kvantitative metoder 2 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Kvantitative metoder 2 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Kvantitative metoder 2

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 25

Kvantitative metoder 2 - PowerPoint PPT Presentation


  • 122 Views
  • Uploaded on

Kvantitative metoder 2. Inferens i den lineære regressionsmodel 12. marts 2007. Dagens program. Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4): Normalitetsantagelse (MLR.6). Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Kvantitative metoder 2' - bertha-mcneil


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2

Inferens i den lineære regressionsmodel

12. marts 2007

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

dagens program
Dagens program
  • Resultater om OLS med endeligt antal observationer (kap. 4):
    • Normalitetsantagelse (MLR.6).
    • Test af en enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel.
  • Asymptotiske resultater for OLS: (kap. 5).
    • Konsistens
    • Asymptotisk normalitet og efficiens
    • Eksempel: Monte Carlo eksperiment med uniformt fordelte fejlled (asynorm_uni.sas).

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

fordeling af ols estimatoren endelig stikpr ve
Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve
  • Linearitet af i u og CLM giver følgende resultat:
  • Theorem 4.1: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at

hvor

Heraf følger:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

fordeling af ols estimatoren endelig stikpr ve fortsat
Fordeling af OLS estimatoren: Endelig stikprøve (fortsat)
  • Theorem 4.1 indeholder den ukendte parameter , derfor ikke umiddelbart operationel.
  • Erstattes af kan man vise at der gælder følgende resultat:
  • Theorem 4.2: Under CLM antagelserne og betinget på gælder at
  • hvor k+1 er antal regressorer i modellen inkl. konstantled.
  • t-fordelingen går mod N(0,1) når antallet af frihedsgrader vokser. Fin approximation hvis større end 120.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

hypotesetest restriktion p en enkelt koefficient
Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient
  • Betragt en nulhypotese om en regressionskoefficient: , hvor a er en konstant.
  • Under nulhypotesen påstår vi altså en bestemt værdi af en parameter i den sande model.
  • Bruge afvigelsen mellem estimatet, og den postulerede værdi, a, til at vurdere gyldigheden af nulhypotesen.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

hypotesetest restriktion p en enkelt koefficient1
Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient
  • t-testet for er givet ved
  • og er fordelt som under nulhypotesen.
  • Alternativhypotesen:
    • Ensidede alternativer:eller
    • Tosidet alternativ:
  • Ex. Afkast af uddannelse: Hypotese om
    • Nulhypotese:
    • Relevant alternativ:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

hypotesetest restriktion p en enkelt koefficient2
Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient
  • Klassisk teststrategi:
    • Vælg signifikansniveau: Sandsynlighed for at afvise nulhypotesen, givet at den er sand. Typisk vælges 5 %.
    • Vælg alternativhypotese: Bestemmer den kritiske region, givet signifikansniveauet.
    • Beregn teststatistik.
      • Afvis nulhypotesen hvis testet er i den kritiske region.
      • Afvis ellers ikke.
  • Alternativ: Beregn p-værdi: Marginale signifikansniveau som ville betyde at nulhypotesen netop ville blive afvist.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

hypotesetest restriktion p en enkelt koefficient3
Hypotesetest: Restriktion på en enkelt koefficient
  • Typiske eksempler:
    • a=0: Standard signifikanstest.
    • a=1 eller a=-1: Test af homogenitet eller proportionalitet.
  • Konfidensinterval: Givet signifikansniveau, , fx 5 %. Så er 100- % konfidensintervallet givet ved:
  • Konstrueres intervallet således vil det i 100- % af udfaldene rumme den sande værdi. Nulhypoteser om værdier udenfor vil således blive afvist.
  • Skitsér på tavlen.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

hypotesetest eksempel l nrelationen
Hypotesetest: Eksempel: Lønrelationen

Afhængig variabel: log(timeløn)

Kilde: Output fra SAS-programmet lon_udd2.sas

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

generel line r restriktion
Generel lineær restriktion
  • Nulhypotese på linearkombination af koefficienter:
  • Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn).
  • Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U):

I log-transformerede størrelser:

Test antagelse om konstant skalaafkast:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

generel line r restriktion fortsat
Generel lineær restriktion (fortsat)
  • Hypotesen er af formen: ”Linearkombination af koefficienterne er lig med konstant”.
  • Estimere , men hvad med ?
  • Omparameterisere modellen:
  • OLS af
  • I reparameterisering er hypotesen direkte en restriktion på koefficienten til : Kald den fx
  • Test restriktionen vha. t-stat. på
  • Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

eksakte versus asymptotiske egenskaber
Eksakte versus asymptotiske egenskaber
  • Under antagelserne MLR.1-4 er OLS en middelret estimator.
    • Ved uafhængige trækninger af datasæt af n observationer vil OLS–estimatoren i gennemsnit ramme den sande parameterværdi, .
    • Gælder for enhver størrelse n af datasættet
  • Under CLM-antagelserne MLR.1-6 kender vi hele fordelingen eksakt:
    • t-test følger t-fordelingen
    • For enhver størrelse n af datasættet
  • MLR.6: Normalitet er restriktivt.
  • Nu: Se på egenskaber for OLS når vi lader

