קבלת החלטות

1. קבלת החלטות שיעור 2#

2. כימות אי הודאות • הסתברות ככלי לביטוי אי הודאות בבעית ההחלטה: • חוזק האמונה ב"אמיתות"השונות • ערך בין 0 ל- 1 שמבטא את האמונה שלנו בסיכוי ל"אירוע"מסויים • הסתברות 1 = ודאות מוחלטת שהאירוע יקרה • הסתברות 0 = ודאות מוחלטת שהאירוע לא יקרה • משפט בייס ככלי לעדכון הסתברות

3. הגדרות נוספות • Prior probability – ההסתברות של מאורע לפני קבלת מידע חדש (ממצא) בנוגע אליו • Posterior probability – ההסתברות של מאורע לאחר קבלת מידע חדש (ממצא) בנוגע אליו <שימוש בנוסחת בייס> • Probability revision – התחשבות במידע חדש לצורך המרת ה- Prior probability ל- posterior probability

4. תפקיד הטכניקות ל- Probability revision Prior Probability Posterior Probability לפני קבלת הממצא לאחר קבלת הממצא ממצא חריג ציר הזמן אבחנה אבחנה

5. מצבי הטבע מתבררים לאורך לתהליך קבלת ההחלטות שתי תבניות מרכזיות לקבלת החלטות • כל ההחלטות מתקבלות מראש, ואז מתבררים מצבי הטבע (והתמורות)

6. ניתוח באמצעות עץ החלטה - שלבים • בניית עץ החלטה: • זיהוי ותיחום הבעיה (מהי בעיית ההחלטה בתוך הסיפור?) • הבניית הבעיה (structuring) • אפיון האינפורמציה הדרושה • חישוב ה- Expected Value של כל אלטרנטיבה • בחירת האלטרנטיבה עם ה- expected value הגבוה ביותר • שימוש בניתוח רגישות (sensitivity analysis) על-מנת לבחון את מסקנות הניתוח

7. מיקסום ה- Expected Value של מי?

8. מיקסום ה- Expected Value של מי? (2) • ברפואה: • של החולה • של הרופא • של החברה • של הממשלה • של הביטוח הרפואי • במסחר: • של הקונה • של המוכר (בעל החנות, המוכר בחנות) • של המתווך (סוכן נסיעות, מנוע השוואת מחירים, מתווך דירות) • של הממשלה (מס על רכב "ירוק")

9. בניית עץ ההחלטה • הגדרת בעיית ההחלטה • זיהוי אלטרנטיבות ההחלטה • זיהוי התוצאות (outcomes) האפשריות של כל אלטרנטיבה • ייצוג רצף האירועים שמובילים לכל תוצאה אפשרית כסדרה של צמתי chance(chance nodes) וצמתי החלטה (decision nodes) • קביעת ההסתברות של כל chance outcome(סכום ההסתברויות היוצאות מ- chance node תמיד 1) • קביעת ערך (העדפה/תועלת/תשלום) לכל תוצאה אפשרית (מונחי תוחלת חיים, כסף, עלות, איכות חיים, תועלת וכו')

10. למה עצי החלטה? • מאפשרים הצגה ויזואלית של הבעיה ומייצגים את אלמנטי המפתח במודל • הפרדה בין החלטות ואירועים שאין לנו שליטה עליהם • החלטות – מיוצגות באמצעות ריבועים, מהם יוצאות האלטרנטיבות האפשריות • אירועי אי-ודאות מיוצגים באמצעות עיגולים, מהם יוצאים מצבי הטבע האפשריים • תמורות = העלים הסופיים בעץ

11. תמורות (payoffs) צומת החלטה (decision node) צומת מצב טבע (A state of nature) שוק חזק (0.5) $200M שוק חלש (0.5) בניית מפעל גדול $-180M שוק חזק (0.5) בניית מפעל קטן $100M שוק חלש (0.5) $-20M Do nothing 0 דוגמא

12. Expected Monetary Value

13. דוגמה EMV(A1) = (.5)($200,000) + (.5)(-$180,000) = $10,000 EMV(A2) = (.5)($100,000) + (.5)(-$20,000) = $40,000 EMV(A3) = (.5)($0) + (.5)($0) = $0

