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ABACO. ÁBACO. Baseado no Manual para uso do ábaco japonês http://es.geocities.com/abacosoroban.

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Presentation Transcript
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ABACO

ÁBACO

Baseado no Manual para uso do ábaco japonês

http://es.geocities.com/abacosoroban

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Os contadores mecânicos são milenares. Há registros de sua existência muito antes da era cristã. Todavia, pode-se afirmar que os ábacos modernos são aparentados do cálculo com pedras, que por sua vez originaram-se de período remoto, no qual o ser humano "contava sem saber contar" (IFRAH, 1989, p. 31).

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Os ábacos mantém o princípio da idéia de agrupar quantidades em bases pré-combinadas e trocá-las, que é o princípio da contagem valor posicional, tanto da base dez como de quaisquer outras bases.

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"CONTAR SEM SABER CONTAR"

Neste tipo de contagem se faz a chamada contabilidade silenciosa: correspondência um a um dos objetos com quaisquer demarcadores, por exemplo, os dedos das mãos. Isto é o que acontece quando uma criança corresponde uma a uma pessoas com os pratos que lhe foram solicitados para pôr à mesa;

quando corresponde uma a uma tampinhas e garrafas.

Em todas estas situações ela estará fazendo uma contagem elementar denominada também de correspondência termo a termo.

Fazer esta correspondência é importante para o princípio da contagem, mas nem por isto pode ser considerada uma contagem legítima com a necessária abstração.

Isto significa que muito antes da humanidade criar seus inúmeros sistemas de numeração ela contava visualmente.

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Para demarcar quantos guerreiros estavam indo para uma batalha -ou qualquer outro agrupamento que se quisesse contabilizar - um objeto era colocado em determinado lugar, representando cada um dos guerreiros, ou então se adotava uma seqüência. Nossos ancestrais usavam versinhos, músicas, poesias, marcas em madeiras ou no próprio corpo numa seqüência cadenciada, segundo valores de cada cultura, inclusive ligados a ritos religiosos.

Uma dada tribo que utilizasse uma técnica corporal de contagem poderia exigir de uma outra a reparação de perdas de homens em combate, estabelecendo para cada guerreiro tantas pedras preciosas quantas fossem do dedo mindinho da mão direita até o olho do mesmo lado. Imagine que esta contagem tinha uma seqüência que para os indígenas significava "muitas" pedras, sem, no entanto, ser percebida como uma quantidade precisa e como tal compreendida prévia e abstratamente.

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Eles apenas tinham a noção vaga de muito porque em tal seqüência - do mindinho até o olho direito - passava-se por todos os dedos de uma mão, depois o pulso, o cotovelo, o ombro, a orelha e o olho, todos do lado direito. Se uma dívida fosse paga com a contagem até o olho do lado esquerdo, significava que havia sido pago muito mais, no caso, duas vezes mais.

E foi neste momento que, muito embora ainda distante da contagem em sistema de numeração, dentro de uma lógica que permite operacionalizar apenas com símbolos (ou pedras cujo uso é considerado semi-simbólico ), o ser humano passou para a idéia de sucessão ou ordem.

Quando se repete a mesma sucessão ou ordem, pela força da memória e do hábito, tal sucessão torna-se numérica e abstrata.

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Exemplo

Em certas regiões da África Ocidental, até pouco tempo atrás, pastores tinham um costume bastante prático para avaliar seu rebanho. Faziam os animais passarem um a um, em fila:

Após a passagem do primeiro enfiavam uma concha num fio de lã branca, após o segundo uma outra concha, e assim por diante até dez. Nesse momento desmanchava-se o colar e se introduzia uma concha numa lã azul, associada às dezenas, e se recomeçava a enfiar conchas na lã branca até a passagem do vigésimo animal, quando se introduzia uma segunda concha no fio azul. Quando esta tinha, por sua vez, dez conchas, e cem animais haviam sido contados, desfazia-se o colar das dezenas e enfiava-se uma concha numa lã vermelha, reservada desta vez para as centenas. E assim por diante até o término da contagem dos animais.

