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第 Ⅱ 部 協力ゲームの理論

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第 Ⅱ 部 協力ゲームの理論. 第 7 章 交渉問題. 2008/07/01( 火 ) ゲーム理論合宿 M1 北川直樹. 内容. 交渉問題の定式化 交渉問題の基準点 共同混合戦略と実現可能集合 交渉問題の定式化 均等解と功利主義的解 均等解 功利主義的解(和の最大化による解) ナッシュ解 交渉の公準 ナッシュ解の一意性 カライ/スモロデンスキー解 公平な交渉. 交渉の基準点. 例1 非協力2人ゲーム 各プレイヤーが最悪の場合でも期待される利得は    マックスミニ値( 2, 3 )←交渉の基準点. プレイヤー2. プレイヤー1.

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Presentation Transcript
slide1

第Ⅱ部 協力ゲームの理論

第7章 交渉問題

2008/07/01(火)

ゲーム理論合宿

M1 北川直樹

slide2
内容
  • 交渉問題の定式化
    • 交渉問題の基準点
    • 共同混合戦略と実現可能集合
    • 交渉問題の定式化
  • 均等解と功利主義的解
    • 均等解
    • 功利主義的解(和の最大化による解)
  • ナッシュ解
  • 交渉の公準
  • ナッシュ解の一意性
  • カライ/スモロデンスキー解
  • 公平な交渉
slide3
交渉の基準点
  • 例1 非協力2人ゲーム

各プレイヤーが最悪の場合でも期待される利得は

   マックスミニ値(2, 3)←交渉の基準点

プレイヤー2

プレイヤー1

slide4

交渉の基準点

交渉の基準点(2, 3)を念頭において話し合いを行い、

ともに戦略1をとることに合意した場合、利得は(6, 7)に改善

slide5
共同混合戦略と実現可能集合
  • 例2 逢引のジレンマ

彼女

非協力ゲームの場合、利得が(0,0)となる可能性がある。

そこで、話し合いをしてジャンケンでどちらに行くか決定する(協力ゲーム)

 協力ゲームの利得

  (3,1) or (1,3)

 期待値

1/2×3+1/2×1=2

slide6
共同混合戦略と実現可能集合
  • 非協力ゲームの実現可能集合S(ACBD)
    • 混合戦略
      • プレイヤー1の混合戦略:p(p1,p2)
      • プレイヤー2の混合戦略:q(q1,q2)
    • 利得の期待値
  • 協力ゲームの実現可能集合S(ABC)
    • 共同混合戦略
      • P = (p11, p12, p21, p22)

= ((野球,野球), (野球,芝居), (芝居,野球), (芝居,芝居))

    • 利得の期待値

ジャンケンで野球か芝居を決定

P=(1/2, 0, 0, 1/2)

S=(2, 2)

slide7
交渉問題の定式化
  • プレイヤーの集合
  • 交渉の基準点
  • 実現可能集合
    • 条件1 Sはn次元ユークリッド空間Rnの有界閉な凸集合
    • 条件2 基準点cをSに想定可能
    • 条件3 Sは、すべてのi∈Nについて、xi>ciなる点xを少なくとも1つ 含む
  • 交渉問題
  • 交渉の妥結点
  • 交渉解
slide8
交渉問題の定式化
  • 交渉の妥結点のみたすべき公準
    • 公準1 個人合理性
    • 公準2 強個人合理性
    • 公準3 パレート最適性(共同合理性、効率性)
    • 公準4 弱パレート最適性
  • 交渉領域
slide9
均等解
  • ルール
    • 利得を均等に配分した点を解とする
  • デメリット
    • 均等解がパレート最適とは限らない
slide10
功利主義的解(和の最大化)
  • ルール
    • 各プレイヤーの利得の和を最大とする点を解とする
  • デメリット
    • 利得の和が常に一定の場合、妥結点を決定不能
    • 交渉領域の多少の変動で、妥結点が大きく変動
    • 各プレイヤーが自己の利益を主張している場合は困難
slide11
ナッシュ解
  • ルール
    • 各プレイヤーの利得の積を最大とする点を解とする
    • ナッシュ積
    • ナッシュ解
slide12
ナッシュ解
  • 利得測定法からの独立性
    • プレイヤーの利得を1人ずつ独立に正1次変換をしても、本質的な変化はない

例)2人の場合に、利得の尺度がxからyに

と変換したとき、基準点dは

となり、尺度xのときの妥結点が、r=(r1,r2)=(2,2)ならば、

尺度yのときには、s=(s1,s2)=(5,9)となる。

slide13
2人交渉問題のナッシュ解
  • 例3

基準点c=(c1, c2)

プレイヤー2

共同合理性

プレイヤー1

slide14
2人交渉問題のナッシュ解

AB : y1+x2=8

AB : x1+2x2=16

d=(2, 3)

c=(4, 3)

slide15
2人交渉問題のナッシュ解

変換された利得によるナッシュ解

z1z2=K(一定)である点z=(z1, z2)は、z1軸、z2軸を漸近線

とする双曲線 ⇒ 妥結点 t = (1.5, 1.5)

 ⇒ 妥結点 s = (2×(1.5+2)=7, 1.5+3=4.5)

t=(1.5, 1.5)

d=(2, 3)

d=(0, 0)

slide16
交渉の公準

公準1 個人合理性

公準2 強個人合理性

公準3 パレート最適性

公準4 弱パレート最適性

公準5 利得の測定法からの独立性

 この公準をみたすとき基準点をc=0に変換可能なため、SをRnの正の領域の集合とした交渉問題(S,0)として記述できる。

slide17
交渉の公準

公準6 対称性

  • 2人交渉問題において、交渉領域Sが原点を通る45度線に関して対称で、かつ、ルールFによる妥結点における2人の利得が等しいとき

n人交渉問題(N,S,0)の実現可能集合Sは、以下のように定義する。

π:1からNまでの任意の置換(プレイヤー番号の付け替え)