14. "קיפול העץ" • הכפלת ההסתברויות ברווח בכל chance node על-מנת למצוא את תוחלת הרווח • בחירת האלטרנטיבה בעלת תוחלת הרווח הגבוהה ביותר בכל decision node

15. דוגמה – טיפול בחולה No cure U=.2 Disease present p=.90 No cure U=.2 Do not operate p=.10 Survive p=.10 p=.10 p=.90 U=1 Cure p=.90 p=.10 p=.90 Try for the cure U=1 U=1 Cure Disease absent Disease present Operative death U=0 Operative death U=0 p=.10 p=.02 p=.98 Cure U=1 Palliate p=.10 p=.90 Operative death Operate U=0 Survive p=.01 p=.99 U=.2 p=.90 No Cure Disease absent U=1 Survive

16. קיפול העץ No cure U=.2 Disease present p=.90 No cure U=.2 Do not operate p=.10 Survive p=.10 p=.10 p=.90 U=1 Cure Try for the cure p=.90 p=.10 p=.90 U=1 U=1 Cure Disease absent Disease present Operative death U=0 Operative death U=0 p=.10 p=.02 p=.98 Palliate .1 X 1 + .90 X .2 = .28 Operative death Operate U=0 Survive p=.01 p=.99 p=.90 Disease absent U=1 Survive

17. Fold It Again No cure U=.2 Disease present p=.90 No cure U=.2 Do not operate p=.10 Survive p=.10 p=.10 p=.90 U=1 Cure Try for the cure p=.90 p=.10 p=.90 U=1 U=1 Cure Disease absent Disease present Operative death U=0 p=.10 U = .98 X .28 + .02 X 0 = .27 Palliate Operative death Operate U=0 p=.01 p=.99 p=.90 Disease absent U=1 Survive

18. Try for Cure Vs. Palliative No cure U=.2 Disease present p=.90 Do not operate p=.10 p=.10 U=1 Cure Try for the cure p=.90 U = .90 X .92 + .10 X 0 = .83 U=1 Disease absent Disease present p=.10 U = .98 X .28 + .02 X 0 = .27 Palliate Operative death Operate U=0 p=.01 p=.99 p=.90 Disease absent U=1 Survive

19. Final Fold - Operate Vs. Do Not Operate Do not operate U= .928 U= .974 Operate

20. מה היה יכול לגרום לשינוי ההחלטה? • שינוי בתמורות (למשל הערך של “no cure” היה עולה) • שינוי בהסתברויות (למשל ההסתברות למוות במהלך הניתוח היתה גדלה)

21. דוגמא • מחלקת מו"פ קיבלה משימה למצוא דרך זולה יותר לייצר את מוצר הדגל של החברה • שתי טכנולוגיות אפשריות נבחנו (ω ו- α) – אי-ודאות בנוגע לתועלת הצפויה מכל טכנולוגיה • ניתן להסיר את אי-הודאות באמצעות R&D • ריבית לתקופה – 10%

22. האם כדאי להשקיע באחת מהטכנולוגיות? • השקעה בטכנולוגיה α: • השקעה בטכנולוגיה ω : האם ניתן לשפר עוד יותר את הרווח הצפוי?

23. בעיית המו"פ כעץ החלטה • איזו טכנולוגיה לפתח ראשונה? מתי כדאי לפתח גם את השניה? • ע"פ כל קריטריון כלכלי, חלופה α(dominates) שולטת על ω (עלות פיתוח נמוכה יותר, פחות תקופות, תוחלת פרס גבוה יותר, מינימום פרס גבוה יותר, פחות שונות בפרסים...)

