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第六节 带电粒子在匀强磁场中的运动. 课标解读 1. 理解带电粒子在 B 和 v 垂直的情况下在匀强磁场中做匀速圆周运动 . 2. 会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期 , 并运用相关规律解答有关问题 . 3. 知道质谱仪和回旋加速器的构造和原理. 课前自主学习 一 ､ 带电粒子在匀强磁场中的运动. 1. 沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子 , 在匀强磁场中做 匀速圆周运动 , 洛伦兹力的方向始终与速度方向 垂直 , 起到了 向心力 的作用 , 公式 :. 2. 轨道半径 , 周期. 二 ､ 质谱仪和回旋加速器 1. 质谱仪
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课标解读 1.理解带电粒子在B和v垂直的情况下在匀强磁场中做匀速圆周运动. 2.会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径和周期,并运用相关规律解答有关问题. 3.知道质谱仪和回旋加速器的构造和原理.
课前自主学习 一､带电粒子在匀强磁场中的运动 1.沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子,在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力的方向始终与速度方向垂直,起到了向心力的作用,公式: 2.轨道半径 ,周期
二､质谱仪和回旋加速器 1.质谱仪 (1)质谱仪是利用电场和磁场控制电荷运动的精密仪器,它是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具,其结构如图所示.
(2)加速:带电粒子进入质谱仪的加速电场,由动能定理得(2)加速:带电粒子进入质谱仪的加速电场,由动能定理得 (3)偏转:带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,打在照相底片不同的位置,在底片上形成若干谱线状细线,叫做质谱线,每一条谱线对应于一定的质量,从谱线的位置就可以知道圆周的半径,如果再知道粒子的电荷量,就可以算出它的质量.
2.回旋加速器 为了探索原子核内部的构造,需要高速带电粒子充当微型“炮弹”轰击原子核,从而引起原子核内部的变化,高速带电粒子需要回旋加速器来加速达到目的,其主要由两个D形盒构成,如图所示.
课堂互动探究 一､带电粒子在磁场中的运动 带电粒子以一定的初速度v进入匀强磁场,在只受洛伦兹力的条件下,我们讨论三种典型的运动. 1.匀速直线运动:若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(相同或相反),此时带电粒子所受洛伦兹力为零,带电粒子将以入射速度v做匀速直线运动.
2.匀速圆周运动:若带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场,由于洛伦兹力始终和运动方向垂直,因此不改变速度的大小,但不停地改变速度的方向,如果仅受洛伦兹力,洛伦兹力在与速度与磁场垂直的平面内没有任何力使带电粒子离开它原来运动的平面,所以带电粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力.2.匀速圆周运动:若带电粒子垂直磁场方向进入匀强磁场,由于洛伦兹力始终和运动方向垂直,因此不改变速度的大小,但不停地改变速度的方向,如果仅受洛伦兹力,洛伦兹力在与速度与磁场垂直的平面内没有任何力使带电粒子离开它原来运动的平面,所以带电粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供了匀速圆周运动的向心力.
如下图所示,电子以速度v垂直磁场方向入射,在磁场中做匀速圆周运动,设电子质量为m,电量为q,由于洛伦兹力提供向心力,则有 ,得到轨道半径 .①
由轨道半径与周期的关系得:.周期 ②说明:①由公式 知,在匀强磁场中,做匀速圆周运动的带电粒子,轨道半径跟运动速率成正比.②由公式 知,在匀强磁场中,做匀速圆周运动的带电粒子,周期跟轨道半径和运动速率均无关,而与比荷 成反比.3.等螺距的螺旋线运动:当粒子的速度与磁场有一夹角θ(θ≠0°､90°､180°)时,带电粒子将做等螺距的螺旋线运动.
二､解决带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力做匀速圆周运动的一般方法二､解决带电粒子在磁场中仅受洛伦兹力做匀速圆周运动的一般方法 在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动规律时,着重把握“一找圆心,二找半径 三找周期 或时间”的规律.
1.圆心和半径的确定:带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧,如何确定圆心是解决问题的前提,也是解题的关键.首先,应有一个基本的思路:即圆心一定在与速度方向垂直的直线上.1.圆心和半径的确定:带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧,如何确定圆心是解决问题的前提,也是解题的关键.首先,应有一个基本的思路:即圆心一定在与速度方向垂直的直线上. 在实际问题中圆心位置的确定极为重要,通常有两个方法:①已知入射方向和出射方向时,可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如下图左所示,图中P为入射点,M为出射点).②已知入射方向和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如下图右所示,P为入射点,M为出射点.)
说明:具体问题应具体分析,不同题目中关于圆心位置的确定方法不尽相同,以上只是给出了确定圆心的最基本的方法.圆心确定,画出轨迹图,由几何关系确定圆周运动的半径.说明:具体问题应具体分析,不同题目中关于圆心位置的确定方法不尽相同,以上只是给出了确定圆心的最基本的方法.圆心确定,画出轨迹图,由几何关系确定圆周运动的半径.
