第 8 讲不等式及其应用 1. 不等关系是客观世界中量与量之间一种重要的关系，不等式是反映这种关系的基本形式，江苏省考试说明中在此处确定两个 C 级要求（最高要求级

第8讲不等式及其应用 1.不等关系是客观世界中量与量之间一种重要的关系，不等式是反映这种关系的基本形式，江苏省考试说明中在此处确定两个C级要求（最高要求级别），其一为一元二次不等式，另一为基本不等式应用，备考中要引起足够重视. 2.不等式的基本性质是研究不等式变形的基础，许多不等式的定理、公式都是在此基础上推理、拓展而成的，备考时务必抓住基本概念与性质，准确熟练的进行变形，不断提升思维深度与广度，才能在解决问题时有备无患，得心应手.

3.不等式一节，一直是考查的重点和热点，尤其以 “实际问题”、“函数”、“方程”等为背景的综合题较多，不仅仅测试和考查了基础知识、基本技能、蕴含的数学思想方法，而且是考查学生求解能力、推理论证能力，抽象思维能力的良好载体，备考过程中要加强训练. 4.加强等价转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等思想方法的训练，并从中体会它们在解题中的基础性作用. 5.线性规划是不等式知识应用的良好素材，数形结合思想使问题变得直观与具体，与实际问题结合设计出具有“现实意义”的应用题，是近年高考的一个热点.提醒注意，最后一定要考查结果是否符合实际意义的要求.

【例1】设a,b∈R，若a-|b|>0，则下列四个不等式：【例1】设a,b∈R，若a-|b|>0，则下列四个不等式： ①b-a>0;②a3+b3<0;③b+a>0;④a2-b2<0中正确的是 .（写出正确的序号）分析先认定a,b大小关系再作判断，也可取满足条件的a、b特殊值逐一验证.(特殊值法) 解析方法一a-|b|>0a>|b|-a<b<a  a+b>0且a-b>0b-a<0①错. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a2-b2=(a-b)(a+b)>0④错.

方法二 ∵a,b∈R且a-|b|>0,不妨取a=2,b=-1, 易知，只有③正确. 答案③ 探究拓展不等式性质是不等式的理论基础是一切证明、推理、判断、求解的依据，要求熟练掌握，变形时谨慎处理，步步有据. 变式训练1若0<a1<a2,0<b1<b2且a1+a2=b1+b2=1,则 a1b1+a2b2,a1a2+b1b2,a1b2+a2b1与四个代数式中值最大的是. a1b1+a2b2

【例2】（2009·徐州模拟）设x,y∈R+且 则x+y的最小值为. 解析方法一 y

方法二 探究拓展基本不等式是求最值的有力与有利工具，但切勿忘记验证取得最值的条件，只有条件满足时，才能“真的取到”最值. 本题中基本不等式的使用还是较艰苦的，这个 “艰苦”的指“用”之前还要作不少变形，适当添加一些凑配出“可意的基本不等式形式”是解题答案 16

的关键，而这一技巧需要备考者认真思考，仔 细体会，不断归纳总结才能提高.消元是处理二元或多元式子的有效方法. 变式训练2已知 (b<0)，则x与y之间大小关系为. 解析 x>y

【例3】（2008·江苏押题）已知(x- 0≤x≤a且z=x+y的最大值为11，试求a的值为. 分析（x-y+5)(x+y)≥0包含两个不等式组，应分别研究，它们的限制条件，z=x+y的最大值为11，即已知目标函数的最值，方法处理同求目标函数最值类似. y+5)(x+y)≥0, 解析作出可行域知②对应，只要研究①,

目标函数可化为y=-x+z.于是直线y=-x+z在y轴上截 距为z，依可行域知，当直线过点M（a,a+5）时， z取得最大值11，即11=2a+5a=3. 答案 3 探究拓展线性规划实际是一种重要数学思想方法的应用，即数形结合解决问题.应用解题时要把握好以下3点：①将线性约束条件准确转化为可行域（完成由数向形的转化）；②将目标函数转化为以x为自变量的函数，仔细弄清平行线在y轴上截距增大、减小与目标函数最大、最小值之间的变化规律；③依变化规律，找到最优解并求最大（小）值.本题是已知目标函数的最值，反过来确认参数最值，其思路与求最值一样.

