§2.2 函数的求导法则

1. §2.2函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式

2. 一、函数的和、差、积、商的求导法则 • 定理1 • 如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数 并且 [u(x)v(x)]=u(x)v(x) >>> [u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x) >>> >>>

3. 求导法则 • 求导法则的推广 • (uvw)=uvw • (uvw) =uvw+uvw+uvw • 特殊情况 • (Cu)=Cu 例1y=2x 3-5x 2+3x-7 求y 解 y=(2x 3-5x 2+3x-7) =(2x 3)-(5x 2)+(3x)-(7) =2(x 3)-5(x 2)+3(x) =2·3x 2-5·2x+3 =6x 2-10x+3

4. 求导法则 例2  解 例3y=ex(sin x+cos x) 求y 解 y=(ex)(sin x+cos x)+ex(sin x+cos x) = ex (sin x+cos x) +ex (cos x-sin x) =2excos x

5. 求导法则 例4ysec x求y 解 用类似方法还可求得 (cot x)=-csc2x (csc x)=-csc x cot x

6. 二、反函数的求导法则 • 定理2 • 如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f(y)0那么它的反函数yf1(x)在对应区间Ixf(Iy)内也可导 并且 简要证明 由于xf(y)可导(从而连续)所以xf(y)的反函数yf1(x)连续 当x0时y0所以

7. 反函数的求导法则: 例5求(arcsin x)及(arccos x) 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以 解 例6求(arctan x)及(arccot x) 解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以

8. 三、复合函数的求导法则 • 定理3 • 如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yf[g(x)]在点x可导 且其导数为 简要证明 假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数 则Du0 此时有

9. 复合函数的求导法则: 例7 解

10. 复合函数的求导法则: 例8 例9 解 解 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设yf(u)u(v)v(x)则

11. 复合函数的求导法则: 例10 例11 解 解

12. 四、基本求导法则与导数公式 • 基本初等函数的导数公式 (1) (C)0 (2) (xm)mxm1 (3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x (6) (cot x)csc2x (7) (sec x)sec xtan x (8) (csc x)csc xcot x (9) (ax)ax ln a (10) (ex)ex

13. (1) (uv)=uv (2) (Cu)=Cu (C是常数)  (3) (uv)=uv+uv 四、基本求导法则与导数公式 • 函数的和、差、积、商的求导法则 • 反函数求导法 • 复合函数的求导法则

14. 例12求双曲正弦sh x与双曲余弦ch x的导数. 解 即 (sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x 例13求双曲正切th x的导数. 解

15. 例14求反双曲正弦arsh x的导数. 解 例15ysin nxsinnx (n为常数)求y 解 y (sin nx)sinnx +sin nx(sinnx) +sin nx ncos nx sinnx nsinn1x (sin x) ncos nxsinnx+n sinn1xcos x n sinn1xsin(n+1)x