理论物理(二) 电动力学

第三章 理论物理(二) 电动力学主讲：沈静琴博士、副教授

§3.1 矢势及其微分方程 稳恒电流磁场静电场是有源无旋场⇒ 引入标势φ (由于其无旋性) 静电场静磁场是有旋无源场⇒ 引入矢势A (由于其无源性)

令满足场方程矢势在经典电动力学中与φ一样是辅助量。 2、的环量的物理意义 L 矢势沿任意闭合回路的环量场方程一、矢量势函数 1、矢势的引入数学中斯托克斯公式以L为界的任一曲面的磁通量

所以， 物理意义：矢势沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一曲面的磁通量，而每点无直接物理意义。 L 磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关

3. 矢势的自由变换 已知，求？可以相差一个标量函数的梯度！也不是唯一的！已知，求？对矢势作变换： 0 已知φ，求 φ 不是唯一的，可以相差一个积分常数已知，求φ ψ是任意的标量函数规范变换：对场的辅助量作变换，但场保持不变。

解 …… A’’ A A’ 不是唯一的！不是唯一的！可以相差一个标量函数的梯度！例：均匀磁场，求矢势。

唯一确定一个矢量场，得同时给出旋度方程和散度方程。唯一确定一个矢量场，得同时给出旋度方程和散度方程。仅定义了，所以可以作变换。静磁场通常取如果不等于0呢？通过变换条件使之为0。规范变换：对场的辅助量作变换，但场保持不变。为什么可作规范变换？库仑条件（规范条件）

二、矢势的微分方程 均匀介质库仑条件讨论：（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程（2）与静电场中形式相同 0 （3）矢势为无源有旋场矢势的微分方程！

直角系中 特解矢势的微分方程的特解为： 2. 边值关系* 代入 1. 形式解也是第一章中由毕奥－萨伐尔定律推出来的解。

磁场旋度和散度公式的证明 矢势矢势的方向为电流方向

三、静磁场的能量 静磁场的总能量线性介质中电磁场能量密度用矢势和电流表示讨论： • 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。 ② 不是能量密度。 0 静电场的能量密度静磁场的能量密度

设为外磁场电流分布， 为外磁场的矢势；为处于外磁场中的电流分布，它激发的场的矢势为。总能量：可以证明：电流在外场中的相互作用能为： 2. 电流分布在外磁场中的相互作用能相互作用能

小结 静磁场的基本原理引入矢势描述库仑条件矢势的自由变换：什么是规范变换？对场的辅助量作变换，但场保持不变。为什么可作规范变换？唯一确定一个矢量场，得同时给出旋度方程和散度方程。仅定义了，未定义所以可以作变换。

泊松方程的特解： 静磁场的能量磁场的总能量能量密度：相互作用能

[分析]：取导线沿z轴，设p点到导线的垂直距离为R，电流元Idz到p点距离为[分析]：取导线沿z轴，设p点到导线的垂直距离为R，电流元Idz到p点距离为 [解]：利用矢势公式： ↑I dz 积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值可以免除发散，若取R0点的矢势值为零，则 z o P R 例：无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁感应强度。

0 每项相乘后，再二次项展开得

取的旋度，得到 0 结果与电磁学求解一致。

理论物理(二) 电 动 力 学