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第 4 章 静 定 拱

第 4 章 静 定 拱. 本章内容 三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和内力 计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。 目的要求 1. 熟练掌握三铰拱的反力和内力计算。 2. 了解三铰拱的内力图绘制的步骤。 3. 掌握三铰拱合理拱轴线的形状及其特征。. §4-1 概 述. 1 ．拱的组成及受力性能 杆轴线是曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力 ( 推 力 ) 的结构，称为拱。拱的基本形式有三铰拱、两铰拱和无 铰拱，分别如图 4-1(a) 、 (b) 、 (c) 所示。前一种是静定拱，

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第 4 章 静 定 拱

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  1. 第4章 静 定 拱 本章内容 三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和内力 计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。 目的要求 1. 熟练掌握三铰拱的反力和内力计算。 2. 了解三铰拱的内力图绘制的步骤。 3. 掌握三铰拱合理拱轴线的形状及其特征。

  2. §4-1 概 述 1．拱的组成及受力性能 杆轴线是曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力(推 力)的结构，称为拱。拱的基本形式有三铰拱、两铰拱和无 铰拱，分别如图4-1(a)、(b)、(c)所示。前一种是静定拱， 后两种是超静定拱。本节仅讨论静定拱的内力计算。 图4-1

  3. 如果杆轴线虽然是曲线，但在竖向荷载作用下不产生水如果杆轴线虽然是曲线，但在竖向荷载作用下不产生水 平支座反力的结构不是拱，而称为曲梁。在竖向荷载作用 下，是否产生水平推力，是拱与梁的基本区别。 拱与梁相比，由于推力的存在，减小了各截面的弯矩。 这就有可能使处于压弯组合应力状态的拱截面，只承受压应 力，从而可采用抗压性能好的廉价材料，如砖、石及混凝土 等来建造。但是，推力的存在又反过来作用于基础，因而要 求比梁具有更坚固的地基或支承结构。 图4-2 图4-3

  4. 所以作屋盖承重用的拱，一般要加拉杆，以承担拱对墙的所以作屋盖承重用的拱，一般要加拉杆，以承担拱对墙的 水平推力。如图4-2(a)所示，称为带拉杆的三铰拱。为了 获得较大的净空，有时也将拉杆做成折线形状，如图4-2(b) 所示。 2．名词解释 拱的各部分名称如图4-3所示。拱身各截面形心的联线 称为拱轴线。拱与基础联结处称为拱趾(或拱脚)。两拱趾 间的水平距离称为跨度。两拱趾的联线称为起拱线。拱轴 上距起拱线最远的一点称为拱顶。三铰拱通常在拱顶处设 有中间铰(或称为顶铰)。拱顶至起拱线之间的竖直距离称 为拱高。拱高与跨度之比f/l称为高跨比。两拱趾在同一水 平线上的叫平拱，不在同一水平线上的叫斜拱。本节只讨 论平拱的计算。

  5. §4-2 三铰拱的计算 下面以竖向荷载作用下的三铰拱为例，讨论其反力及 内力的计算方法。 1. 支座反力的计算 三铰拱共有四个支座反力，如图4-4(a)所示。除了取全 拱为隔离体可建立三个整体平衡方程外，还可利用中间铰 C处弯矩为零(MC = 0)的条件建立一个补充方程，从而可 求出所有支座反力。 首先考虑整体平衡 ΣMB = 0, (a) ΣMA = 0, (b) ΣFx = 0, FAH = FBH = FH (c) 其次，取左半拱为隔离体，由ΣMC = 0， (d)

  6. 考察(a)、(b)两式的右边，恰好等于相应简支梁(如图考察(a)、(b)两式的右边，恰好等于相应简支梁(如图 4-4(b)所示)的支座反力F0AV和F0BV，而式(d)的右边分子 等于相应简梁上与中间铰C相应的截面C的弯矩M0C。所 以，(a)、(b)、(d)式又可写为 FAV = F0AV FBV = F0BV (4-1) FH = M0C/f 式(4-1)表明，三铰拱的竖向支座反力与相应简支梁的 相同，而其推力等于相应简支梁截面C的弯矩M0C 除以拱 高f。推力FH与拱的轴线形状无关，只与荷载及三个铰的 位置有关。当荷载与跨度一定时，M0C为定值，推力FH 与拱高f成反比。f愈小，拱愈平坦，推力FH则愈大。若f = 0，则FH = ∞，此时三铰位于同一直线上，拱成为瞬变体 系。

  7. 图4-4 图4-5

  8. 2. 内力的计算 反力求出后，可用截面法求出拱内任一截面的内力。 任一截面K的位置可由其形心坐标、和该处拱轴线的倾角 确定，如图4-5(a)所示。截面内力正负号规定如下：因拱 常受压，故轴力以使拱截面受压为正，剪力以绕隔离体有 顺时针转动趋势者为正，弯矩以使拱内侧受拉为正。 截取截面K左部分为隔离体，为便于计算，沿FNK及 FSK方向建立辅助坐标系ξKη。如图4-5(b)所示。由ΣMK=0， 得M=〔FAVx-F1(x-a1)-FHy 由于FAV = F0AV，上式方括号内的数值等于相应简支梁 截面K的弯矩M0，故上式可写为 M = M0 -FH y (e) 由ΣFξ= 0，得FS = (FAV-F1) cosφ-FH sinφ

