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Spieltheoretische Koalitionsverhandlungen. Thema: Agentenbasierte Koalitionsverhandlungen. Paper: Coalitions among Computationally Bounded Agents. Themen. Grundlagen Bedingungen für Koalitionsstrukturen Core- Stabilität der Koalitionsstrukturen Stabilität von Koalitionsstrukturen.

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Presentation Transcript
spieltheoretische koalitionsverhandlungen

Spieltheoretische Koalitionsverhandlungen

Thema:

Agentenbasierte Koalitionsverhandlungen

Paper:

Coalitions among Computationally Bounded Agents

themen
Themen
  • Grundlagen
  • Bedingungen für Koalitionsstrukturen
  • Core- Stabilität der Koalitionsstrukturen
  • Stabilität von Koalitionsstrukturen

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

grundlagen
Grundlagen
  • Set aller Agenten: A
  • niedrigste Kosten, die eine Gruppe S erzielen kann:
  • Charakteristische Funktion, Wert einer Koalition S angibt:
  • Auszahlung eines Agenten i: xiЄR
  • Allgemeinwohl ist die Summe der Auszahlung aller Agenten
  • wenn für alle disjunkte Koalitionen

gilt:

dann ist das Spiel superadditiv

sonst:

ist das Spiel subadditiv

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

grundlagen1
Grundlagen
  • Agenten koordinieren ihre Berechnungen und Weltaktionen innerhalb jeder Koalition
  • keine Koordination zwischen Koalitionen
  • In verteilten, kooperativen Problemlösungssystemen bestimmt ein Designer ein Interaktionsprotokoll und eine Strategie
    • Frage: welche Struktur bei gegebenem Protokoll und Strategie
  • In Multiagentensystemen können die Agenten jedoch ihre eigene Strategie auswählen
    • Selbstorientierte Agenten wählen die beste Strategie, für sich selbst
    • Frage: Bei gegebenem Protokoll, welche Struktur entsteht, die garantiert, dass die lokale Strategie eines jeden Agenten am besten für ihn ist?
    • Diese Strategie wird somit von diesem Agenten benutzt.

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

grundlagen2
Grundlagen

Core

Wert jeder Teilgruppe S an Agenten ist nicht größer als die Summe der Auszahlungen der Agenten in CS

perfekte Rationalität:

Algorithmen, die die optimale Lösung mit Null Berechnungskosten finden

  • Rationalität der Agenten ist jedoch durch die Berechnungskomplexität begrenzt
    • bei harten Problemen entstehen nicht zu begründende Kosten für die optimale Lösung
    • Folge: Qualität der Lösung wird gegen ihre Berechnungskosten aufgewogen
  • Erweiterung der klassischen Spieltheorie, die perfekte Rationalität annimmt

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

modell der beschr nkten rationalit t
Modell der beschränkten Rationalität
  • Berechnungsgrenzen quantitativ modelliert:

Berechnungskosteneinheiten:

ccomp ≥ 0 pro CPU Time

Koalitionkosten von S, nachdem Berechnungsressourcen rS verbraucht wurden:

cS(rS) ≥ 0

cS(rS) entspricht dem Leistungsprofil für den Problemlösungsalgorithmus

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

modell der beschr nkten rationalit t1
Modell der beschränkten Rationalität
  • Jede Koalition minimiert die Summe aus den Koalitionskosten und den Berechnungskosten

Wert einer Koalition S:

vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]

  • Dieser Wert sinkt mit steigenden Berechnungskosten ccomp

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

beispiele
Beispiele

vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

koalitionen f r das allgemeinwohl
Koalitionen für das Allgemeinwohl

beschränkt rational superadditives Spiel (BRSUP)

Wenn für alle disjunkte Koalitionen

und Berechnungskosteneinheit ccomp

gilt:

dann ist das Spiel BRSUP

  • BRSUP Spiele sind immer Spiele, bei denen die große Koalition {A} das Algemeinwohl maximiert
  • bei gegebenen ccomp kann ein Spiel entweder superadditiv, BRSUP, beides oder keines von beiden sein

