גיאומטריה אנליטית هندسة تحليلية

1. גיאומטריה אנליטית هندسة تحليلية درس 3: البعد بين نقطتين

2. بدرس اليوم بهذا الدرس نتعرف على المصطلحات الأساسية بالهندسة التحليلية • ما هي الهندسة التحليلية? • إيجاد البعد بين نقطتين • البعد كقيمة مطلقة • تمرين • اجمال

3. نبذة عن الهندسة التحليلية • الهندسة التحليلية تعمل على حل مسائل هندسية بأدوات جبرية. • رنهديكارط عالم فرنسي سنة 1637 وضع اساسيات الهندسة التحليلية. • بالهندسة التحليلية يمكننا وصف مصطلحات هندسية بواسطة معادلات ودوال. • פרנס הלס, פורטרט של רנה דקארט, • אמצע מאה 17 בערך, • שמן על בד (אוסף הלובר, פריס)

4. هيئة المحاور • هيئة المحاور مكونة من محورين متعامدين. • المحور الافقي يسمى محور x, المحور العامودي يدعى محور y. • نقطة التقاء المحورين تسمى اصل المحاور. • هيئة المحاور تقسم المستوى لأربع ارباع. • كل نقطة في المستوى تصف زوج مرتب من الارقام(x,y). y الربع الثاني الربع الأول نقطة أصل المحاور x الربع الثالث الربع الرابع

5. كيف يمكن إيجاد البعد بين نقطتين على محور أو على قطعة موازية لمحور? • مثال جد طول القطع الاتية y x

6. y x

7. اجمال • النقطة التي تقع على محور y, احداثي xلها هو 0.النقطة التي تقع على محور x, احاثي yلها هو 0. • جميع النقاط التي تقع على خط مستقيم يتعامد مع محور yلها نفس احداثي y.جميع النقاط التي تقع على خط مستقيم يتعامد مع محور x لها نفس احداثي x. • البعد بين نقطتين على محور xأو على خط مستقيم يتعامد مع محور xهو حاصل طرح احداثي xالأكبر واحداثي xالاصغر. • البعد بين نقطتين على محور y أو على خط مستقيم يتعامد مع محورy هو حاصل طرح احداثي y الأكبر واحداثي y الاصغر. • انتبه ! مهم ان نعرف ان النقطتين تقعا على خط مستقيم موازي لاحد المحورين, ولا يوجد اهميه لمكان النقطتين بالأرباع المختلفة.

8. تمرين 1 • الخط المستقيم الواصل بين النقطتين (-3 ,-2)و- (3 , 6)هو قطر المستطيل الذي اضلاعه موازية للمحورين. • جد نقاط رؤوس المستطيل الاخرى. • احسب محيط المستطيل. • احسب طول قطر المستطيل.

9. حل البندين א, ב: • (3 ,-2) , (-3 , 6) • المحيط هو 28

10. حل بند ג • المثلثABCهو مثلث قائم الزاوية. • كيف يمكن حساب طول القطر للمستطيل?

11. حل بند ג • المثلثABCهو مثلث قائم الزاوية. • حسب نظرية فيتاغوروس نحصل على:طول قطر المستطيل 10

12. البعد بين نقطتين • حسب رأيكم, كيف يمكن ان نجد قانون البعد بين نقطتين A(x1 , y1)و- B(x2 , y2)?

13. البعد بين نقطتين | قانون • يهمنا ان نعرف, كيف نحسب البعد بين نقطتين A(x1 , y1)و- B(x2 , y2). • على فرض ان الخط المستقيم ABلا يوازي أي محور. • نستعمل النقطة C(x2 , y1) لبناء المثلث ABC. • الضلع AC يوازي المحور xوالضلع BCيوازي محور y, • أي ان المثلث ABCهو مثلث قائم الزاوية. • حسب نظرية فيتاغوروسAB2 = AC2 + BC2. • حصلنا على قانون إيجاد البعد بين أي نقطتين Aو- B: • ملاحظة: بالقانون نستعمل الجذر الموجب دائما, لا البعد هو قيمة ليست سالبة. معتاد الرمز للبعد بالحرفd (من الكلمة (distance

14. D البعد بين نقطتين | نقاش • حصلنا على قانون البعد بين أي نقطتين Aو- B : • ببرهان القانون اخترنا النقطة C(x2 , y1) (من اجل بناء مثلث قائم الزاوية). • اذا اخترنا النقطة Dبدلا من C, حيث انها الزاوية العليا للمستطيل, • هل سنحصل على نتائج مختلفة ? • ما هي احداثيات النقطة D ?