  9. 上式中(FAV-F1)等于相应简支梁截面K的剪力FS0，故又上式中(FAV-F1)等于相应简支梁截面K的剪力FS0，故又 可写为 FS = FS0 cosφ- FH sinφ (f) 由ΣFη=0， 得FN = FS0sinφ+ FH cosφ (g) 在式(f)及(g)中，φ的符号在图示坐标系中左半拱取正，右 半拱取负。 综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算公式为 M = M0 -H y FS = FS0cosφ- FH sinφ (4-2) FN = FS0sinφ+ FH cosφ 由式(4-2)可知，三铰拱的内力不仅与三个铰的位置有 关，而且还与拱的轴线形状有关。

  10. 例4-1试作图4-6(a)所示三铰 拱的内力图。拱轴线方程 为 。 解： 1. 反力计算。 由式(4-1)可知 FAV = F0AV = (40×4+10×8×12)/16 = 70 kN(↑) FBV = F0BV = (10×8×4+40×12)/16 = 50 kN(↑) FH = M0C/f = (50×8-40×4)/4 = 60 kN 图4-6

  11. 2.内力计算。 为绘内力图，将拱沿跨度方向分成8等分，分别计算出 各等分点截面处的内力值，现以距左支座x = 12m的截面6为 例，说明计算步骤。 (1) 截面的几何参数。 拱轴线方程： = 4×4/162×(16-x)x = x(1-x/16) tanφ = dy/dx = 1-x/8 故有 y6 = x6(1-x6/16) = 12(1-12/16) = 3m tanφ6 = 1- x6/8 = 1-12/8 = -0.5, φ6 = -26°34′, sinφ6 = -0.447, cosφ6 = 0.894 (2) 计算截面6的内力。 由式(4-2)，得： M6 = M06- FH y6 = 50×4-60×3 = 20 kN·m 由于等分点6在集中力作用处，故该截面剪力、轴力均有 突变，应分别计算出左、右两边的剪力和轴力。

  12. FS6L = FS06Lcosφ6-FHsinφ6 = (-10)×0.894-60×(-0.447) = 17.9 kN FS 6R = FS06Rcosφ6-FHsinφ6 = (-50)×0.894-60×(-0.447) = -17.9 kN FN6L = FS06Lsinφ6+FHcosφ6 = (-10)×(0.447)+60×0.894 = 58.1 kN FN6R = FS06Rsinφ6+ FHcosφ6 =(-50)×(0.447)+60×0.894 = 76.0 kN 同理可计算出其他各截面的内力，具体计算时，可列表进 行。根据表中计算出的数值，即可绘出M、FS、FN图，分 别如图4-6(c)、(d)、(e)所示。

  13. §4-3 三铰拱的合理拱轴线 1．压力曲线 拱式结构的特点是承受较大的压力，除此之外，各截 面还有剪力和弯矩，由这三个分力可求出合力，如图4- 7(a)、(b)所示。合力与分力之间的关系为： 图4-7 上式中e是由截面形心到合力FR作用 线的垂直距离，α是合力FR与该截面拱轴切线之间的夹 角。对于拱内各截面来说，一般是处于偏心受压状态，

  14. 如图4-7(b)所示。如各截面弯矩越小，则偏心距e越小。当如图4-7(b)所示。如各截面弯矩越小，则偏心距e越小。当 M=0时，则e = 0，这对截面受力而言是比较理想的。各截 面合力FR作用点的联线就称为该拱的压力曲线。 2. 三铰拱的合理拱轴线 如果三铰拱的各截面上的弯矩和剪力均为零，则各截面 FN的方向与拱的轴线相切，即压力曲线与拱轴线重合。此 时拱内各截面上正应力均匀分布，在材料使用上最为经 济，故称这样的拱轴线为合理拱轴线。 合理拱轴线可由拱截面上弯矩处处为零的条件确定。在 竖向荷载作用下，三铰拱任一截面的弯矩由式(4-2)中第一 式计算，故合理拱轴线由M = M0-FHy = 0,可得 y = M0/FH (4-4) 上式表明，在竖向荷载作用下，合理拱轴线的竖坐标与相 应简支梁弯矩的竖坐标成正比。当荷载已知时，只需求出 相应简支梁的弯矩方程，然后除以拱的推力FH，便可得到 合理拱轴线方程。

  15. 例4-2 试求图4-9(a)所示对称三 铰拱在竖向均布荷载q作用下的 合理拱轴线。 解：图4-9(b)所示相应简支梁的 弯矩方程为 M0 = qlx/2-qx2/2 = qx(l-x)/2 由式(4-1)求得水平推力为 FH = M0C/f = ql2/(8f) 根据式(4-4)，得合理拱轴线方 程为 y = M0/FH = 4f(l-x)x/l2 可见，在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线是二次抛物 线。 图4-9

  16. 图4-10所示三铰拱受填土荷载作用，拱上分布荷载图4-10所示三铰拱受填土荷载作用，拱上分布荷载 qx=qc+γy。qc为拱顶处荷载集度，γ为填土容重。应用式 (4-2)积分(分析从略)后得合理拱轴线是一条悬链线。方程为 图4-11所示三铰拱在受径向均布荷载(如静水压力)作用 下，根据微段的平衡条件即可推出合理拱轴线为圆弧曲线 (推导从略)。 图4-10 图4-11

  17. 应该指出，当跨度一定时，对于不同的荷载，其合理应该指出，当跨度一定时，对于不同的荷载，其合理 拱轴的形式也不同。在工程实际中，结构要承受各种不 同荷载的作用。根据某种荷载确定的合理拱轴线，并不 能保证其他荷载作用下，拱内各截面都处于无弯矩状 态。因此，在结构设计中通常是以主要荷载作用下的合 理拱轴作为拱的轴线。而在其他荷截作用下产生的弯 矩，应控制其压力线不超过截面核心，以保证各截面不 产生拉应力。

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