24. Example α ω 0.8, 0 0.5 , 55 0.2, 240 0.5, 100 56 100 240 55.5 ω ω α α stop stop stop stop 55.5 55 100 240 0 0.8, 0 0.2, 240 0.8, 0 0.5, 55 0.5, 100 0.5, 55 0.5, 100 0.2, 240 240 100 240 240 55 100 240 55

25. ניתוח רגישות • 3 אלטרנטיבות לבניית קומפלקס דיור ושני מצבי טבע • ידוע שההסתברות ל-high היא 0.65 ול- low 0.35: Expected Monetary Value (EMV) 8(0.35) + 8(0.65) = 8 5(0.35) + 15(0.65) = 11.5 -11(0.35) + 22(0.65) = 10.45

26. ניתוח רגישות • ניתוח רגישות ביחס לרמת דיוק ההערכה של הסתברות מצבי הטבע (האם ההחלטה שבחרנו היתה משתנה אילו הסתברות מצבי הטבע שונה) • כאשר יש רק שני מצבים אפשריים ניתן לייצג באמצעות גרף: EMV( small) = 8*p + 8*(1-p)= 8 EMV( medium) = 5*p + 15*(1-p) = 15 – 10p EMV( large) = -11*p + 22*(1-p) = 22 – 33p Dr. C. Lightner Fayetteville State University

27. CAL Condos: Sensitivity Analysis EMV( large) EMV( medium) EMV( small) 0.3403 0.7 Dr. C. Lightner Fayetteville State University

28. סימולציה • יכולה לשמש ככלי אלטרנטיבי לקיפול העץ • בכל chance node יש לבצע הגרלה • לכל רצף אפשרי של החלטות יש לבצע סימולציה נפרדת (לדוגמה, בדוגמת הטיפול בחולה יש 3 רצפים אפשריים) • מחייב הרצות רבות (במיוחד כאשר יש מצבי טבע שההסתברות לקבלתם נמוכה/נדירה)

29. ערך מידע חדש • על-מנת לבחון האופציה למידע חדש, עלינו לדעת: • עד כמה אמין המידע הנוסף? • מידע מושלם (perfect information), מידע לא מושלם (imperfect information) • כמה כדאי לשלם עבור המידע? • במונחי כסף, במונחי זמן

30. Expected value under certainty Maximum EMV EVPI = – ערך מידע מושלם ערך מידע מושלם הוא ההפרש שבין הרווח בודאות מוחלטת לבין הרווח במצב של אי-ודאות

31. Expected value under certainty = ($200,000)(.50) + ($0)(.50) = $100,000 דוגמה התוצאה הטובה ביותר אם ידוע לנו שיהיה שוק חזק היא 200,000 (בניית מפעל גדול) ואם ידוע לנו שיהיה שוק חלש אז נוכל להשיג 0 (לא לבנות).

32. Expected value under certainty Maximum EMV EVPI = – דוגמה (המשך) ה- EMV שחושב ללא מידע מושלם הוא 40,000$, ולכן: = $100,000 – $40,000 = $60,000 וזהו התשלום המקסימלי תמורת המידע שצריכה החברה להסכים לו

33. ערך של אינפורמציה – עקרונות כלליים • על-מנת שלמידע הנוסף יהיה ערך, חייבת להיות החלטה שתשתנה כתוצאה מקבלתו. • להגברת הביטחון שלנו במצב זה או אחר אין ערך. הערך מושג רק על-ידי שיפור ה- EMV. • מצב העולם לא יכול להשתנות כתוצאה מקבלת או אי-קבלת האינפורמציה

34. הסתברות ומידע מושלם • מידע נחשב "מושלם" (perfect) אם הוא תמיד נכון אתה שוקל להשקיע בחברה. עם זאת, לפני ההשקעה היית מעוניין לדעת האם מדד תל-אביב 25 יעלה, דבר אשר צפוי להשפיע על התמורה מהשקעתך, ולכן אתה מחליט להתייעץ עם מגלה עתידות. נסמן A="מדד 25 יעלה" ו- A’="מגיד העתידות מנבא שמדד 25 יעלה". אם מגיד העתידות תמיד חוזה נכונה את מצב המדד, הרי: מה לגבי: Pr(A | A’)? כלומר, ההסתברות Pr (A | A’) היא 1 ללא קשר להסתברות Pr(A)