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

konsistens generelt
Konsistens: Generelt
  • Wooldridge appendix C.3 definerer konsistens af en estimator, se også Berry og Lindgren kap. 9.3
  • Estimatoren konvergerer i sandsynlighed mod den sande værdi:
  • Egenskab for estimatoren når antallet af observationer øges mod uendeligt.
  • Minimalkrav til en ”fornuftig” estimator.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

konsistens generelt fortsat
Konsistens: Generelt (fortsat)
  • Store tals lov: i.i.d. følge med middelværdi . Så gælder
  • Anvendes på en lang række størrelser beregnet ud fra data: Gennemsnit, varianser, kovarianser mv.
  • Egenskaber ved plim (se side 774-75):

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

konsistens generelt fortsat1
Konsistens: Generelt (fortsat)
  • Middelret estimator er ikke nødvendigvis konsistent: Præcisionen bliver ikke nødvendigvis bedre når
  • Men: Hvis variansen af en middelret estimator går mod nul i sandsynlighed når , så gælder at
  • Ex. Estimation af middelværdi af i.i.d. følge med middelværdi og konstant varians :
    • Gennemsnittet af n observationer:
    • Gennemsnit af første og n’te observation:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

konsistens ols
Konsistens: OLS
  • Theorem 5.1: Konsistens af OLS estimatoren:

Under antagelserne:

    • MLR.1: Lineær model:
    • MLR.2: Tilfældigt udvalg af
    • MLR.3: Ingen perfekt multikollinearitet: er non-singulær.
    • MLR.4: Betinget middelværdi nul:

Så er OLS-estimatoren konsistent for

  • Bevis: Tavlegennemgang.
  • Konsistens kan vises under svagere betingelse end MLR.4:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

konsistens ols1
Konsistens: OLS
  • Hvis fejlleddet er korreleret med en eller flere regressorer vil OLS være inkonsistent:
  • Inkonsistensen (den ”asymptotiske bias”) i den simple lineære regressionsmodel er givet ved
  • Per konstruktion forsvinder problemet ikke ved at få flere data fra samme population.
  • Vil se på metoder til at håndtere inkonsistens i kap. 15.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

asymptotisk normalfordeling for ols generelt
Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt
  • Konsistens af OLS i store datasæt under MLR.1-4: Minimumskrav opfyldt.
  • Inferens: Vi behøver mere end det. Antager nu:
    • MLR.5: Homoskedasticitet:
    • Men ikke MLR.6: Normalitet af ui
  • Normalfordelte fejlled er alt for stærk antagelse i en række realistiske problemstillinger:
    • Diskrete fordelinger: Heltallige udfald, fx antal medlemmer af en bestyrelse.
    • Skæve fordelinger: Asymmetriske aktieafkast.
    • Fordelinger med ”tunge” haler: Aktieafkast (outliers).

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

asymptotisk normalfordeling for ols generelt1
Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt
  • Teorem 5.2: Asymptotisk normalfordeling af OLS estimatoren
  • Antag: Gauss-Markov antagelserne MLR.1-5.

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

asymptotisk normalfordeling for ols i praksis
Asymptotisk normalfordeling for OLS: I praksis
  • Standardiserede OLS estimater er asymptotisk standardnormalfordelt:
  • Hvad er ”asymptotisk”?
    • Afhænger bl.a. af, hvor meget u’sfordeling afviger fra normalfordelingen: Ikke hårde regler.
    • N(0,1) >< tn-k-1: Ikke vigtigt (for rimeligt store n og moderate værdier af k).

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

asymptotisk normalfordeling for ols monte carlo experiment
Asymptotisk normalfordeling for OLS: Monte Carlo experiment
  • Lad os designe et lille eksperiment, hvor MLR.1-5 er overholdt (faktisk er u uafhængige af x her): Lineær model, ingen eksakt multikollinearitet, u har middelværdi nul og konstant varians.
  • Men u trækkes fra en uniform (eller lige) fordeling:
    • Kontinuert fordeling fx på intervallet [-1,1].
    • Konstant tæthed f(u)=0.5 over intervallet.
    • Udfaldsrummet begrænset >< normalfordeling.
  • Resultat af eksperimentet for forskellige n: SAS

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

asymptotisk normalfordeling for ols standardfejl
Asymptotisk normalfordeling for OLS: Standardfejl
  • OLS standardfejlen: Asymptotik:
  • Komponenter i formlen:
  • Betyder at går mod nul som 1/n, standardfejlen går mod nul som

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

asymptotisk efficiens af ols estimatoren
Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren
  • Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient.
  • Theorem 5.3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningerne
  • OLS:

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

oversigt over ols estimatorens egenskaber
Oversigt over OLS estimatorens egenskaber

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel

n ste gang
Næste gang
  • Test af flere restriktioner: kap. 4.5
  • Andre test: kap. 5.2
  • Præsentation af estimationsresultater: kap. 4.6

Kvantitative metoder 2: Inferens i den lineære regressionsmodel