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

koalitionen f r das allgemeinwohl1
Koalitionen für das Allgemeinwohl

beschränkt rational subadditives Spiel (BRSUB)

Wenn für alle disjunkte Koalitionen

und Berechnungskosteneinheit ccomp

gilt:

dann ist das Spiel BRSUB

  • In BRSUB Spielen arbeiten die Agenten am besten alleine.
  • {{a1},{a2},{a3},…,{a|A|},} maximiert das Algemeinwohl
  • nur einige nicht-BRSUP Spiele sind beschränkt rational subadditiv

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

beispiel
Beispiel

vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

koalitionen f r das allgemeinwohl2
Koalitionen für das Allgemeinwohl
  • Wenn die Leistungsprofile cS(rS) und die Berechnungskosten ccomp bekannt sind, kann man den Ertrag einer jeden Koalitionsstruktur über ihre Koalitionen berechnen mit:

vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]

  • Es gibt jedoch einige generelle Ergebnisse, die diese Aufzählung über alle Koalitionen unnötig machen

Frage: Welche Leistungsprofile machen ein Spiel zu einem BRSUP oder BRSUB Spiel für beliebige Berechnungskosteneinheiten

  • Bei Ausführungen auf remote Rechnern sind die Berechnungskosten unbekannt

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

garantie f r zusammenschl sse
Garantie für Zusammenschlüsse
  • Hilfe bietet Theorem 3.1, dass eine hinreichende Bedingung darstellt, die garantiert, dass 2 beliebige, disjunkte Koalitionen unabhängig von den Berechnungskosteneinheiten ccomp fusionieren sollten

Theorem 3.1 BRSUP (hinreichende Bedingung):

Wenn für alle disjunkten Koalitionen

und alle Berechnungszuteilungen

gilt:

dann ist das Spiel BRSUP für alle Berechnungskosteneinheiten ccomp

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

garantie f r zusammenschl sse1
Garantie für Zusammenschlüsse
  • In der Theorie ist Theorem 3.1 immer erfüllbar, da der Problemlösungsalgorithmus c(r) zuerst rS verbrauchen kann um Problem von S zu lösen und dann rT für T
  • Folge: beste Koalitionsstruktur ist die große Koalition {A}
  • Theorem 3.1 ist keine notwendige Bedingung im allgemeinen

Theorem 3.2:

Gilt:

für alle disjunkten Koalitionen

und alle Berechnungszuteilungen

das Spiel ist BRSUP für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

garantie f r zusammenschl sse2

cU(r)

r

Garantie für Zusammenschlüsse

Theorem 3.3 BRSUP (notwendige und hinreichende Bedingung):

Ist cU(r) fallend und convex in r, für jedes

und gilt:

für alle disjunkten Koalitionen

und alle Berechnungszuteilungen

genau dann ist das Spiel BRSUP für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp

  • cU(r ) ist oft konvex, da größere Verbesserungen am Anfang mit wenigen Rechenschritten gefunden werden können, als später bei fast optimalen Zuständen

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

beispiel zusammenschl sse
Beispiel Zusammenschlüsse

vS(ccomp)= minrS[cS(rS) + ccomp * rS]

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

garantie f r aufteilungen
Garantie für Aufteilungen

Theorem 3.4 BRSUB (hinreichende Bedingung):

Gilt:

für alle disjunkten Koalitionen

und alle Berechnungszuteilungen

=>

dann ist das Spiel BRSUB für beliebige Berechnungskosteneinheiten ccomp

  • Ein Spiel kann beschränkt rational subadditiv sein auch wenn Theorem 3.4 nicht gilt
  • Anders als bei der beschränkt rationalen Supperadditivität wird diese Implikation nicht zu einer Äquivalenz

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

beispiel1

vU(ccomp)= minrU[cS(rU) + ccomp * rU]

Beispiel

Wenn z.B. Kosten bei Koalitionsbildung entstehen, die nicht

durch Optimierung der Kostenfunktion wieder weggemacht

werden können, dann ist dieses Spiel BRSUB

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

core stabilit t der koalitionsstruktur
Core- Stabilität der Koalitionsstruktur
  • Stabilität der Auszahlungskonfiguration analysiert anhand des „Core“ –Lösungskonzepts