35. Probability and Perfect Information מה לגבי: ? כלומר, ההסתברות היא 1 ללא קשר להסתברות על-פי ההסתברויות לעיל, לאחר שתיוועץ במגיד העתידות בעל המידע המושלם, לא תיוותר אי-ודאות כלשהו בנוגע למאורע

36. תוחלת ערך מידע מושלם (EVPI) דוגמת שוק ההשקעות למשקיע קיימים כספים זמינים להשקעה באחת מ- 3 אלטרנטיבות:מניה בסיכון גבוה, מניה בסיכון נמוך או חשבון חיסכון שמשלם ריבית של 500 דולר. אם ישקיע במניות, עליו לשלם עמלת ברוקר של 200 דולר. אם השוק יעלה, ירויח 1700 דולר מהשקעה במניה בסיכון גבוה, ו- 1200 דולר ממניה בסיכון נמוך. אם השוק נשאר באותה רמה, הרווח מהשקעת הסיכון גבוה יהיה 300 דולר ומהשקעת הסיכון נמוך 400 דולר. אם השוק ירד, יפסיד 800$ מהשקעת הסיכון הגבוה אולם עדיין ירויח 100 דולר בהשקעת הסיכון הנמוך. ההסתברות שהשוק יעלה היא 0.5, ההסתברות שישאר יציב היא 0.3 וההסתברות שירד – 0.2.

37. Payoff עולה(0.5) $1,500 יציב(0.3) $100 מניית סיכון גבוה יורד(0.2) החלטת השקעה -$1,000 שוק עולה(0.5) $1,000 מצבהשוק רווח יציב(0.3) $200 מניית סיכון נמוך יורד(0.2) -$100 חשבון חיסכון שוק $500 EMV=$580 EMV=$540 Influence Diagram Decision Tree

38. Payoff מניית סיכון גבוה $1,500 יעלה (0.5) מניית סיכון נמוך $1,000 החלטת השקעה חשבון חיסכון רווח $500 מצב השוק מניית סיכון גבוה $100 יציב(0.3) מניית סיכון נמוך $200 חשבון חיסכון $500 מצב השוק מניית סיכון גבוה -$1,000 יירד(0.2) מניית סיכון נמוך -$100 חשבון חיסכון $500 כעת נניח שהמשקיע יכול להיוועץ במגיד העתידות אשר יספק מידע מושלם לגבי ביצועי השוק, בטרם קבלת ההחלטה בנוגע להשקעה EMV=$1,000 EVPI = EMV(עם מידע מושלם) – EMV (ללא מידע מושלם)=1000-580=$420 ולכן על המשקיע להגביל את התשלום למגיד העתידות עד ל- 420 דולר

39. לרוב המידע שאנו מקבלים אינו מושלם • מקורות למידע לא מושלם: • ניתוחי וסקרי שוק • ניתוח נתוני עבר וזיהוי מגמות • בחינה מקדימה / פיילוט • מדידות לא ישירות • הערכות מומחים • תחושות בטן

40. תחזית הכלכלן מצב שוק החלטת השקעה רווח ערך של מידע לא מושלם (EVII) • מידע לא מושלם: דוגמת שוק ההשקעות (המשך) במקום להתייעץ עם מגיד העתידות החלטת לשכור כלכלן המתמחה בחיזוי מגמות שוק ההון. על-אף יכולותיו הגבוהות הכלכלן לעיתים טועה ותשובותיו בהינתן מצב השוק האמיתי הן כדלהלן:

41. רווח עולה(?) $1,500 מניה בסיכון גבוה יציב(?) $100 יורד(?) -$,1000 עולה(?) $1,000 מניה בסיכון נמוך “יעלה”(?) יציב(?) $200 יורד(?) תחזית הכלכלן -$100 חשבון חיסכון $500 אם הכלכלן חוזה "יעלה": Pr(E=“Up”) =? Pr(M=Up|E=“Up”) =? Pr(M=Flat|E=“Up”) =? Pr(M=Down|E=“Up”) =?

