战争模型

1. 战争模型 早在第一次世界大战时期，F.W.Lanchester就提出了预测战争结局的数学模型。

2. 考虑因素 F.W.Lanchester的模型十分简单，只考虑： • 双方兵力多少和战斗力强弱； • 兵力因战斗减员和非战斗减员而减少， 由后备力量的增援而增加； • 杀伤对方的能力，与射击率、命中率以 及战争类型有关。

3. 一般战争模型 假设： x0、x(t)----甲方的初始兵力及时刻 t 的兵力 y0、y(t)----乙方的初始兵力及时刻 t 的兵力 • 每一方战斗减员取决于双方的兵力，分别用 f(x,y)与g(x,y)来表示甲、乙双方的战斗减员率； • 每一方的非战斗减员与本方兵力成正比； • 每一方的增援力是给定的函数，分别用u(t)与v(t)表示甲、乙双方的增援率 。

4. 模型为：

5. 正规战争模型 假设: • 甲乙两方都是正规部队，双方士兵公开活动，每个士兵处在对方的杀伤范围内； • 甲方战斗减员率与乙方兵力成正比：f(x,y)=ay,a称为乙方战斗有效系数(a>0)； • 乙方战斗减员率与甲方兵力成正比： g(x,y)=bx,b称为甲方战斗有效系数(b>0).

6. 建模 若 则

7. 轨线方程

8. 战争结局分析 情形一,k=0，轨线方程为 双方兵力同时为0.战争结局应为平局. 情形二,k>0, 轨线方程为 时 甲方输,乙方胜。 情形三,k<0, 轨线方程为 乙方输，甲方胜

9. y k>0,乙胜 k=0,平局 k<0,甲胜 O x 战争结局分析

10. 初始兵力分析 双方战平的条件(平衡条件): • 可见若甲方初始兵力x0不变，乙方战斗有效系数a也不变，而乙方初始兵力y0增到原来的2倍,则甲方的战斗有效系数b就要增加到原来的4倍才能与之抗衡.同理可分析其余情况. • （4.45）也称为平方律模型。

11. 游击战争模型 假设 • 设甲乙双方都是游击部队，隐蔽在对方看不见的区域内活动，此时每方的战斗减员率不仅与对方兵力有关，而且与本方的密度有关； • f(x,y)=cxy ,c为乙方战斗有效系数； • g(x,y)=hxy, h为甲方战斗有效系数。

12. 模型 只考虑 的情况，

13. 轨线方程 一族平行直线

14. m>0,乙胜 y m=0,平局 m<0,甲胜 O x 战争结局分析

15. 初始兵力分析 平衡条件是m=0, 即 双方初始兵力与对方战斗有效系数成线性关系。

16. 混合战争模型 假设 • 设甲方为游击部队，乙方为正规部队 • f(x,y)=cxy, c为乙方战斗有效系数 • g(x,y)=bx，b为甲方战斗有效系数

17. 模型 只考虑 的情况，

18. 轨迹方程 这是一族开口向右的抛物线

19. n>0 乙胜 y n=0,平局 n<0 甲胜 0 x -n/2b 战争结局分析

20. 初始兵力分析 正规军获胜的条件是n>0,即 实际上,由于正规军在明处,游击队在暗处,而且活动区域较大,从而使c很小而b较大.从而y0/x0较大.

21. 越南战争分析 美国军方曾用此模型分析越南战争. 甲方代表越南游击队,乙方代表美军，得出美军获胜的条件是: 美军必须投入8倍于越南游击队的兵力才可能获胜，而美国当时最多只能派出6倍于越南游击队的兵力，故不能取胜。最终美军不得不接受和谈并撤军，越南人民胜利了。

22. 硫磺岛战役 J·H·Engel用二次大战美日硫磺岛战役中的美军战地记录验证了正规战争模型。 美军于1945年2月19日开始进攻硫磺岛，战斗进行了36天，日军21500人全部阵亡或被俘。美军投入了兵力73000人，伤亡20265人。美军战地记录有按天统计战斗减员与增援情况，日军没有增援，战地记录全部遗失。

23. 模型 设A(t)和J(t)表示美军和日军在第t天的兵力。在正规战争模型中取α=β=ν=0，则： 已知美军的增援率为： 并可由战地记录算出A(t), t=1,2,……36.

24. 求近似解 在定积分的近似计算中，可用积分和作近似计算

25. 求近似解 从(4.3.9)令t=36解出

26. 求近似解 把b代回(4.3.9)式便可求出J(t),t=1,2,3……36. 又在(4.3.8)中令t =36解出

27. 近似解 其中分子表示美军总伤亡人人数，为20265人，分母可由已经算出的J(t)求出为372500，故 从而得A(t)的理论值 ：

28. 效果 与实际情况吻合得很好

29. 世界和平