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1． 什么是反比例函数？

新课导入. 一般地，形如 （ k 是常数 ，k≠0 ） 的函数叫做反比例函数．. 温故而知新. 1． 什么是反比例函数？. 2．反比例函数的图象是什么？图象的位置由谁决定？ 分别在哪些象限 ？. 反比例函数的图象是双曲线． 当k>0时，两支双曲线分别位于第一，三象限内， 当k<0时， 两支双曲线分别位于第二 ，四象限内 ．. 那么反比例函数有哪些性质呢 ？. 教学目标. 知识与能力. 1 ． 通过对 反比例 函数的图象和性质的探究，培养观察、比较、类比、联想、分析、归纳、概括的逻辑思维能力以及动手实践能力．

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1． 什么是反比例函数？

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Presentation Transcript

  1. 新课导入 一般地，形如 （ k是常数，k≠0 ） 的函数叫做反比例函数． 温故而知新 1．什么是反比例函数？

  2. 2．反比例函数的图象是什么？图象的位置由谁决定？分别在哪些象限？2．反比例函数的图象是什么？图象的位置由谁决定？分别在哪些象限？ 反比例函数的图象是双曲线． 当k>0时，两支双曲线分别位于第一，三象限内， 当k<0时，两支双曲线分别位于第二，四象限内． 那么反比例函数有哪些性质呢？

  3. 教学目标 知识与能力 1．通过对反比例函数的图象和性质的探究，培养观察、比较、类比、联想、分析、归纳、概括的逻辑思维能力以及动手实践能力． 2．通过对反比例函数的图象和性质的探究，培养数形结合、分类讨论的数学思想方法． 3．通过实际问题的解决培养建模能力、创新意识和创新能力．

  4. 情感态度与价值观 过程与方法 通过经历观察、归纳、交流的过程，探索反比例函数的主要性质及其图像形状． 1．通过实际问题的解决，培养勇于探索、锲而不舍的精神． 2．获得亲自参与研究探索的情感体验，从而增强学习数学的热情．

  5. 1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0） 的图象是什么？其性质有哪些？

  6. y y b>0 b<0 b=0 b=0 o o x x b<0 b<0 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，称直线y=kx+b． • 当k>0时， • 当k<0时， y随x的增大而减小． y随x的增大而增大；

  7. 2．画函数图象的方法是什么？其一般步骤 有哪些？ 描点法，一般步骤是列表、描点、连线． 3．反比例函数的图象是什么样呢？

  8. 例1 画出反比例函数 和 的函数图象． （1）这个函数中自变量的取值范围是什么？ 因为分母不能为零，所以 x≠ 0． （2）画函数图象的三个步骤是什么？ 函数图象画法 描点法 描 点 列 表 连 线

  9. 1．先作函数 的图象． 解： （1）列表：列表表示几组x与y的对应值． -1 -2 -4 -8 2 1 8 4

  10. 作反比例函数图象时应注意的问题： （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值； （2）列表描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确地表达函数的变化趋势； （3）连线时一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，切忌画成折线； （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．

  11. y 8 7 6 5 4 3 2 1 x 7 8 -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 -7 -6 -1 6 -8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 （2）描点：以表中各对对应值为坐标，画出各点． ． . ． ． ． . . ． ． ． . .

  12. （3）连线：用平滑的曲线顺次将这些点连接起来．（3）连线：用平滑的曲线顺次将这些点连接起来． ． y 8 7 6 5 . 4 ． 3 ． 2 ． . 1 . ． ． -8 x 7 8 -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 4 5 -7 -6 -1 6 ． -1 -2 . -3 -4 -5 -6 -7 . -8

  13. 2．作出函数 的图象． （1）列表：列表表示几组x与y的对应值． 1 2 4 -4 -2 -1 8 -8

  14. （2）描点：以表中各对对应值为坐标，画出各点．（2）描点：以表中各对对应值为坐标，画出各点． y . 6 5 . 4 3 . 2 ． ． 1 ． . ． x 0 -6 -5 -3 -1 1 2 3 4 -4 5 -2 6 . ． -1 . -2 -3 ． -4 -5 -6 ．

  15. （3）连线：用平滑的曲线顺次将这些点连接起来．（3）连线：用平滑的曲线顺次将这些点连接起来． y . 6 5 . 4 3 . 2 ． ． 1 ． . ． x 0 -6 -5 -3 -1 1 2 3 4 -4 5 -2 6 . ． -1 . -2 -3 ． -4 -5 -6 ． ．

  16. y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -2 x 0 5 6 -3 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6

  17. （1）函数 和函数 的图象分别在哪两个象限？ （2）它们之间有什么相同点和不同点？ （1）函数 的图象在第一和第三象限，函数 的图象在第二和第四象限． （2）它们都由两条曲线组成，并且随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴． 在同一直角坐标系内，反比例函数 与 的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．

