abc     

1. MATEMATIKA 2 abc UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

2. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI DIFERENCIALNE ENAČBE Diferencialna enačbaje funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. diferencialnaenačbazaykotfunkcijox diferencialnaenačba 2. reda Reddiferencialne enačbeje red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa. diferencialnaenačba3. reda parcialna diferencialna enačba (2. reda) Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe 2 MATEMATIKA 2

3. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI F(x,y,y’)=0 splošna oblika diferencialne enačbe 1. reda Rešitev diferencialne enačbeje funkcijay=y(x),pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0za vse x na nekem definicijskem območju. Enačba mora biti izpolnjena za vsex na nekem intervalu. 3 MATEMATIKA 2

4. DIFERENCIALNE ENAČBE OSNOVNI POJMI je rešitev enačbe je tudi rešitev enačbe je prav tako rešitev zgornje enačbe... Diferencialne enačbe imajo praviloma veliko rešitev, kar je posledica dejstva, da odvajanje ni injektivno. Velja: diferencialna enačba reda n ima splošno rešitev,ki je odvisna od nparametrov. 4 MATEMATIKA 2

5. DIFERENCIALNE ENAČBE GEOMETRIČNI POMEN GEOMETRIČNI POMEN DIFERENCIALNE ENAČBE y=y(x)je rešitev enačbey’=f(x,y) smernikoeficienttangentenagraf rešitve v točki x0je enak f(x0,y(x0)) funkcijaf(x,y)določapolje smeri: pri vsaki točki (x,y) z majhno puščico označimo smer s koeficientom f(x,y). krivulja, ki je v vseh svojih točkah tangentna na polje smeri, je graf ene izmed rešitev diferencialne enačbe f(x,y)=x-y 5 MATEMATIKA 2

6. DIFERENCIALNE ENAČBE GEOMETRIČNI POMEN Polje smeri, določeno s f(x,y)=-y-sin3x. Rešitve se za x - malo razlikujejo, za x + pa povsem divergirajo. Polje smeri, določeno s f(x,y)=x2-y2+1in nekaj rešitev pripadajoče diferencialne enačbe. Vse rešitve imajo skupno asimp-toto, t.j. trend. 6 MATEMATIKA 2

7. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE FIZIKALNI PRIMER: RADIOAKTIVNI RAZPAD Hitrostrazpadanjaradioaktivnesnovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5gizotopa14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)? y=y(t)količina snovi v trenutku t y’=-kykje sorazmernostnifaktor med količinosnovi in hitrostjorazpadanja(npr. za 14C je k=3.83 10-12 s-1) y(0)=C, torej je Cravno začetna količina opazovanesnovi Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema. Hitrostrazpadanjapogostopodamo z razpolovnodoboT:zveza s k je kT=ln2 Razpolovnadoba14Cje (0.6931/3.83) 1012 s ≈ 5730 let. 7 MATEMATIKA 2

8. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE kozmični žarki stopnja radioaktivnosti 0 let 5730 let 11460 let 17190 let starost DATIRANJE S 14C Rastlineabsorbirajo CO2 vbiosfero. Razmerje med 12C in14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi. Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žarkov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2. Razmerje med 14CO2 in 12CO2 v atmosferi je dokaj stabilno. Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti. 8 MATEMATIKA 2

9. DIFERENCIALNE ENAČBE PROBLEM ZAČETNE VREDNOSTI Pridiferencialnihenačbahobravnavamodvatipanalog: • iskanje splošne rešitve splošna rešitev enačba • začetni problem iščemo rešitev enačbe, ki ima v nekaterih točkah predpisane funkcijske vrednosti ali morda vrednosti odvodov začetni problem rešitev 9 MATEMATIKA 2

10. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI DIFERENCIALNE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI V diferencialni enačbi 1. reda lahko ločimo spremenljivki, če jo lahko zapišemo v obliki nista enačbi z ločljivimi spremenljivkami 10 MATEMATIKA 2

11. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Reševanje enačb z ločljivimi spremenljivkami U(y)primitivnafunkcijazau(y) V(x)primitivnafunkcijazav(x) implicitna oblika splošne rešitve 11 MATEMATIKA 2

12. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Pogosto srečamo enačbe, pri katerih je odvod sorazmeren funkcijski vrednosti, vendar se sorazmernostni faktor odvisen od x. spremenljivk se ne da ločiti! 12 MATEMATIKA 2

