第三章金属塑性变形的力学基础

第三章金属塑性变形的力学基础 3.1 应力分析 3.2 应变分析 3.3 屈服准则 3.4 应力应变关系（本构关系，物理方程）

3.1 应力分析 3.1.1 应力张量 3.1.2 直角坐标系中一点的应力状态 3.1.3 应力平衡微分方程 3.1.4 平面应力状态和轴对称应力状态

3.1.1 应力张量 物体所承受的外力可以分成两类：一类是作用在物体表面上的力，叫做面力或接触力，它可以是集中力，但更一般的是分布力；二类是作用在物体每个质点上的力，叫做体力。内力：在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作用的力。应力：单位面积上的内力。现以单向均匀拉伸为例（如图4-1）进行分析。

3.1.1 应力张量——单向拉伸

3.1.1 应力张量

3.1.1 应力张量 应力正负判断标准：正平面，正方向；应力为正；正平面，负方向；应力为负；负平面，正方向；应力为负；负平面，负方向；应力为正；

应力张量、应力偏张量、应力球张量： 应力张量=应力偏张量+应力球张量。应力偏张量：只能使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。应力球张量：不能使物体产生形状变化和塑性变形，而只能产生体积变化。

预备知识: 二维坐标系推广到三维坐标系

质点在任意切面上的应力。取质点Q（单元体）如图（图4-3），则该微分面上的应力就是质点在任意切面上的应力，它可通过四面体QABC的静力平衡求得。质点在任意切面上的应力。取质点Q（单元体）如图（图4-3），则该微分面上的应力就是质点在任意切面上的应力，它可通过四面体QABC的静力平衡求得。 3.1.2 直角坐标系中一点的应力状态

质点在任意切面上的应力 3.1.2 直角坐标系中一点的应力状态静力平衡：同理：

3.1.2 直角坐标系中一点的应力状态 质点在任意切面上的应力

质点在任意切面上的应力 如果S为主应力：代入下式，得：

质点在任意切面上的应力 主方向l,m,n应满足方程组：对于线性齐次方程组，非零解条件：：

展开行列式得到应力状态特征方程，J1,J2,J3为应力张量不变量：展开行列式得到应力状态特征方程，J1,J2,J3为应力张量不变量：主应力求解解方程即得三个根，即为主应力及主方向：解方程组即得主方向l,m,n：

3.1.3 主平面、主应力、主方向 主应力求解三、主平面、主应力主方向如果点应力状态的应力分量已确定，那么微分面ABC上的正应力σ及剪应力τ都将随法线N的方向，也即随l、m、n的数值而变。主平面：τ =0的微分面叫做主平面，假如N在某一方向时，微分面上的τ =0，这样的特殊微分面就叫做主平面；主应力：，主平面面上作用的正应力即为主应力（其数值有时可能为0）。应力主方向：主平面上的法线方向则称为应力主方向或应力主轴。对于任意一点的应力状态，一定存在相互垂直的三个主方向、三个主平面和三个主应力。这是应力张量的一个重要特征。

3.1.3 主平面、主应力、主方向 主平面：τ =0的微分面叫做主平面主应力：主平面面上作用的正应力即为主应力主方向：主平面上的法线方向则称为应力主方向或应力主轴应力主轴：主平面上的法线方向主剪平面：剪应力τ达到极值的微分面叫做主剪平面主剪应力：主剪平面上作用的剪应力即为主剪应力最大剪应力：三个主剪应力最大的叫做最大主剪应力

3.1.3 主平面、主应力、主方向 在主应力空间里，主应力的轨迹是椭球面：

3.1.3 主平面、主应力、主方向 对于一点的应力状态，主应力σ1、σ2、σ3是确定的，因此上式表示一个椭球面，叫做应力椭球面。它就是点应力状态任意斜切面全应力矢量S端点的轨迹，(图1-4)，其主半轴的长度分别等于σ1、σ2、σ3。还可以看到，三个主应力中的最大者和最小者也就是一点所有方向的应力中的最大者和最小者。

3.1.3 主平面、主应力、主方向 在主应力空间里：

3.1.3 主平面、主应力、主方向 例题设某点应力状态如图1-5所示，试求其主应力及主方向。（应力单位：10N/mm）。

例题：应力张量为： 主应力：

主应力的方向余弦的联解方程组，得到三个主方向的方向余弦为：主应力的方向余弦的联解方程组，得到三个主方向的方向余弦为：

应力张量：

3.1.3 主平面、主应力、主方向 主剪应力和最大剪应力剪应力有极值的切面叫做主剪应力平面，面上作用的剪应力叫做主剪应力。取应力主轴为坐标轴，则任意斜切面上的剪应力可求得：

3.1.3 主平面、主应力、主方向 使剪应力取极值时的l,m,n值如下：

上列的三组解各表示一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别与一个主平面垂直并与另两个主平面成45º角，如图1-6所示。每对主剪应力平面上的主剪应力都相等。将上列三组方向余弦代入（a），即可求得三个主剪应力以及将三组方向余弦值代入即可求得主剪应力平面上的正应力：上列的三组解各表示一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别与一个主平面垂直并与另两个主平面成45º角，如图1-6所示。每对主剪应力平面上的主剪应力都相等。将上列三组方向余弦代入（a），即可求得三个主剪应力以及将三组方向余弦值代入即可求得主剪应力平面上的正应力：