条件1. プレイヤーの番号を付け替えても交渉領域に不変

条件2. 全プレイヤーの受け取る利得が同じ

このとき、交渉解Fは対称性をもつ

slide18
交渉の公準

公準7 無名性(匿名性)

  • プレイヤーの番号を付け替えたとき、交渉領域が前と同じではないが、妥結点でプレイヤーの受け取る利得が番号の付け方とは独立で、匿名にしても変わらない

n人交渉問題(N, S, 0)において任意の置換

πに対して、交渉解をF(S)とすると

のとき、ルールFは無名性

2人交渉問題の場合

slide19
交渉の公準

公準8 無関係な代替案からの独立性

  • 交渉問題(S, c)が与えられ、妥結点sが存在するとき、cとsを含むSの部分集合Tを考えて、交渉の場を(T, c)に変えても、以前sが妥結点で存在する

2つの交渉問題(S, c)と(T, c)が

slide20
交渉の公準

公準8 全体と部分との整合性、または縮小ゲーム性

  • N={1, 2, 3}の3人交渉問題(N, T, 0)

妥結点 t=(t1, t2, t3)

  • N´={1, 3}の2人交渉問題(N´, T, 0)

妥結点 s=(s1, s3)

もし、t1<s1ならば、プレイヤー1は3とだけ交渉する

ルールの妥当性

プレイヤー2の利得をt2に固定

slide21
ナッシュ解の一意性

定理1 ナッシュの定理(1950)

  • 2人交渉問題で次の5つの公準をみたす解は、ナッシュ解に限る
    • 個人合理性、パレート最適性、利得測定法からの独立性、対称性、

無関連な代替案からの独立性

定理2 ロスの定理(1977)

  • n人交渉問題で次の4つの公準をみたす解は、ナッシュ解に限る
    • 強個人合理性、利得測定法からの独立性、対称性、無関連な代替案からの独立性
  • n人交渉問題で次の3つの公準をみたす解は、ナッシュ解か

非合意解 (F(S) = c = 0)

    • 利得測定法からの独立性、対称性、無関連な代替案からの独立性

定理3 レンズベルクの定理(1985)

  • n人交渉問題で次の5つの公準をみたす解は、ナッシュ解に限る
    • 個人合理性、パレート最適性、利得測定法からの独立性、匿名性、

全体と部分との整合性

slide22
カライ/スモロデンスキー解
  • 単調性をみたさないナッシュ解

交渉問題がS→T(S⊂T)に変化(交渉領域の拡大)

このとき、ナッシュ解は

交渉領域が拡大したことで、プレイヤー2の利得が減少

交渉領域が拡大しても、各プレイヤー

の利得は減少しないという公準が必要

  カライ/スモロデンスキー解

slide23
カライ/スモロデンスキー解
  • 最大限度額
    • 2人交渉問題において、交渉領域(S)内でのプレイヤーiの利得の上限をプレイヤーiの最大限度額M(S)iと呼び、最大限度額の組を交渉問題と理想点と呼ぶ

公準10 個人単調性

2つの2人交渉問題(S)と(T)において

解Fは個人単調という

slide24
カライ/スモロデンスキー解
  • ルール
    • 基準点と理想点を結ぶ直線と交渉領域のパレート最適な点の集合との交点を解とする

Pa(S):交渉領域Sのパレート最適な点の集合

L(c, M):基準点cと理想点Mとを結ぶ直線

利得は各プレーヤーの最大限度額の比で分配

slide25
カライ/スモロデンスキー解

定理4 カライ/スモロデンスキーの定理(1950)

  • 2人交渉問題で次の5つの公準をみたす解は、カライ/スモロデンスキー解に限る
    • 個人合理性
    • パレート最適性
    • 利得測定法からの独立性
    • 対称性
    • 個人単調性

カライ/スモロデンスキー解は、ナッシュ解の5つの公準

の中で無関係な代替案からの独立性の公準を個人単調

性に置き換えたもの

slide26
4つの交渉解

均等解

功利主義的解

ナッシュ解

カライ/スモロデンスキー解

10の公準

個人合理性

強個人合理性

パレート最適性

弱パレート最適性

利得の測定法からの独立性

対称性

無名性

無関連な代替案からの独立性

全体と部分との整合

個人単調性

公平な交渉(まとめ)
slide27
公平な交渉(まとめ)
  • 新たな交渉解の定義
    • ナッシュ解やカライ/スモロデンスキー解とは異なる公準の組から交渉解を定義し、違う交渉のあり方に関する理論を得ることができる
  • 状況判断と適切な交渉解の適用
    • ナッシュ解は、妥結点の近傍での交渉が重要な問題

カライ/スモロデンスキー解は最大貢献度が重要な問題

  • 人々の公平観と自身の人間性
    • 多数の人が熱心に交渉に臨むほど、妥結点は共通の公平観のもとで成立する。そこには、技術や論理を越えた哲学的、道徳的な感性も大変重要である
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おまけ
  • 練習問題
    • 身近な交渉問題に対して、いかなる公準を考慮し、解を提示すれば公平なのか議論せよ
    • 例題
      • エキカマチコンペの賞金3万円の分配方法
      • スタバジャンケンのコーヒーサイズの選択方法
      • 焼肉北京で同じテーブルに座るメンバーの決定方法