13. DIFERENCIALNE ENAČBE ENAČBE Z LOČLJIVIMI SPREMENLJIVKAMI Začetni problem pri enačbah z ločljivimi spremenljivkami 13 MATEMATIKA 2

14. DIFERENCIALNE ENAČBE POVZETEK • Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. • Rešitev DE je funkcija y=y(x),kizavsexustrezaenačbi. Število prostih parametrov, • od katerih je odvisna rešitev je enako redu enačbe. • Geometrično je rešitev DE vsaka krivulja, ki je tangentna na polje smeri. • Začetni problem je iskanje rešitve DE, ki ustreza nekim začetnim pogojem. • DE z ločljivimi spremenljivkami rešimo tako, da ločimo spremenljivki in potem integriramo vsako stran enačbe posebej. 14 MATEMATIKA 2

15. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE Primer modeliranja z DE Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo. y0...........začetna koncentracija tripsina y(t) ........... koncentracija tripsina v časut y’=ky...........hitrostnastajanja je sorazmernakoncentraciji začetni problem: rešitev: y=y0ekt Model napovedujeeksponentnoin neomejeno rastkoličinetripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato moramo poiskati ustreznejši model. 15 MATEMATIKA 2

16. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogenaC, začetna koncentracija tripsina pa y0dobimo začetni problem: Logistična krivulja: model predvideva, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila. 16 MATEMATIKA 2

17. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE Logistična krivulja je dober model za omejeno rast, vendar ni vedno povsemustrezna. Npr. pri tumorjih število rakastih celic najprej narašča eksponencialno, potem pa se rast umiri in sčasoma ustavi. S poskusi so ugotovili, da krivulja naraščanja ni logistična temveč t.im. Gompertzova krivulja (ena od vidnih razlik je, da prinjejprevoj nastopi precej prej kot pri logistični). Gompertzova krivulja Gompertzova funkcija logistična krivulja 17 MATEMATIKA 2

18. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE Diferencialnaenačbapomeni, da število rakastih celic narašča sorazmerno z velikostjo tumorja, vendar se sorazmernostni faktor spreminja s časom. Vzroke za spremembo razlagajo različno: Eksperimentalno ugotovljeno zakonitost poskusimo razložiti tako, da pogledamo, kateri diferencialni enačbi ustrezaGompertzovafunkcija. a s staranjem se reproduktivna moč celic zmanjšuje reproduktivni faktor se ne spreminja, vendar je naraščanje sorazmerno le z delom števila celic v tumorju, ker se v notranjosti tumorja ustvari nekrotično območje 18 MATEMATIKA 2

19. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE LINEARNE DIFERENCIALNE ENAČBE 1. REDA 19 MATEMATIKA 2

20. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE • izračunamo integral ; • izračunamo integral ; • splošna rešitev enačbe je REŠEVANJE LDE 1. REDA 20 MATEMATIKA 2

21. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE ZAČETNI PROBLEM ZA LDE 1.REDA 21 MATEMATIKA 2

22. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE RL-ELEKTRIČNI KROG Kakšen je tok v krogu s konstantnim virom napetostiE0? padec napetosti na tuljavi: EL=LI’ L • vir napetosti: • E=E(t) R ER=RI padec napetosti na uporu: Kirchhoffov zakon:E=ER+EL LDE 1.reda 22 MATEMATIKA 2

23. DIFERENCIALNE ENAČBE MODELIRANJE 23 MATEMATIKA 2

24. DIFERENCIALNE ENAČBE REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB • REŠLJIVOST DE 1. REDA 24 MATEMATIKA 2

25. DIFERENCIALNE ENAČBE REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB PICARDOVA ITERACIJSKA METODA • Numerična metoda za reševanje DE 1.reda, ki obenem daje zadostne pogoje za rešljivost DE 1.reda. (Podobno smo pri Newtonovi metodi enačbo f(x)=0 preoblikovali v x=g(x).) Tvorimo zaporedje funkcij y0(x), y1(x), y2(x),...po rekurzivnem pravilu: (če je f zvezna in če smemo odvajati limito) limitna funkcijay(x)je rešitev začetnega problema. 25 MATEMATIKA 2

26. DIFERENCIALNE ENAČBE REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB ...... Taylorjeva vrsta za funkcijo y(x)=ex. 26 MATEMATIKA 2