Para duzentos e cinqüenta e oito animais, por exemplo, haveria oito conchas de lã branca, cinco azuis e duas vermelhas.

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Observe que o ponto crucial com o qual se depararam nossos ancestrais foi como demarcar as pedras, de maneira que se soubesse quando elas assumiam o valor de unidade ou de grupo. Assim foi inventado o princípio da posição ou das ordens das pedras – no ábaco: a cada grupo formado troca-se a pedra de lugar ou posição - por convenção posterior sempre à esquerda, sendo então que cada conta passa a valer mais do que a da ordem imediata da direita, tantas vezes mais quanto é a base escolhida. Portanto, crescendo potencialmente para a esquerda, neste caso, em grupos de dez, ou seja, na base dez.

A base dez foi e permanece sendo a mais comum no curso da história. Todavia, sua adoção não se deve ao fato de ter vantagens práticas ou matemáticas, motivo que reforça a idéia de que foi eleita quase que universalmente pelo simples fato de corresponder ao número de dígitos de nossas mãos

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Os ábacos mais comuns no ocidente foram tábuas ou pranchas parecidas com mesas, com divisões em diversas linhas ou colunas paralelas que separavam as ordens de numeração onde se colocavam pedras ou fichas, valendo uma unidade cada uma, da respectiva ordem. Estas peças eram chamadas de psephoi pelos gregos e calculi pelos romanos. Há registros destas tábuas de contar no século V ou VI antes de Cristo.

Ao que tudo indica, o próximo passo da humanidade em direção às modernas técnicas de cálculo foi a criação das calculadoras de bolso, portanto aparentadas das tábuas de contar. Ábacos de bolso, por assim dizer, são muito similares aos modernos ábacos orientais, muito difundidos até hoje no Japão e na China, e que os japoneses denominam de SOROBAN. Estes “ábacos de bolso” datam do século I, segundo ilustrações encontradas em sarcófagos romanos desta época: consistiam numa pequena placa metálica com ranhuras paralelas nas quais deslizavam botões móveis do mesmo tamanho.

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Houve uma porção de adaptações, sobretudo orientais, a este modelo original..

Há, no entanto, uma reticência na história quando se pensa no porquê dos povos ocidentais da Idade Média - herdeiros diretos da civilização romana -terem preferido as antigas tábuas de cálculo do tipo mesa aos chamados ábacos de bolso, similares aos modernos sorobans. Autores dizem que não há como saber. Ao que tudo indica esta prática desapareceu antes ainda da queda do Império Romano.

Parece que foi exatamente neste ponto que começou a briga histórica entre abacistas e algoristas no mundo Ocidental. As tábuas de contar não eram realmente práticas como os ábacos de bolso e por isso desapareceram mediante a adoção dos cálculos escritos com algarismos que surgiram logo a seguir.

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Como construir um ábaco com materiais alternativos

ÁBACO I

http://mdmat.psico.ufrgs.br/users/vinicius_teixeira/

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Material:

Caixa de sapato

Palitos de churrasco

Pedaço de mangueira

Utilize a mangueira para constuir as peças do seu ábaco, cortando-as em pedaços pequenos de mesmo tamanho.Fixe os palitos de madeira na caixa de sapato,

ou de outro material, de modo que eles fiquem

de pé e possam posteriormente

sustentar os pedaços de mangueira.Feito isso o seu ábaco aberto está pronto.Agora só precisas deixá-lo com um boa aparência da forma que achares conveniente.

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ÁBACO II

Material

Cartolinas coloridas

Chapas de E.V.A.

Cola

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Ábaco III - de caixa de ovos

Material

Caixa de ovos

Grãos de feijão

Tesoura

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Os japoneses costumam nomear as contas da parte superior como “contas do céu” e as da parte inferior como “contas da terra”.

As colunas são lidas normalmente da direita para a esquerda, sendo que a primeira é a coluna das unidades, a segunda a coluna das decimais, a terceira, das centenas, e assim por diante. A máquina estará zerada quando nenhuma conta esteja encostada na divisória entre o céu e a terra (chão).