Wiederholung:

Core: „Der Core eines Spiels ist ein Set von stabilen Auszahlungskonfigurationen (x, CS), x ist ein Vektor von Auszahlungen an die Agenten“

stabil: „Konfiguration wird als stabil angesehen, wenn keine Untergruppe von Agenten ihre Auszahlung vergrößern kann, indem sie die Koalition verlässt und eine neue Koalition gründet“

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

core stabilit t der koalitionsstruktur1
Core- Stabilität der Koalitionsstruktur

beschränkt rationale Core (BRC)

bei Berechnungskosteneinheiten ccomp

ist der

  • Wenn der BRC nicht leer ist, können beschränkt rationale Agenten ihre Erträge untereinander verteilen, ohne dass eine Teilgruppe die Koalitionsstruktur verlassen will

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

core stabilit t der koalitionsstruktur2
Core- Stabilität der Koalitionsstruktur

Theorem 4.1 BRC in BRSUB Spielen:

Wenn ein Spiel, bei gegebenen ccomp, BRSUB ist

=>

dann ist

  • In Spielen, die nicht BRSUB sind ist BRC manchmal leer
  • Erinnerung BRSUB:

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

definitionen
Definitionen

Seien B1,…,Bp verschiedene, nicht leere Teilmengen von A.

Das Set B = {B1,…,Bp} nennt man balanciert,

wenn positive Koeffizienten existieren, sodass gilt:

ein minimal balanciertes Set enthält keine anderen balancierten Sets

Ein minimal balanciertes Set wird proper genannt, wenn kein Paar disjunkt ist.

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

beispiele1

: proper sets

Beispiele

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

core stabilit t der koalitionsstruktur3
Core- Stabilität der Koalitionsstruktur

Theorem 4.3 BRC in BRSUP Spielen

(notwendige und hinreichende Bedingungen):

Wenn bei gegebenen ccomp, ein Spiel BRSUP ist,

und für jedes proper minimal balanciertes Set B = {B1,…,Bp} gilt:

<=>

genau dann ist

  • Dieses Set an Ungleichungen ist minimal, kein kleineres Set ist ausreichend als Bedingung

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

core stabilit t der koalitionsstruktur4
Core- Stabilität der Koalitionsstruktur

Theorem 4.2 BRC in beschränkt rationalen großen Koalitionsspielen

(notwendige und hinreichende Bedingungen):

Wenn bei gegebenen ccomp, {A} den Allgemeinwohl maximiert,

und für jedes minimal balanciertes Set B = {B1,…,Bp} gilt:

<=>

genau dann ist

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

core stabilit t der koalitionsstruktur5
Core- Stabilität der Koalitionsstruktur

Theorem 4.5 BRC in BRSUP Spielen

(hinreichende Bedingungen über Kostenfunktion):

Wenn bei gegebenen ccomp, das Spiel BRSUP ist,

und [für jedes proper minimal balanciertes Set β = {B1,…,Bp}

gilt:

=>

dann ist

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

core stabilit t der koalitionsstruktur6
Core- Stabilität der Koalitionsstruktur

Theorem 4.4 BRC in beschränkt rationalen großen Koalitionsspielen

(hinreichende Bedingungen über Kostenfunktion):

Wenn bei gegebenen ccomp, {A} den Allgemeinwohl maximiert,

und [für jedes minimal balanciertes Set β = {B1,…,Bp}

gilt:

=>

dann ist

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

zusammenfassung
Zusammenfassung
  • Multiagentensysteme in denen Agenten ihre Strategie selbst wählen dürfen
  • BRSUP

hinreichende, notwendige Bedingung die Garantie für Zusammenschlüsse liefern

  • BRSUB

nur hinreichende Bedingung die Garantie für Aufteilungen liefern

  • Core- Stabilität der Koalitionsstruktur
    • BRC in BRSUB Spielen
    • BRC in BRSUP Spielen und großen Koalitionsspielen
    • BRC in BRSUP Spielen abhängig von Kostenfunktion

Spieltheorie - Peter Kaczmarczyk

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