Merenje ugla, Trigonometrijska kružnica

1. Merenje ugla, Trigonometrijska kružnica

2. Meni • Lekcija • Istorija Trigonometrije • Slike • Kviz • Zadaci za samostalan rad • Linkovi Zdravo ja sam virtuelni profesor. Pomoći ću vam da Savladate gradivo iz trigonometrije. Paratite moja uputstva.

3. Lekcija • 3.1 Ugao • 3.2 Trigonometrijske funkcije proizvoljnog ugla • Trigonometrijski indetiteti

4. 3.1.1.Merenje ugla, radijan • Do sada smo kao mernu jedinicu za merenje ugla koristili isključivo stepen(1° = 1/360 pun ugao). Stepenom se mogu meriti ne samo uglovi, veći kružni lukovi. Uoči se centralni ugao koji odgovaradatom kružnom luku i njegova mera izržena u stepenima proistovećuje se s merom kružnog luka, susrećemo se sa teškoćama. Jednom istom centralnom uglu odgovara neograničeno mnogo kružnih lukova koji su različite dužine, a svi imaju istu meru u stepenima(slika 1). Tada smo u dilemi dućinu kojeg kružnog luka da uzmemo za meru zajednićkog centralnog ugla α. Zbog toga se opreeljujemo za luk A0 B0 čiji je poluprečnik jednak 1.

5. Jedinica mere u ovom slučaju je luk čija je dužina jednaka 1, tj.jednakapoluprečniku.Taj kružni luk zove se radijan • Ugao koji odgovara luku od jednog radijana ima isti naziv – radijan. Radijan koristimo i kao jedinicu za merenje uglova. Ugao ima onoliko radijana koliko ih ima odgovarajući kružni luk poluprečnika 1 radijana. • Utvrdimo sada vezu između jedinica za merenje uglova, stepena i radijana. Luk polurečnika 1 koji odgovara ravnom uglu (uglu od 180°) ima dužinu π·1=π. Prema tome njegova radijanska era je π. Znači, 180°=π radijana, odakle sledi • 1 radijan = 180°/ π ≈ 57.29578° ≈ 57° 17´ 44.8˝ • 1° = π/180 radijana ≈ 0.01745 radijana. • Na slici 2 je predstavljen ugao od 57°, tj. približno 1 radijan.

6. Ukoliko je mera ugla data u radijanima, uobičajno je da se pored mernog broja ne stavlja nikakva oznaka za jedinicu, na primer : 180° = π, 90° = π/2 itd. • 30° ; b) 50° ; c) 72° 35´ ; d) 100° 11´ 15˝ • Rešenja • 30° = 30 · π/180 = π/6 ≈0.52 • b)50° = 50 · π/180 = 5π/18 ≈ 0.9 • v) Uzimajući u obzir da je 1´ = 1/60 · 1°, dobijamo • 72° 35´ = 72 · π/180 + 35 · 1/60 · π/180 ≈ 1.2 • d) Kako je 1˝ = 1/3600 · 1°,to je • 100° 11´ 15˝ = 100 · π/180 + 11· 1/60 · π /180 + 15 · 1/3600 · π/180 ≈ 1.7

7. Istorija Trigonometrije • Trigonometrija • Iz Vikipedije, slobodna enciklopedije • Trigonometrija(лат. trigonon - троугао, metron - мера) je deo matematike • Koji izučava zavisnost između strana i uglova trougla (trigonometrija u užem smislu), • A takođe i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu među njima ( goniometrija ). • Podela : • -Ravinska trigonometrija, trigonometrija u užem smislu; proučava • -Trigonometrijske funkcije posebno : sinus, kosinus, tangens, kotanges, sakens i kosekans; • -Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. Ciklometrijske, ili arkus-funkcije: • -Sferna trigonometrija, na površini sfere; • -Hiperbolična trigonometrija, trigonometrija Lobačevskog; • -Hiperbolične funkcije : sinus hiperbolički, kosinus hiperbolički, tangens hiperbolički, kotanges hiperbolički, sekans hiperbolički i kosakens hiperbolički. • -Inverzne hiperboličke funkcije, tzv. area-funkcije.