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Ábaco Virtual
  • http://abacolivre.codigolivre.org.br
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O ábaco padrão pode ser utilizado para realizar contas de adição, subtração, multiplicação, divisão e também pode ser utilizado para extrair raízes quadradas ou cúbicas.

O ábaco típico pode ser construído com diversos materiais e ter tamanhos variados.

Consiste de um bastidor, dividido em duas partes, uma superior e outra inferior, com uma divisória separando-as e de ráios (fios) passando de uma parte para a outra, onde são colocadas as contas.

Atualmente os ábacos japoneses (soroban) têm uma conta na parte superior e quatro na parte inferior.

O ábaco é preparado colocando-o sobre uma superfície plana e deslocando-se todas as contas para a parte inferior ou superior do bastidor

As contas são manipuladas com o indicador ou o polegar.

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Valor das Contas

Cada conta da parte superior tem um valor de 5 e cada conta da parte inferior um valor de uma unidade relativa. As contas são consideradas tendo seu valor quando estão deslocadas em direção à parte do meio, da divisória do bastidor.

Contagem

Após deslocarmos (contagem) de 4 contas do deck inferior (terra), o cinco será representado pelo deslocamento da conta que está na parte superior (céu). Quando naquela carreira (das unidades, das dezenas, das centenas…) estiverem todas as contas deslocadas em direção ao centro, desloca-se uma conta da carreira imediatamente à esquerda.

A coluna mais à direita é a coluna das unidades e normalmente deve ser colocada nas marcas pontuais dos bastidores, pois sendo assim as colunas que ficarem mais à direita serão das casas decimais.

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Técnica de deslocamento das contas

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Escrevendo números

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Coloquemos um número real. Coloquemos o número 21. Convenientemente escolhemos a coluna H como a coluna das unidades.

Assim sendo colocamos o valor 2 na coluna G (movendo 2 contas da terra para a barra divisória) e também uma conta na coluna H.

Aqui temos uma recomendação dos abacistas dizendo que é importante entrarmos os números no bastidor da esquerda para a direita. A justificativa é a de que os números são lidos e falados sempre da esquerda para a direita e assim a eficiência será maior. Deve-se, entretanto prestar bastante atenção a fim de que o número significativo das unidades caia sempre na coluna marcada por um ponto (coluna das unidades)

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Adição simples

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Adição com vai 1

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Lembremos que sempre devemos começar da esquerda para a direita, assim sendo se formos somar 48 + 19, devemos primeiro mover uma conta na coluna das dezenas e em seguida acrescentarmos o 9 na coluna das unidades.

Nosso ábaco já tem 8 contas deslocadas nas unidades e assim sendo não temos 9 contas para trabalharmos. O conceito fundamental do soroban é o de, ao não termos mais contas suficientes para movermos, fazemos sempre e somente contas mentais de complementação com os números 5 e 10 e assim sendo 10-9=1 e retiramos uma conta da coluna das unidades e acrescentamos uma na coluna das dezenas.

Verificando: tínhamos 48 e ao adicionarmos 1 ao 4 ficamos com 5 numa coluna e 8 na outra; agora vamos retirar o 1 resultado da subtração de 10-9, da coluna das unidades e ficaremos com 6 (resultado parcial 57) e agora ao colocarmos 1 na coluna das dezenas ficaremos com 67.

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Exercícios com Adição

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3 + 6; 13 + 2; 6 + 21; 5 + 7; 8 + 11; 9 + 4;

67 + 22; 58 + 33; 75 + 81; 99 + 87; 66 + 49;

289 + 767; 786 + 564; 321 + 896; 456 + 897;

3345 + 6789;

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Subtração Simples

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Na subtração sempre adicione o complemento

Vamos subtrair 11 - 7

Coloque 11 nas colunas C e D -

Subtraia 7

Como na coluna D somente temos o valor 1 vou usar o complemento.