27. DIFERENCIALNE ENAČBE REŠLJIVOST DIFERENCIALNIH ENAČB Če staf(x,y)infy’(x,y)zvezni na neki okolici točke(x0,y0) potem začetni problem ima natanko eno rešitev y=y(x)na neki okolici točke x0. Če so izpolnjeni določeni pogoji, Picardove iteracije konvergirajo proti rešitvi začetnega problema, dobljena rešitev pa je enolična. Rešitve ni zmeraj mogoče podaljšati na celo realno os! 27 MATEMATIKA 2

28. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA LINEARNE DIFERENCIALNE ENAČBE 2. REDA Iz rezultatov o rešljivosti diferencialnih enačb sledi, da je ničelna množica dvodimenzionalna. Elementi ničelne množice so oblike yH=c1y1+c2y2, kjer sta y1in y2 linearno neodvisni rešitvi homogene enačbe. • 3. Splošna rešitev enačbe je oblike y=yP+c1y1+c2y2. Glavna težava pri LDE 2. reda je, v splošnem ni mogoče rešiti homogene enačbe. 28 MATEMATIKA 2

29. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA Dovolj je, če poznamo eno rešitev homogene enačbe: potem lahko izračunamo še eno neodvisno rešitev homogene enačbe ter partikularno rešitev nehomogene enačbe. =0 (A(x)primitivnafunkcijazaa(x)) 29 MATEMATIKA 2

30. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA = 0 = 0 30 MATEMATIKA 2

31. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA • Partikularnorešitev dobimo v obliki • kjer sta v,wdoločena z REŠEVANJE LDE 2.REDA • Poiščemo vsaj eno rešitev homogene enačbe • Druga rešitev homogene enačbe je dana z 31 MATEMATIKA 2

32. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA LDE 2. REDA S KONSTANTNIMI KOEFICIENTI • Primeri uporabe: • nihanja • električna vezja • modeliranje metabolizma ....... • preprosto rešljiva homogena enačba • lažje računanje posebne rešitve HOMOGENA ENAČBA Poskusimo z nastavkom: y=erx(po zgleduz LDE 1.reda) par realnih ničel dvojna realna ničla par konjugiranih kompleksnih ničel 32 MATEMATIKA 2

33. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA 1.primer: par realnih ničel r1,r2: splošna rešitev: 2.primer: dvojna realna ničlar splošna rešitev: 3.primer: par konjugirano kompleksnih ničel: α+iβ, α-iβ potrebujemo rešitve, ki so realne funkcije splošna rešitev 33 MATEMATIKA 2

34. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA 34 MATEMATIKA 2

35. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA NEHOMOGENA ENAČBA 1.način rešitev iščemo v obliki in dobimo preprosto rešljiv sistem kjer je karakteristična enačba: rešitve kar. enačbe: rešitve homogene: partikularna rešitev: splošna rešitev: 35 MATEMATIKA 2

36. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA 2.način Za nekatere pomembne primere desnih strani lahko na podlagi izkušenj uganemo obliko rešitve in računamo le neznane koeficiente. Izjema: če je nastavek za yPrešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo zx(oz. z x2, če ima karakteristični polinom dvojno ničlo). Superpozicija: če je desna stran vsota izrazov iz levega stolpca tabele, potem tudi za nastavek vzamemo ustrezno vsoto. 36 MATEMATIKA 2

37. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA (ker sta exinxexrešitvi homogene enačbe) 37 MATEMATIKA 2

38. DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA REŠEVANJE LDE 2.REDA S KONSTANTNIMI KOEFICIENTI • Rešimo karakteristično enačbo • Na podlagi rešitev določimo bazične rešitve homogene enačbe • Nehomogeno enačbo rešimo z nastavkom Izjema: če je nastavek za yPrešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z xali z x2. • Splošna rešitev je y=yP+c1y1+c2y2. 38 MATEMATIKA 2

39. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA NIHANJA y0 y y-y0 y=y(t) odmikodravnovesnelege y’(t)hitrost y’’(t)pospešek mg=ky0 ravnovesna lega obremenjene vzmeti my’’ =mg-ky sile, kidelujejonautež nehomogena LDE 2. reda homogena LDE za odmik od ravnovesne lege 39 MATEMATIKA 2

40. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA • periodično nihanje z amplitudoL in frekvenco • frekvenca je odvisna le od mase uteži in trdote vzmeti, ni pa odvisna od amplitude Utež z maso m obesimo na vzmet in izmaknemo za L iz ravnovesne lege. Kako bo zanihala? (privzamemo veljavnost Hookovega zakona, zanemarimo upor in maso vzmeti) enačba prostega nihanja (isto enačbo dobimo, če pri običajnem nihalu in pri majhnih kotih nadomestimosinxzx) harmonično nihanje 40 MATEMATIKA 2

41. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA DUŠENO NIHANJE Sila dušenja je sorazmerna hitrosti (če hitrost ni prevelika) in ima nasprotno smer. koeficient dušenja enačba dušenega nihanja karakterističnaenačba: rešitve karakteristične enačbe: 41 MATEMATIKA 2

42. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA Če je koeficient dušenja dovolj majhen, vtež niha z amplitudo, ki eksponentno vpada s časom. Frekvenca nihanja je konstantna in je nekoliko manjša od frekvence nedušenega nihanja. 42 MATEMATIKA 2

43. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA Pri velikem koeficientu dušenja se vtež bodisi preprosto vrne v ravnovesno lego in v njej obmiruje ali pa enkrat zaniha in potem obmiruje v ravnovesni legi. V mejnem primeru se zgodi podobno kot v primeru velikega koeficienta dušenja. 43 MATEMATIKA 2

44. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA VSILJENO NIHANJE zunanja sila, ki deluje na vzmet lastna frekvencaprosteganihanja Splošna rešitev: Posebno rešitev dobimo z: - nastavkom - variacijo konstant - integralsko formulo f(t) - rešitev začetnega problemay(0)=y’(0)=0 - primernatudizaodsekomazveznedesnestrani 44 MATEMATIKA 2

45. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA en signal sproži harmonično nihanje posamezni signali spremenijo amplitudo, frekvenca se ne spreminja periodični signal s frekvenco nesorazmerno z lastno frekvenco povzroči neurejeno nihanje 45 MATEMATIKA 2

46. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA periodični signal s frekvenco enako lastni povzroči resonanco periodični signal s frekvenco blizu lastne povzroči utripanje 46 MATEMATIKA 2

47. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA Zakaj pride do resonance? zunanjasila: nastavek: splošna rešitev: amplituda neomejeno narašča amplituda linearno narašča 47 MATEMATIKA 2

48. DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA DUŠENO VSILJENO NIHANJE Resonančna krivulja Ojačenje kot funkcija frekvence spodbujanja za različne vrednosti koeficienta upora (k=1, m=1): • superpozicija dveh nihanj; drugo postane sčasoma zanemarljivo (prehodno stanje ⇒ stacionarno stanje) • v stacionarnem stanju je frekvenca enaka frekvenci spodbujanja, amplituda pa je odvisna od mase, koeficienta upora ter razlike med frekvenco spodbujanja in lastno frekvenco dušenega nihanja. • Amplituda pri dušenem vsiljenem nihanju ne narašča čez vse meje, ko gre ωω0 Razmerje med amplitudo spodbujanja in amplitudo nihanja – ojačenje–je 48 MATEMATIKA 2

49. DIFERENCIALNE ENAČBE ELEKTRIČNI KROG RLC ELEKTRIČNI KROG EL=LI’ Padecnapetostina ... - uporu je sorazmeren toku; E(t) - tuljavi je sorazmeren spremembi toka; - kondenzatoru je sorazmeren naboju. ER=RI upoštevamoI=Q’: 49 MATEMATIKA 2

50. DIFERENCIALNE ENAČBE ELEKTRIČNI KROG induktancatuljaveL uporR recipročje kapacitivnosti 1/C odvod napetosti iz vira E’(t) električni tok I 2. Kirchhoffov zakon masam (inercija) koeficient dušenjac(viskoznost) koeficient elastičnostik zunanja silaF(t) odmikodravnovesjay 2. Newtonov zakon RLC krog z izmeničnim (sinusnim) virom napetosti(R>0): -prehodnemu toku sledi stacionarni električni tok; - frekvenca stacionarnega toka je enaka frekvenci vira; - amplituda stacionarnega toka je odvisna od induktance, kapacitivnosti in razlike med frekvenco vira in lastno frekvenco RLC kroga - kose frekvencavirapribliža lastni frekvenci pride do utripanja in do resonance 50 MATEMATIKA 2