15. قيمة مطلقة • بهذه الحالات نستعمل مصطلح "قيمة مطلقة للأرقام ". • من المعتاد بالرياضيات ان نرمز للقيمة المطلقة للرقم x هكذا : | x |. • اذا كان الرقم موجب – قيمته المطلقة هي الرقم نفسه(مثال: | 5 | = 5 ), • اذا كان الرقم سالب – قيمته المطلقة هي الرقم المضاد له (أي الموجب, مثال: | -5 | = 5 ). • القيمة المطلقة لل0 هو 0. قانون البعد:

16. تمرين 2 • جد البعد بين النقطتين A(1 , 7) , B(-2 , 3)باستعمال القانون الذي برهناه.

17. حل تمرين 2 • نعوص احداثيات النقاط بالقانون : • البعد بين النقطتين Aو- Bهو 5.

18. تمرين 3 أ. جد على محور xنقطتين تبعدان 5 وحدات قياس من النقطة A(3 , 3). ارمز - Bللنقطة الأبعد عن اصل المحاور O. ما هي احداثياتها? ب. جد على محور yنقطتين تبعدان 5 وحدات قياس من النقطة A(3 , 3). ارمز - Cللنقطة الأبعد عن نقطة اصل المحاور O. ما هي احداثياتها? ج. هل كل نقطة على المستقيم OAتقع على ابعاد متساوية من النقاط Bو- C? برهن اجابتك.

19. تمرين 3 | حل بند أ أ. جد على محور x نقطتين تبعدان 5 وحدات قياس من النقطة A(3 , 3). ارمز - B للنقطة الأبعد عن اصل المحاور. O ما هي احداثياتها? حل • اذا كانت النقطة تقع على محور xاحداثي -y لها هو 0. نرمز لها (x,0). • اكتب تعبير رياضي لايجاد احداثي xللنقطة المطلوبة : • نربع جهتي المعادلة ونحصل على: • نحل المعادلة اتي حصلنا عليها.

20. المعادلة (x – 3)2 +9 = 25يمكن حلها بعدة طرق. • اختيار طريقة الحلتتعلق ب "كيف نرى" المعادلة. مثال: نتساعد بقانون حاصل طرح مربعين (i) بمساعدة قانون إيجاد الجذورii) ) نتساعد بالتحليل الى عوامل • نتساعد بمصطلح القيمة المطلقة

21. حل حسب الطريقة الأولى • من المعادلة (x – 3)2 +9 = 25نحصل على x2 – 6x +9 +9 = 25اوx2 – 6x +7 = 0. • نحل بمساعدة قانون إيجاد الجذور: • أي ان x1 = 7 או x2 = -1. • نحل حسب التحليل الى عوامل :نحلل المعادلة x2 – 6x +7 = 0الى عوامل. • نبحث عن رقمين حاصل ضربهما -7وحاصل جمعهما6: • اذاx1 = 7 או x2 = -1.

22. حل بطريقة 2 نتساعد بمصطلح القيمة المطلقة : من المعادلة (x – 3)2 +9 = 25ينتج(x – 3)2 = 16. المعادلة (x – 3)2 = 16تعادل المعادلة | x - 3 | = 4 اذا ينتج ان : x – 3 = 4اوx – 3 = - 4. اي ان x1 = 7 או x2 = -1.

23. حل حسب الطريقة 3 نستعمل قانون حاصل طرح مربعين: نكتب المعادلة بالصورة الاتية : حسب القانون ينتج :او اي انx1 = 7 או x2 = -1.

24. تمرين 3 بند أ حل • حصلنا على جذور المعادلة (x – 3)2 +9 = 25هما: x1 = 7 או x2 = -1.

25. حل تمرين 3 بند ب أ. جد على محور x نقطتين تبعدان 5 وحدات قياس من النقطة A(3 , 3). ارمز - B للنقطة الأبعد عن اصل المحاور O . ما هي احداثياتها? B(7 , 0) ب.جد على محور y نقطتين تبعدان 5 وحدات قياس من النقطة A(3 , 3). ارمز - C للنقطة الأبعد عن نقطة اصل المحاور O. ما هي احداثياتها? حل • احداثي - xواحداثي - yللنقطة Aمتشابهان: x = y = 3. • مثل البند أ نختار أي نقطة (0 , y)على المحور y • نصل للمعادلة(y – 3)2 +9 = 25جذورها هي y1 = 7 או y2 = -1.

26. حل تمرين 3 بند ب • النقطة الأبعد عن اصل المحاورهي C(0 , 7).

27. حل تمرين 3 بند ج أ. جد على محور x نقطتين تبعدان 5 وحدات قياس من النقطة A(3 , 3). ارمز - B للنقطة الأبعد عن اصل المحاور O . ما هي احداثياتها? ب. جد على محور y نقطتين تبعدان 5 وحدات قياس من النقطة A(3 , 3). ارمز - C للنقطة الأبعد عن نقطة اصل المحاور O .ما هي احداثياتها? ج. هل كل نقطة على المستقيم OA تقع على ابعاد متساوية من النقاط B و-? C برهن اجابتك.حل • ما نوع المثلث OBC? • ما هي القطعة OAبالمثلث OBC?