变式训练3设A为不等式组表示的平 面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A中的部分区域的面积为. 解析将不等式组表示的区域A作出，如图所示为Rt△MNO.动直线即为y=-x+a，是一组斜率为-1，在 y轴上的截距为a∈［-2，1］的直线，图中四边形PQOM为要求面积区域，依题意各点坐标为O（0，0），M（-2，0），N（0，2）， Q（0，1），

【例4】若当a∈［1，3］时，不等式ax2+(a-2)x-2>0 恒成立，求实数x取值范围. 分析变换主元法.由于a的取值范围已知，可将a 视为主元，而把x看作常数，利用一次函数性质，结合最值观点解决. 解设f(a)=(x2+x)a-2x-2, 则a∈［1，3］时，f(a)>0恒成立，答案

解得x>2或x<-1. 所以x的取值范围是（-∞,-1）∪(2,+∞). 探究拓展（1）不等式的问题，实质是函数的问题，是已知函数值范围问题，学习中千万不要将两个概念割裂开来，应该互为利用互相促进问题解决. （2）恒成立问题，有时要从最值入手限制条件满足“恒”成立.一般地：f(x)≥t恒成立 f(x)≤t恒成立t≥f(x)max.

变式训练4 (2009·江苏最后一卷)若不等式 x2+ax+1≥0,对一切成立，则a的最小值为 . 解析

【例5】（2009·盐城中学第七次月考）已知某公司【例5】（2009·盐城中学第七次月考）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R（x）万元，且R（x）= （1）写出年利润W（万元）关于年产品x(千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）

解（1）当0<x≤10时， W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x- 当x>10时，W=xR（x）-(10+2.7x) (2)①当0<x≤10时，由得x=9.且当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10)时，W′<0; ∴当x=9时，W取最大值，

综合①②知x=9时，W取最大值. 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大. 探究拓展有关应用类问题，首先应建立数学模型，依具体模型设计具体解决方案，本题中可依基本不等式确定取最值条件，不要忘记验证等号成立条件是否满足.

变式训练5（2009·淮安3月调研）有一座大桥 既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定，大桥上的车距d(m)与车速v（km/h）和车长1(m)的关系满足： (k为正的常数)，假定车身长为4 m，当车速为 60(km/h)时，车距为2.66个车身长. （1）写出车距d关于车速v的函数关系式；（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？解（1）因为当v=60时，d=2.66l, ∴d=0.002 4v2+2.

答当v=50(km/h)时，大桥每小时通过的车辆最多.

规律方法总结 1.不等式成立的条件很关键,要把握准确,切勿疏忽. 如不能弱化条件得如果强化条件得也只是充分条件，有失偏颇. 2.几个“平均数”的大小关系：若a,b∈R+，则有（当且仅当a=b时，取等号），其中叫做a、b的平方平均数；叫做a、b的算术平均数；叫做a、b的几何平均数；叫做a、b的调和平均数.

3.常用不等式： (请学生认真思考：以上各式等号成立的条件是什么？） 4.在解不等式时，一定要注意等价转化，体现转化的数学思想方法.对于解没有给出具体式子的不等式，要充分利用函数的性质及图象进行等价转化，这类题较好地体现了数形结合及函数的思想. 对于含参数的不等式的解法,一定要利用分类讨论法来求解,分类时要遵守最简及不重不漏两条原则.

5.用均值不等式来求函数的最值时，必须满足“一5.用均值不等式来求函数的最值时，必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，三者缺一不可，有时为了创造应用均值不等式的条件，经常应用合理拆分项或配凑因式等解题技巧. 函数上单调递减，在上单调递增.当用均值不等式不能求出函数的最值时，要注意充分利用函数的单调性. 在利用均值不等式求值时，若进行连续放缩，则需注意取等条件是否一致. 6.证明不等式的常用方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、换元法、判别式法、反证法.

7.在不含参数不等式的求解时也可能运用分类讨论 的方法，但它与含参数不等式求解时对分类讨论的运用是不同的，前者是对未知数在可能的取值范围内进行分类讨论，各类别下求得的解集，必须取其“并”，才是原不等式的解集，后者是对其中的参数作出分类讨论，各类别下求得的解集毫无关系，故决不能取“并”. 8.利用不等式解决实际问题.不等式的应用题大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题，另一类是建立函数关系，利用均值不等式或函数的单调性求最值问题.

应用不等式解题的关键是建立不等关系.解不等式 应用问题的步骤：审题，建立不等模型，利用不等式有关知识解题.解决问题具体：数学抽象现实世界中的实际问题不等式模型还原实际实际问题的解不等式的解

一、填空题 1.已知a+b<0且a>0，则a2,b2,-ab的大小关系为 . 解析a+b<0且a>0b<0,|b|>a, 即-b>a>0，所以0<a2<-ab, 0<a·（-b）<(-b)2,则0<a2<-ab<b2. 2.设则四者大小关系为. a2<-ab<b2 c<d<a=b

3.设则不等式f(x)>2的 解集为. 解析若x<2，则2·ex-1>2,ex-1>1=e0,1<x<2. 若x≥2,则log3(x2-1)>2,x2-1>9x> 或x<- 又x≥2,∴x> . 综合以上知x∈(1,2)∪( ,+∞).

