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圆幂定理及其应用

圆幂定理及其应用. 教学目标. 使学生了解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题； 通过对例题的分析，提高学生分析问题、解决问题的能力； 从运动的观点来统一认识圆幂定理，对学生进行事物间是相互联系和运动变化的观点的教育。. 教学重点和难点. 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点。. 教学过程. 提出问题： 1 、结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容； 2 、相交弦定理、切割线定理及其推论三者之间是否存在相互联系？. 电脑投影. A. C. C. C.

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圆幂定理及其应用

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Presentation Transcript

  1. 圆幂定理及其应用

  2. 教学目标 • 使学生了解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题； • 通过对例题的分析，提高学生分析问题、解决问题的能力； • 从运动的观点来统一认识圆幂定理，对学生进行事物间是相互联系和运动变化的观点的教育。 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点。

  3. 教学过程 提出问题： 1、结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容； 2、相交弦定理、切割线定理及其推论三者之间是否存在相互联系？ 电脑投影

  4. A C C C （图3） (图1) （图2） B D A A B O D P （1）如图1，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：

  5. A C C C （图3） (图1) （图2） B D A A B O D P 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图2)； 二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(如图3)。

  6. D C P O A B (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图4) （图4）

  7. D C P O A (3)在图4中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(如图5) （图5） (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.

  8. B O A D C E 例题选讲 例1 如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径. 分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解. (由学生讨论、分析，得出解决)

  9. A B X P o Y Q 例2 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX·AY=BP·BQ 分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.

  10. 方法1 过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.再连结CO，AO，DO，BO，易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出 AC＝BD所以AX·AY＝BP·BQ. 方法2 作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有 AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE. 易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP. 所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE. 所以AX·AY＝BP·BQ.

  11. 方法3 由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有 AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD. 易证AE＝BC，AF＝BD， 所以AE·AF＝BC·BD.从而AX·AY＝BP·BQ. 通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题?

  12. 强化练习 练习1 已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长. 练习2 已知⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ.

  13. 小 结 用投影重新打出圆幂定理的基本图形，让学生观察并说出相应的定理. 教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的. 电脑投影 布置作业 （1）课本P171，习题8.13A组5、6题. （2）思考题：课本P171 B组1题

  14. A C D D C C P P O O C C （图3） (图1) （图2） A B D B A A A B O D P （图4） （图5）

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