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Probabilidade

Probabilidade. Aula 03 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www.ctec.ufal.br/professor/cfs. Objetivo. Promover o entendimento de valores de probabilidade e desenvolver habilidades para determinar probabilidades. Conteúdo. Fundamentos

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Presentation Transcript

  1. Probabilidade Aula 03 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www.ctec.ufal.br/professor/cfs

  2. Probabilidade - Christopher Freire Souza Objetivo • Promover o entendimento de valores de probabilidade e desenvolver habilidades para determinar probabilidades

  3. Probabilidade - Christopher Freire Souza Conteúdo • Fundamentos • Contagem • Regra da adição • Regra da multiplicação • Probabilidade através de simulações

  4. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Para que? • Processos determinísticos • Satisfeitas algumas condições, comportamento conhecido • Ex: Ao colocar água pura para esquentar, qual a chance dela entrar em ebulição a 100oC? • Processos estocásticos • Comportamento aleatório • Ex: Ao puxar uma peça de dominó, qual a chance de ser: • A bomba de sena? • Uma bomba? • Não-bomba? • Bomba de sena, caso se queira adivinhar a bomba que seu parceiro comentou ter puxado.

  5. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade • Técnica matemática aplicada para medir a chance de ocorrência de um evento

  6. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Conteúdo • Breve revisão de Análise Combinatória • Espaço Amostral • Evento • Probabilidade de um evento (uma bomba) • Probabilidade para experimentos não-eqüiprováveis • Probabilidade do evento complementar (não-bomba) • Probabilidade de ocorrência de dois eventos simultâneos (bomba de sena) • Probabilidade de ocorrência de um evento dado que outro já ocorreu (bomba de sena dentre bombas) • Probabilidade de coincidências • Probabilidade para eventos correlacionados

  7. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Análise combinatória • Contagem • Princípio multiplicativo • Fatorial • Arranjo simples • Permutação simples • Permutação com repetição • Combinação simples

  8. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Contagem • Problema: Eric, Elanee Alisondisputam uma eleição para representante discente. Quantos resultados diferentes pode ter esta eleição? • Er, A, El • Er, El, A • A, Er, El • A, El, Er • El, A, Er • El, Er, A

  9. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Princípio multiplicativo(Contagem sem descrição) • Problema: Eu tenho duas calças e quatro camisas e não sabia o que vestir para vir dar esta aula. De quantas formas eu poderia me vestir, considerando que eu não me importo se a calça e a blusa combinam? • Uma forma de resolver é multiplicar a quantidade de opções de calça pela de blusa. • Assim temos: 2x4=8

  10. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Fatorial • É comum, nos problemas de contagem, calcular o produto cujos fatores são números naturais consecutivos de n a 1. • n!=n.(n-1).(n-2) .... .3.2.1, sendo n natural e maior que 1. • Observe que: • n!=n.(n-1)! • Assim, 0!=1

  11. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Arranjo simples(Contagem de formas de agrupar elementos sem repetição de elementos) • Quantos conjuntos de três letras (r =3) podem ser criados com as 26 letras do alfabeto (n=26)? • A ordem dos elementos importa A n,r = 26.25.24 = 15600

  12. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Permutação simples • Problema: No passatempo Sudoku, uma única linha de uma matriz 3 x 3 não foi preenchida. Sabe-se que restam apenas os números 3, 5 e 9 como opções. Não havendo uma dica de que número poderia estar em cada “casa”, de quantas formas pode ser preenchida a linha? P = 3.2.1 = 6 Opções Pn=A n,n

  13. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Permutação com repetição • Anagrama extraído do Código da Vinci: • “O, Draconian devil! Oh, lame saint” • Decifrado para: • “Leonardo da Vinci – The Mona Lisa” • Problema: Quantos anagramas tem a palavra FERVOROSO?

  14. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Combinação simples • Qual o número de maneiras nas quais cinco cartas podem ser selecionadas de uma baralho? • A ordem dos elementos não importa C. r! = A

  15. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Espaço amostral • Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (processo estocástico).

  16. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Evento • Qualquer subconjunto do espaço amostral. • Impossível: Peça com 13 pontos • Simples: Peça com zero pontos • Certo: Peça com menos que 13 pontos

  17. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Evento • Complementar: Mais que zero pontos, é o evento complementar do evento zero pontos. • Intersecção e união, como na teoria de conjuntos • Disjunto (mutuamente excludente): intersecção é nula.