42. Payoff Up (0.825) EMV= $1,164 $1,500 Flat (0.093) $100 Down (0.082) -$,1000 Up (0.825) EMV= $835 $1,000 “יעלה”(0.485) Flat (0.093) $200 Down (0.082) -$100 $500 מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך תחזית הכלכלן חשבון חיסכון

43. אם הכלכלן חוזה "יציב": מניה בסיכון גבוה Pr(E=“Flat”) =? Pr(M=Up|E=“Flat”) =? Pr(M=Flat|E=“Flat”) =? Pr(M=Down|E=“Flat”) =? Payoff Up (?) מניה בסיכון נמוך $1,500 Flat (?) תחזית הכלכלן $100 Down (?) -$,1000 חשבון חיסכון Up (?) “יציב”(?) $1,000 Flat (?) $200 Down (?) -$100 $500

44. Payoff Up (0.167) EMV= $187 $1,500 Flat (0.7) $100 Down (0.133) -$,1000 Up (0.167) EMV= $293 $1,000 “יציב”(0.3) Flat (0.7) $200 Down (0.133) -$100 $500 מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך תחזית הכלכלן חשבון חיסכון

45. Payoff Payoff Up (?) Up (?) Economist’s Forecast $1,500 $1,500 High-Risk Stock Flat (?) Flat (?) $100 $100 Down (?) Down (?) -$,1000 -$,1000 Up (?) Up (?) $1,000 $1,000 “יירד”(?) Down(?) Low-Risk Stock Flat (?) Flat (?) $200 $200 Down (?) Down (?) -$100 -$100 Savings Account $500 $500 אם הכלכלן חוזה "יירד": מניה בסיכון גבוה Pr(E=“Down”) =? Pr(M=Up|E=“Down”) =? Pr(M=Flat|E=“Down”) =? Pr(M=Down|E=“Down”) =? מניה בסיכון נמוך תחזית הכלכלן חשבון חיסכון

46. Payoff Up (0.233) EMV= -$188 $1,500 Flat (0.209) $100 Down (0.558) -$,1000 Up (0.233) EMV= $219 $1,000 “Down”(0.215) Flat (0.209) $200 Down (0.558) -$100 $500 תחזית הכלכלן מניה בסיכון גבוה מניה בסיכון נמוך חשבון חיסכון

47. “יעלה” (0.485) EMV= $1,164 EMV= $822 תחזית הכלכלן “יציב” (0.3) EMV= $500 “יירד” (0.215) EMV= $500 EVII = EMV(עם מידע לא מושלם) – EMV (ללא מידע כלל)=822-580=$242 כלומר כדאי למשקיע לשלם לכלכלן עד 242 דולר

48. סיכום תוצאה בפועל החלטה ללא ניסיון להקטין את אי הודאות בטרם ההחלטה שאלת הבסיס:מהו הערך ללא אינפורמציה ערכים אמיתיים נגלים בחירת חלופה אי הודאות החלטה החלטה • אינפורמציה מושלמת • אינפורמציה לא מושלמת ערכים אמיתיים נגלים אי הודאות נעלמת לפני קבלת ההחלטה רכישת אינפורמציה בחירת החלופה Acquire Info? החלטה אי הודאות החלטה תוצאה בפועל עדכון הסתברויות רכישת אינפורמציה ערכים אמיתיים נגלים אי הודאות נשארת גם בעת קבלת ההחלטה (אך קטנה) בחירת החלופה

49. סיכום (המשך) • ערך ללא מידע ≤ ערך עם מידע לא מושלם ≤ ערך עם מידע מושלם • ערך מידע לא מושלם ≤ ערך מידע מושלם

50. ערך מידע – תלוי בהרבה גורמים • כמה שווה מידע מושלם לגבי תוצאות הגרלת הלוטו? • אם מדובר בהגרלה שכבר היתה: • אם לא שלחנו טופס – 0 • אם שלחנו טופס ואין לנו דרך אחרת לברר את המספרים – גדול מ- 0. • אם מדובר בהגרלה שטרם היתה: • האם יש לנו דרך לשלוח טופס? • האם יש לנו בלעדיות על המידע? • מה גודל הפרס, וכמה זוכים בו בממוצע בכל שבוע?