主剪应力中绝对值最大的一个，也就是一点所有方向切主剪应力中绝对值最大的一个，也就是一点所有方向切面上剪应力的最大值，叫做最大剪应力,以 τ max 表示。如设 σ 1>σ 2>σ 3，则 τ max=± (σ 1-σ 3)/2 应注意到，每对主剪应力平面上的正应力都是相等的，图1-7为σ1σ2坐标平面上的例子。

八面体如图1-8

八面体应力 八面体：八面体正应力:

八面体应力 八面体剪应力为：

八面体应力和等效应力 将八面体剪应力取绝对值，并乘以系数，叫做“等效应力”，也称广义应力或应力强度。如果：

应力莫尔圆 应力莫尔圆是点应力状态的几何表示法，若已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力莫尔圆通过图解法来确定该点任意方位平面桑的正应力和切应力。这三个圆叫做应力莫尔圆。

应力莫尔圆如图（1-9）

3.1.4 应力平衡微分方程

3.1.4 应力平衡微分方程 设物体（连续体）内有一点Q，其坐标为x、y、z。以Q点为顶点切取一个边长为dx、dy、dz的平行六面体。六面体另一顶点Q’的坐标即为x+dx、y+dy、z+dz。由于坐标的微量变化，各个应力分量也见产生微量的变化（如图10）。

设物体（连续体）内有一点Q，其坐标为x、y、z。以Q点设物体（连续体）内有一点Q，其坐标为x、y、z。以Q点为顶点切取一个边长为dx、dy、dz的平行六面体。六面体另一顶点Q’的坐标即为x+dx、y+dy、z+dz。由于坐标的微量变化，各个应力分量也见产生微量的变化（如图10）。 3.1.4 应力平衡微分方程

3.1.4 应力平衡微分方程 同理

3.1.5 平面应力状态和轴对称应力状态 一、平面应力状态应力分量与某一坐标无关。

平面应力状态应力摩尔圆如图（1-11）。

纯剪应力状态应力摩尔圆 在两相应力状态中有一种“纯剪”状态，它的特点是在主剪平面上的正应力为零，（如图1-12a)所示。按上述方法作出纯剪状态的应力莫尔圆（如图1-12b)所示。由图可以看出，纯剪应力τ就是最大剪应力，主轴与坐标轴成45°角，主应力的特点是σ1=σ2。

平面应力状态力平衡微分方程 平面应力状态的力平衡微分方程：

轴对称应力状态 在塑性成形中经常遇到旋转体。当旋转体承受的外力为对称于旋转轴的分布力而且没有周向力时，则物体内的质点就处于轴对称应力状态。一般采用圆柱坐标或球坐标。（如图1-13）

用圆柱坐标时的应力张量为： 用圆柱坐标时的平衡微分方程为：

3.2 应变分析 3.2.1 有关变形的一些概念 3.2.2 小变形分析 3.2.3 应变增量和应变速率增量 3.2.4 平面变形问题和轴对称问题

3.2.1 有关变形的一些概念 1）单元体的变形可分为两种形式，一种是线尺寸的伸长缩短，叫做正变形或线变形；一种是单元体发生偏斜，叫做剪变形或角变形。正变形和剪变形也可统称“纯变形”。 2）对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向不同，则单元体表现出来的变形数值也是不同的，所以同样需要引入 “点应力状态”的概念。 3）变形的大小可用应变来表示，小变形时的应变就是小应变。物体变形时，体内所有的点都产生了位移。单元体取得极小时，可认为他的变形是均匀变形。 4）物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变形。平移和转动本身并不代表变形，只表示刚体位移。所以，只有从单元体位置、形状和尺寸变化中除去刚体位移，才能得到纯变形。

3.2.2 小变形分析 应变可分为正应变和剪应变。现设一单元体PABC仅仅在xy 坐标平面内发生了很小的正变形（图2-1），变成了PA1B1C1 。单元体内的各线元的长度都发生了变化。例如其中线元PB由原长r变成了r1= r +δr，于是我们把单位长度的变化叫做线元PB的正应变。线元伸长时ε为正，缩短时ε为负。又设该单元体在xy平面内发生了剪变形，线元PC和PA所夹的直角∠CPA缩小了φ角，变成了∠C1PA，相当于C点在垂直于PC的方向偏移了δrτ，一般把下式叫做剪应变。

小变形分析

在实际变形时，线元PA及PC的偏转角度不一定相同。现设它们的实际偏转角分别为αxy及αyx (图2-2)，偏转的结果仍使∠CPA缩小了Φxy角，于是: 在αxy及αyx中已包含了刚体转动。可以设想单元体的线元PA、PC先同时偏转γxy及γyx，然后整个单元体绕z轴转动了一个角度ωz。由几何关系有

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