  18. 在平面直角坐标系中画出反比例函数 和 的函数图象． 小练习

  19. y 6 5 4 3 2 1 x o -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6

  20. y 6 5 4 3 2 1 x o -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6

  21. 6 y = x y y 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6

  22. y y x 0 1 1 x 0 小练习 （1）反比例函数 的图象是由________组成 的． k<0 k>0 两支曲线 三 一 （2）当 k>0 时，两支曲线分别位于第___、___象限， 减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而 _____； 二 四 （3）当 k<0 时，两支曲线分别位于第___、___象限. 增大 在每一象限内，y的值随x值的增大而_____．

  23. 知识要点 反比例函数 （k为常数，k≠0） 图象的性质： （1）反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当 k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大． （3）反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．

  24. 1．（2007湖南岳阳）在图中反比例函数 的图象大致是（ ） 小练习 y y y y x x x x O O O O A B C D D

  25. 2．（2007甘肃兰州）老师给出了一个函数，甲、2．（2007甘肃兰州）老师给出了一个函数，甲、 乙、丙三位学生分别指出了这个函数的一个性 质， 甲：第一象限内有它的图象； 乙：第三象限内有它的图象； 丙：在每个象限内，随的增大而减小． 请你写一个满足上述性质的函数解析________．

  26. 解： 设反比例函数解析式为 （k≠0） 例2 已知反比例函数的图象经过点A（2 ，-5） （1）求函数的解析式，并说出这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？ 因为图象经过点（2，-5） 把x=2，y=-5 代入得 k=-10 所以， 因为k<0，所以这个函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．

  27. 解：把点B、C、D和E的坐标代入 ，可知点D，E的坐标满足函数关系式，点B、点C的坐标不满足函数关系式，所以点D、点E在函数 的图象上，点B、点C不在这个函数的图象上． 解： 因为点M（5 ， a）在图象上，把x=5，y= a代入 , 得： （2）点B（1，3）、C （2，4）、 D （-5，2）和 E （2.5，-4）是否在这个函数图象上？ （3）若点M（5 ， a）在该图象上，求a的值． a=-2．

  28. （2007新疆乌鲁木齐）若反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象经过点（3，-4），则下列各点在该函数图象上的是（　　） 小练习 C A．（6，-8） B．（-6，8） C．（-3，4） D．（-3，-4）

  29. 例3 图是反比例函数 的图像的一支．根据图像回答下列问题： （1）图像的另一支在哪个象限？常数a的取值范围是什么？ （2）在这个函数图像的某一支上任取点A（m，n）和点B（m′，n′） ．如果m>m′，那么n和n′有怎样的大小关系？

  30. 解：（1）反比例函数图像的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限．这个函数的图像的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．解：（1）反比例函数图像的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限．这个函数的图像的一支在第一象限，则另一支必在第三象限． 因为这个函数的图像分布在第一、第三象限， 所以 a+6>0 解得 a>-6 （2）因为a+6>0，在这个函数图像的任一支上，y随x的增大而减小， 所以当m>m′时，n<n′．

  31. 1．（2007山东泰安）已知三点P1（x1，y1）， P2（x2，y2），P3（1，-2），都在反比例函 数 的图象上，若x1<0，x2>0，则下列 式子正确的是（ ） A．y1<y2<0 B．y1<0<y2 C．y1>y2>0 D．y1>0>y2 小练习 D

  32. 解：（1）设P（m，n）是双曲线 （k≠0） 上任意一点，过P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A、B，则 S矩形OAPB=OA·OB=|m|·|m|=|k| 例4 在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？

  33. （2）设P（m，n）是双曲线 （k≠0）上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为A，则 S△OAP= OA·OP= |m|·|m|= |k|

  34. 1．如图，过反比例函数 （x＞0）的图象上 任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的 面积分别是S1、S2，比较它们的大小，可得 （ ） 小练习 B A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．大小关系不能确定

  35. y P C A o x 2．如图，P是反比例函数图象上的一点，由P 分别向x轴，y轴引垂线，阴影部分面积为 3，求这个反比例函数的解析式． 解：S矩形OAPB=|k|，∴|k|=3， 又因为图象在第二象限， ∴k= -3， ∴此反比例函数的解析式为

  36. y A o x B 3．反比例函数y=m/x与一次函数y=kx+b交于点 A（1，8），和B（4，2），则三角形AOB 的面积是________ 15

  37. y P o x P1 Q 4．（2007年中考试题）如图所示：p在反比例 函数y=2/x上，P点关于原点对称的点是P1， 过P，P1作x轴，y轴的平行线交于点Q，则 △PP1Q的面积是____． 4

  38. 课堂小结 反比例函数的图象和性质： （1）反比例函数的图象是双曲线； （2）图象性质： k<0 k>0 图象

  39. k>0 k<0 当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 当k＞0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． 性质 （3）在反比例函数图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的面积总等于常量∣K∣．

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