近似アルゴリズム輪講第 3 章　シュタイナー木と TSP

近似アルゴリズム輪講第3章　シュタイナー木とTSP近似アルゴリズム輪講第3章　シュタイナー木とTSP

メトリックシュタイナー木問題 • シュタイナー木問題 • 辺に非負のコストが与えられているグラフ、要求点、シュタイナー点が与えられたとき、全ての要求点(および任意のシュタイナー点)を含むコスト最小の木を求める問題。 • メトリックシュタイナー木問題 • 辺のコストが三角不等式を満たすメトリック(距離空間)に限定した問題。

定理：シュタイナー木問題からメトリックシュタイナー木問題への近似率保存リダクションが存在する定理：シュタイナー木問題からメトリックシュタイナー木問題への近似率保存リダクションが存在する • シュタイナー木問題のインスタンスIのグラフG=(V,E) ↓多項式時間で構成可能↑ • メトリックシュタイナー木問題のインスタンスI’のグラフG’=(V’,E’)

スパンニング木 • 連結グラフGの全ての頂点を含む部分木のこと

R上のMSTのコストは 2・OPT以内

1 2 タイトな例

巡回セールスマン問題(TSP) • 辺に非負のコストが付随する完全グラフが入力としてあたえられて、全ての点をちょうど一度ずつ通る最小コストの閉路を求める問題

定理：任意の多項式時間で計算可能な関数α(n)に対して、P=NPでない限り、TSPをα(n)以内の近似率で近似することは不可能定理：任意の多項式時間で計算可能な関数α(n)に対して、P=NPでない限り、TSPをα(n)以内の近似率で近似することは不可能 • 背理法を用いて証明 • 一般のTSP問題に対して、近似率α(n)の多項式時間近似アルゴリズムAが存在したと仮定 • AがNP困難なハミルトン閉路の存在判定問題を多項式時間で解けるため、P=NPとなる

2近似アルゴリズム • GのMSTTを見つける • このMSTの各辺を2重化してオイラーグラフを求める • このグラフでオイラーツアーtを求める • Gの各点をtで最初に現れる順番で並べて得られるツアーCを出力する

タイトな例

3/2近似アルゴリズム • GのMSTTを見つける • Tの奇数次数の点全体の最小コスト完全マッチングMを求める。MをTに付け加えてオイラーグラフを求める • このグラフでオイラーツアーtを求める • Gの各点をtで最初に現れる順番で並べて得られるツアーCを出力する

タイトな例

近似アルゴリズム輪講 第 3 章 シュタイナー木と TSP