4.已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2. 若目标函数z=ax+y（其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为. 解析变量x,y满足约束条件1≤x +y≤4,-2≤x-y≤2.在坐标系中画出可行域，如图中的四边形ABCD，其中A（3，1），kAD=1，kAB=-1，目标函数z=ax+y (其中a>0）中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小，若仅在点（3，1）处取得最大值，则斜率应小于kAB=-1,即-a<-1，所以a的取值范围为（1，+∞）. （1，+∞）

5.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在5.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞）的图象与f(x)图象重合.设a>b>0，给出以下不等式，其中正确的式子的序号为. ①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a) 解析由题意f(a)=g(a)>0,f(b)=g(b)>0, 且f(a)>f(b),g(a)>g(b), ∴f(b)-f(-a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b). 而g(a)-g(-b)=g(a)-g(b), ∴g(a)+g(b)-［g(a)-g(b)］=2g(b)>0, ∴f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b), 同理可证f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a). ①③

6.函数f(x)=x3+ax+2 008在区间［1，+∞）上存在 x1,x2,使得当x1<x2时，f(x1)≥f(x2),则实数a的取值范围是. 解析从其对立事件入手，即x1，x2∈［1， +∞），当x1<x2时，f(x1)<f(x2)恒成立.即“f(x)在［1，+∞)上单调递增”.f′(x)≥0恒成 y′=3x2+a≥0在［1，+∞）上恒成立.a≥-3,故所求a的取值范围是（-∞,-3). (-∞,-3) 立.

二、解答题 7.（2008·广东改编）设a∈R,若函数有大于零的极值点,求a的取值范围. 解f′(x)=3+aeax,若函数在x∈R上有大于零的极值点,即f′(x)=3+aeax=0有正根.当有 f′(x)=3+aeax=0成立时,显然有a<0,此时由x>0知参数a的取值范围为a<-3. y=eax+3x,x∈R

8.设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，若M［1， 4］，求实数a的范围. 解M［1，4］有两种情况：其一是M=，此时Δ<0;其二是M≠，此时Δ=0或Δ>0，分三种情况计算a的取值范围.设f(x)=x2-2ax+a+2, 有Δ=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2). （1）当Δ<0时，-1<a<2,M=［1，4］. （2）当Δ=0时，a=-1或2. 当a=-1时，M={-1}［1，4］；当a=2时，M={2}［1，4］.

（3）当Δ>0时，a<-1或a>2. 设方程f(x)=0的两根为x1,x2,且x1<x2, 那么M= ［x1,x2］,由M［1，4］1≤x1<x2≤4 

9.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉69.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元. （1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？（2）某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由. 解（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1］=9x(x+1),设平均每天所支付的总费用为y1元，

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每 天所支付的总费用最少. （2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉.设该厂利用此优惠条件后，每隔 x(x≥35)天购买一次面粉. 平均每天支付的总费用为y2元，则

∴当x=35时，f(x)有最小值， 此时y2≈10 070<10 989. ∴该厂接受此优惠条件. 10.已知f(x)是定义在［-1，1］上的奇函数,且f(1)= 1,若m,n∈［-1，1］,m+n≠0时有（1）判断f(x）在［-1，1］上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式： (3)若f(x)≤t2-2at+1对所有x∈［-1，1］，a∈ ［-1，1］恒成立，求实数t的取值范围.

解（1）任取-1≤x1<x2≤1, 则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x)在［-1，1］上为增函数. （2）∵f（x）在［-1，1］上为增函数，

（3）由（1）可知：f(x)在［-1，1］上是增函 数，且f(1)=1, 故对x∈［-1，1］，恒有f(x)≤1. 所以要使f(x)≤t2-2at+1,对所有x∈［-1，1］， a∈［-1，1］恒成立，即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0成立. 记g(a)=t2-2at对a∈［-1，1］，g(a)≥0恒成立，只需g(a)在［-1，1］上的最小值大于等于零. 返回

第 8 讲 不等式及其应用 1. 不等关系是客观世界中量与量之间一种重要的关 系，不等式是反映这种关系的基本形式，江苏省 考试说明中在此处确定两个 C 级要求（最高要求级