面方程 • 考虑平面方程的必要性 • 平面方程: Ax+By+Cz+D=0的求解 • 已知平面上三点(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，(x3,y3,z3) • 运用Crammer规则求解得到平面方程中A、B、C、D四个系数

  19. N V3 y N V1 x V2 z 平面的空间方向 • 平面的法向量N • 由平面方程得到：N＝(A，B，C) • 通过向量的叉乘得到：N＝ V1V2 ×V1V3

  20. 10.1.2 平面方程 • 点(x,y,z)与平面的位置关系 • if Ax+By+Cz+D＝0 then (x,y,z) 在平面上 • if Ax+By+Cz+D<0 then (x,y,z) 在平面内部 • if Ax+By+Cz+D>0 then (x,y,z) 在平面外部 y (x,y,z) x z

  21. 10.2 曲线和曲面 • 曲线曲面的生成方法 • 给定一组数学函数 • 给定的一组数据点

  22. 10.2 曲线和曲面 • 空间曲线曲面的数学表示 • 非参数表示 曲线:y=f (x)， z=g(x) 曲面:f (x, y,z)=0 或 z=f(x,y) • 参数表示 曲线:P(u) = (x(u), y(u),z(u)) 曲面:P(u,v) = (x(u,v), y(u,v),z(u,v))

  23. 10.6 样条表示 • 样条在图形学中的应用 • 设计曲线、曲面 • 样条曲线在计算机图形学中的含义 • 由多项式曲线段连接而成的曲线 • 在每段的边界出满足特定的连续性条件 • 样条曲面 • 使用两组正交样条曲线进行描述

  24. 10.6 样条表示 • 曲线的产生 • 给定一组离散的坐标点指定曲线的大致形状 坐标点____>控制点 • 将数据集拟合成指定的曲线函数 • 根据曲线函数得到曲线的图形

  25. 10.6 样条表示 • 曲线的类型 • 控制点的插值样条曲线(曲线内插控制点) • 控制点的逼近样条曲线 (曲线近似控制点)

  26. 凸壳 • 凸壳的定义： 包含一组控制点的凸多边形边界称为凸壳 • 凸壳的作用 • 凸壳提供了曲线或曲面与包围控制点的区域之间的偏差的测量 • 以凸壳为界的样条保证了多项式沿控制点的平滑前进

  27. 逼近样条的控制图 • 也叫曲线的控制多边形、特征多边形 • 含义： 对于逼近曲线，连接控制点序列的折线图称为曲线的控制多边形 • 作用 • 标识控制点的顺序

  28. 10.6.2 参数连续性条件 • 参数连续性条件 两个相邻曲线段在相交处的参数导数相等 • 零阶连续(C0连续) • 一阶连续(C1连续) • 二阶连续(C2连续)

  29. 曲线分段构造时参数连续性条件 F(u) f(u) F(1)=f(0) F'' (1)=f'' (0) F'(1)=f'(0) 零阶连续 一阶连续 二阶连续

  30. 10.6.3 几何连续性条件 • 几何连续性条件 两个相邻曲线段在相交处的参数导数成比例 • 零阶连续(G0连续) • 一阶连续(G1连续) • 二阶连续(G2连续)

  31. 样条曲线 • 插值样条曲线 • 三次样条插值 • 自然三次样条插值 • Hermite样条插值 • Cardinal样条插值 • Kochanek_Bartels样条插值 • 逼近样条曲线 • Bezier曲线 • B_样条曲线(一般化形式为 _样条曲线)

  32. 10.8 Bezier曲线和曲面 • 法国工程师Bezier使用样条逼近方法设计汽车。 数学基础简单，容易实现。 应用广泛

  33. 10.8 Bezier曲线和曲面 • Bezier曲线构造 假定给出n+1控制点: pk=(xk,yk,zk), k取值范围为0到n，这些坐标值用于合成位置向量 P(u) 0≤u≤1 • 混合函数BEZk,n(u) • BEZk,n(u) = C(n,k) *u^k*(1-u)^(n-k) • 其中：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)

  34. Bezier曲线的次数 • Bezier多项式次数＝控制点个数－1 如： • 3个控制点 Bezier多项式次数＝2，曲线为抛物线 • 4个控制点 Bezier多项式次数＝3，曲线为三次曲线 ... • n+1个控制点 Bezier多项式次数＝n，曲线为n次曲线

  35. P1 P0 P2 Bezier曲线举例 P3

  36. P1 P1 P2 P3 P0 P0 P2 P3 P2 P0 P1 P3 Bezier曲线举例

  37. Bezier曲线举例 P3 P1 P0 P4 P2

  38. 10.8 Bezier曲线和曲面 • Bezier曲线程序实现 P259

  39. Bezier曲线的特性 • Bezier曲线总是通过第一个和最后一个控制点 曲线在两个端点处的边界条件为： P(0) = P0 ，P(1) =Pn P'(0)=n(P1-P0) P'(1)=n(pn-pn-1) P''(0)=n(n-1)(p2+p0-2p1) P''(1)=n(n-1)(pn+pn-2-2pn-1)

  40. Bezier曲线的特性 • Bezier曲线总是落在控制点的凸壳内 保证了曲线沿控制点的平稳前进

  41. 使用Bezier曲线的设计技术 • 第一和最后一个控制点重合生成封闭Bezier曲线 • 多个控制点位于同一位置会对该位置加以更多的权 • 分段Bezier曲线 • 零阶参数连续Bezier曲线的构造 • 一阶参数连续Bezier曲线的构造

  42. p0 Bezier曲线 p3 p2 p2 p1 p4 =p5

  43. p2 p1 p0 p3 Bezier曲线 p3 =p2 p4

  44. p1 p5 p2 p0 p4 p3 Bezier曲线 P3' P0' P2' P1'

  45. 10.8.4 Bezier曲线 例：三次Bezier曲线 • 由四个控制点生成 • BEZ0,3(u) = (1-u)3 • BEZ1,3(u) = 3u(1-u)2 • BEZ2,3(u) = 3u2(1-u) • BEZ3,3(u) = u3 图10.38

  46. 10.8.5 Bezier曲面 • 使用两组正交的Bezier曲线来设计 (m+1)*(n+1)个控制点

  47. 立体构造技术 • 由简单的物体来构成复杂的物体 • 扫描表示 • 结构实体几何法

  48. 10.14 扫描表示 • 思想： 通过指定一个二维形状以及在空间区域内移动该形状的扫描来描述该三维物体

  49. 10.14 扫描表示 • 平移扫描举例 二维图形A沿Z轴平移 z o y x A

  50. 10.14 扫描表示 • 旋转扫描举例 二维图形A绕Z轴旋转 z B A y x

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