  18. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de um evento • Problemas: • Qual a probabilidade de puxar uma bomba? • Qual a probabilidade de puxar uma sena? • A probabilidade de puxar uma bomba com menos que 3 pontos, é maior que a probabilidade de puxar uma bomba? • Conceito: • Razão do número de valores que caracterizam o evento pelo número de valores possíveis, considerando-se: • igualdade de chances de ocorrência de valores possíveis • excludência mútua entre valores. onde A representa um evento qualquer; P(A), a sua probabilidade de ocorrência; nS, os possíveis resultados de um experimento e; nA, aqueles que denotam o evento. Axiomasfundamentais: 0≤P(A) ≤ 1 P(S)=1 p/ A C B, P(A) ≤ P(B)

  19. www.ctec.ufal.br/professor/cfs . Probabilidade em experimentos não-eqüiprováveis • Problema: Como estimar a probabilidade de obter cara numa moeda viciada? • Nos casos em que não se conhece o conjunto de valores da população ou as chances de sair cada resultado são diferentes, aproxima-se o valor da probabilidade pela freqüência. • Supondo que ao lançar uma moeda viciada 10000 vezes, obtém-se 7310 caras. Assim, a probabilidade de que saia cara ao lançar a mesma moeda é de 73,1%.

  20. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade do evento união • Problema: Qual a probabilidade de puxar uma sena ou uma quina? • n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AB) • P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) • Se eventos forem mutuamente excludentes, P(AUB)=P(A)+P(B)

  21. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade do evento diferença • Problema: Qual a probabilidade de puxar uma sena sem ser uma bomba? • n(A-B)=n(A)-n(A&B) • P(A-B)=P(A)-P(A&B) • Se eventos forem mutuamente excludentes, P(A-B)=P(A)

  22. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de um evento complementar (P(Ac)) • Problema: Qual a probabilidade de, ao puxar uma peça, não ser bomba? • P(A)+ P(Ac)=P(S) • P(A)+P(Ac)=1 • P(Ac)=1-P(A)

  23. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade do tipo “um ou mais” ou “pelo menos um” • Qual a probabilidade de ao puxar uma peça ter pelo menos um ponto? • A probabilidade do evento união de todos os resultados que atendem o critério de “pelo menos um” equivale à probabilidade do complementar da intersecção do evento nenhum. • P(pelo menos um) = 1 – P (nenhum)

  24. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade condicional • Problema: Num jogo de 6 peças, seu parceiro acusou ter puxado apenas uma bomba. Qual a probabilidade de ter sido a bomba de sena? • PA(B)=P(A&B)/P(A) • PA(B) = dado queocorreu A, ocorrer B

  25. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de eventos simultâneos • Problema: Qual a probabilidade de você puxar uma bomba e ela ser de sena? • P(AB)=PA(B).P(A) • PA(B)=P(AB)/P(A)

  26. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de eventos independentes (coincidência) • Qual a probabilidade de puxar uma sena e faltar água? • Dado que: P(AB)=PA(B).P(A) • Se PA(B)=P(B), P(AB)=P(B).P(A)

  27. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade indireta de eventos (Teorema da probabilidade total) • Problema: Qual a probabilidade de não-atendimento de demandaporágua de umacidade (P(A)), se sabe-se que: • Existemdoisreservatórios (R1=150m3 e R2=187,5 m3 ) quefuncionam de forma complementar (B:R1 ativo, Bc:R2 ativo) e isolada (quando um é ativado o outro é desativado) • Probabilidades de ativar: P(B)=0,7; P(Bc)=0,3. • Probabilidade de superarcapacidade: PA(B)=0,3; PA(Bc)=0,1 • Dado que:

  28. www.ctec.ufal.br/professor/cfs Probabilidade de eventos correlacionados (Teorema de Bayes) • Problema: Supondo que, para o caso do problema anterior, a demanda não tenha sido atendida, como estimar a probabilidade de o reservatório 1 ter sido ativado. • Ganho de acurácia na estimativa de probabilidade, onde de forma subjetiva se descreve relação entre eventos

  29. Probabilidade - Christopher Freire Souza Probabilidadeatravés de simulações • Conhecendo-se o processo (formulaçãoconceitual) quedescreve um fenômeno (e.g. a relação entre precipitação e vazão), comoobter a probabilidade de ocorrência de um valor de vazão? • Inserirrepetidasvezes, dado de precipitaçãoaleatoriamentedefinidodentro de umafaixa de valorespossíveis, de maneira a obter um histograma • Aplicações: • Análise de sensibilidade de modelos • Análise de incerteza de estatísticas

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