8. Poreklo • Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije. • Tamo je nađena vavilonska kamena ploča ( oko 1900-1600. p.n.e.) koja sadrži • Problema se relacijam koje odgovaraju savremenim. Egipatski papirus Rind • (oko 1650. p.n.e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla primenjenim na Piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali naše shvatanje mere ugla, a relacijatog tipa su imali osobinama trouglova, pre nego samih uglova. • Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme Hipokrata iz Knososa (Elementi, oko430. p.n.e.), koji je proučavao odnose između centralnih uglova kružnice i tetiva. Hiparhje 140. p.n.e. napravio tablicu tetiva (prvu preteču savremenih sinusnih tablica). • Manelaj iz Aleksaendrij (Sferna geometrija. 100 nove ere)je prvi koristio sferne trouglove i sfernu Trigonometriju. Ptolemej (Almagest, oko 100. n.e.) je napravio tablicu tetiva uglova između 0.5° i 180° sa intervalom od pola stepena. On je takođe istraživao trigonometrijske indetitete.

9. Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su • Ostvarili napredak razmeštanjem tetiva pruzetih od Grka na polu • teive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentnom našoj sinusnoj • funkciji. Prvie takve tablice bile su Sidhantacu (sistem za astronomiju) u IV i V • veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematičarapreko Araskih matematičara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uvel su trigonometriju u Evropi, Osoba odgovrna za „modernu“ trigonometrijubio jerenesansni matematičar Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bilajednostavno alat za astronomska izračunavanja. Regionontanus (De triangulis omni modis, 1464; publikovano 1533.)bio je prvi koji trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi.Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium (1543.)I njegov učenik Retikus. U Opus palatinum de trianulis (комплетирао његов ученик 1596.), Retikus je ustanovio upotrbu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija, • Praveći tablice njihovih vrednosti i dežeći se idejeda te funkcije predstavljaju • Odnose stranica u pravouglom trouglu (rađe nego tradicionalne polutetive krugova).

10. Slike

15. Kviz • 1)Koliko iznosi ugao od 1 radijana? • a) 54° 35´ • b) 57° 17´ 44.8˝ • c) 60° 28´ 36.8˝ Odgovor na ovo pitanje se nalazi u delu prezentacijei ” Merenje ugla, radijan”

16. Odgovor je netačan ! Nažalost odgovor je netačan. Idi nazad.

17. Odgovor je tačan ! Odgovor je TAČAN ! Svaka čast, savladali ste lekciju “Merenje ugla, radijan” Nastavi dalje.

18. 2)Koje dve antičke civilizacije su prve koristile trigonometriju? • a)Egipat i Mesopotamci • b)Kinezi i Indijci • c)Rimljani i Gali Odgovor na ovo pitanje se nalazi u delu prezentacije ”Istorija trigonometrije”

19. Odgovor je tačan ! odgovor je TAČAN ! Svaka čast savladali ste lekciju “Istorija trigonometrije” Nastavi dalje.

20. Odgovor je netačan ! Nažalost odgovor je netačan. Idi nazad.

21. Zadaci za samostalan rad • Zadaci • 1.Izrazi u radijanima uglove : • 15° ; b) 45° ; c) 60° ; d) 90° ; e)120° ; f) 135° , g) 150° ; h) 20° 25´ : i) 52°13´27˝ • 2. Izrazi u stepenima uglove : • π/18 ; b) π/12 ; c) π/4 ; d) 7π/12 ; e)3 ; f) 2.31 • 3.Izrazi u stepenima ugao koji je naporedan uglu α ako je : • a)α = 5π/6 ; b) α = 11 π/12 ; c) 5 π/18 ; d) 0.3 π • 4.Izrazi u radijanima : • a)uglovi jednakokrako-pravouglog trougla ; • b)ugao pravilnog prtougla ; • c)ugao pravilnog destougla. Da biste bolje naučili trigonometriju, uradite ove zadatke za samostalan rad.

22. Trigonometrijski forum • Marko Savić • Mnogo mi se dopao vasa prezentacija o trigonometriji, uz ove zanimljive informacije i lepo objašnjene lekcije, savladao sam trigonometriju.

23. Prezentaciju radio: • -Miladinović Nikola • Profesor matematike : Spasojević Nela

24. Čestitamo • Savladali ste oblast “Merenje ugla, Trigonometrijska kružnica” Čestitam !

25. sin²α+cos²α=1 tg α = sinα /cosα ctg α= cosα/ sinα tgα · ctgα =1 Sinα sinα = 3/5 sin²α+cos²α=1 (3/5)²+ cos²α=1 9/25+ cos²α=1 cosα = ±√9/25 cosα = -4/5 Trigonometrijski identiteti

28. Linkovi • http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%A2%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0 • http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%98%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B5