O complemento de 7 com respeito a 10 é o 3

(OBS. Na subtração a ordem das operações é diferente daquela da adição. Fazemos as operações da esquerda para a direita.

Somamos o complemento achado na respectiva coluna e retiramos uma conta da coluna imediatamente contígua da esquerda.

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Exercícios com subtração

7 – 4; 9 – 6; 15 – 13; 15 – 7; 9 – 5; 22 – 9;

68 – 47; 25 – 18; 56 – 47; 72 – 59; 33 – 29; 21 – 18;

123 – 104; 678 – 587; 543 – 456; 909 – 888; 791 – 664

4567 – 2678; 8976 - 6987

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MULTIPLICAÇÃO

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Para que se possa fazer multiplicações é necessário que o usuário conheça até a tabuada do 9.

Por exemplo no problema 6 x 3 = 18

6 é o multiplicando e 3 é o multiplicador e 18 é o produto.

É costume inserir no soroban o multiplicando na sua parte central e o multiplicador à esquerda, deixando duas colunas livres.

Sempre adicione o produto imediatamente à direita do multiplicando

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Exemplo: 34 x 7 = 238

Neste exemplo vamos escolher a coluna H como sendo a coluna das unidades.Como temos um algarismo no multiplicador e dois no multiplicando vamos deslocar três colunas à esquerda, onde colocaremos o multiplicador. Coluna E. Assim fazendo teremos a casa das unidades do produto caindo na coluna H. O numero 34 do multiplicando estará nas colunas E e F e o número 7 de multiplicador na coluna B.

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Multiplique mentalmente 4 x 7 e adicione o produto 28 na colunas GH, imediatamente ao lado direito do multiplicando.

Terminado esse processo limpe o 4 do multiplicando que estava na coluna F. Isto deixa a seguinte figura:

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Multiplique o 3 que está na Coluna E pelo 7 da coluna B e adicione o produto 21 nas colunas FG.

Limpe o 3 da coluna E e o resultado estará nas colunas FGH (238)

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Exemplo com números fracionários: 2,3 x 17 = 39,1

Neste exemplo o multiplicador tem dois números inteiros e o multiplicando tem um, num total de 3 números inteiros. Escolhendo-se a coluna I como unidade contamos 3 colunas à esquerda e colocamos o primeiro número do multiplicando em F.

Multiplique o 3 de G pelo 1 de B e coloque o produto 03 em HI

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Em seguida multiplique o 3 de G pelo 7 de C e adicione o produto 21 em IJ

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Limpe o 3 de G. Isto deixará 2 em F e o resultado parcial de 51 nas colunas IJ

Multiplique o 2 de F pelo 1 de B e adicione o produto 02 em GH

Em seguida multiplique o 2 de F pelo 7 de C e adicione o produto 14 nas colunas HI.

Limpe o 2 de F deixando como resultado 39,1 nas colunas HIJ

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Exercícios de Multiplicação

5 x 7

12 x 38

345 x 81

674 x 69

1,2 x 35

32,7 x 45

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DIVISÃO – noções

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Tomemos como exemplo 6 ÷ 3 = 2

Temos o 6 como dividendo, o 3 como divisor e o 2 como quociente.

Quando colocados no soroban o dividendo é colocado à direita e o divisor à esquerda. Sugere-se deixar 4 colunas entre os dois números, pois aí será colocado o quociente.

O processo da divisão é muito semelhante ao executado com lápis e papel.

Regra I – Quando os dígitos do divisor são menores do que os correspondentes dígitos do dividendo, coloque o quociente duas colunas à esquerda do dividendo. Veja figura onde 4 é menor do que 8 ► 8 ÷ 4

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OBRIGADO PELA PACIÊNCIA EM UMA ESPLANAÇÃO RÁPIDA E COMPLICADA E ESPERO QUE TENHAM GOSTADO DE VER COMO COM INSTRUMENTOS SIMPLES E TODA A CAPACIDADE HUMANA SÃO REALIZADOS MILAGRES.

Profa Aldete

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