2.时间的确定:粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间可由下式表示: T(或 ).
说明:①式 T中的α以“度”为单位,式 T中α以“弧度”为单位,T为该粒子做圆周运动的周期,以上两式说明转过的圆心角越大,所用时间越长,与运动轨迹长度无关.②粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时,转一周所用时间可用公式 确定,且从中可以看出粒子转一周所用时间与粒子比荷有关,还与磁场有关,而与粒子速度大小无关.粒子速度大时,做圆周运动的轨道半径大;粒子速度小时,做圆周运动的轨道半径小,但只要粒子质量和电荷量之比一定,转一周所用时间都一样.
3.确定带电粒子运动圆弧所对圆心角的两个重要结论:①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫做偏向角,偏向角等于圆弧轨道PM对应的圆心角α,即α=φ,如图所示.3.确定带电粒子运动圆弧所对圆心角的两个重要结论:①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫做偏向角,偏向角等于圆弧轨道PM对应的圆心角α,即α=φ,如图所示. ②圆弧轨道PM所对圆心角α等于PM弦与切线的夹角(弦切角)θ的2倍,即α=2θ,如图所示.
三､回旋加速器 1.回旋加速器的原理 回旋加速器的工作原理如图所示,放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子,它以某一速度v0垂直进入匀强磁场中,在磁场中做匀速圆周运动,经过半个周期,进入AA′间的电场中,此时电场向上,使正粒子在电场中被加速到v1,离开电场,又进入了匀强磁场,在磁场中做匀速圆周运动,速率为v1,v1>v0,我们知道在磁场中粒子的轨道半径跟它的速率成正比,因而粒子将做一个半径增大了的圆周运动,再经过半个周期粒子又进入A′A间电场,此时使电场向下,使
粒子又一次受电场力而加速,离开A′A间电场时速率增大到v2,如此继续下去,粒子每经过电场时都被加速,那么粒子将沿着如图所示的螺旋线回旋下去,速率将一步一步的增大.粒子又一次受电场力而加速,离开A′A间电场时速率增大到v2,如此继续下去,粒子每经过电场时都被加速,那么粒子将沿着如图所示的螺旋线回旋下去,速率将一步一步的增大.
在AA′间加一个交变电场,使它的变化周期与粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同,粒子在磁场中的周期 与粒子的速率无关,这样保证每当粒子经过电场时都被加速. 2.回旋加速器的旋转周期
典例分析 一､带电粒子在磁场中的运动半径和周期的应用 例1:质子(11H)和α粒子(42He)从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做圆周运动,则这两粒子的动能之比Ek1Ek2=________,轨道半径之比r1r2=________,周期之比T1T2=________. 1:2
解析:粒子在电场中加速时只有电场力做功由动能定理得:故Ek1:Ek2=q1U:q2U=q1:q2=1:2由 得 又由牛顿第二定律,设粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动:故圆周半径
故r1:r2 粒子做圆周运动的周期故 名师点拨:带电粒子在电场中加速,可用动能定理解得它的动能或速度,进入同一匀强磁场后,做匀速圆周运动,可由半径和周期公式得出最后结果.
[巩固练习] 1.如右图所示,一水平导线通以电流I,导线下方有一电子,初速度方向与电流平行,关于电子的运动情况,下述说法中正确的是( )
A.沿路径a运动,其轨道半径越来越大 B.沿路径a运动,其轨道半径越来越小 C.沿路径b运动,其轨道半径越来越小 D.沿路径b运动,其轨道半径越来越大 答案:A 解析:用安培定则判断通电导线形成的磁场在导线下部为垂直纸面向外,电子所受洛伦兹力向下,且离导线越远磁场越弱,洛伦兹力越小,由 可知磁感应强度越小,半径越大,故A选项正确.
例2:如图所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面并指向纸外,磁感应强度为B,一带正电的粒子以速度v0,从O点射入磁场,入射方向在xOy平面内,与x轴正向的夹角为θ,若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L,求该粒子的比荷例2:如图所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面并指向纸外,磁感应强度为B,一带正电的粒子以速度v0,从O点射入磁场,入射方向在xOy平面内,与x轴正向的夹角为θ,若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L,求该粒子的比荷 二､带电粒子在有界磁场中的偏转问题
解析:带正电粒子射入磁场后,由于受到洛伦兹力,粒子将沿图所示的轨迹运动,从A点射出磁场,OA间的距离为L,射出时速度大小仍为v,射出方向与x轴的夹角仍为θ由洛伦兹力提供向心力则根据牛顿第二定律解析:带正电粒子射入磁场后,由于受到洛伦兹力,粒子将沿图所示的轨迹运动,从A点射出磁场,OA间的距离为L,射出时速度大小仍为v,射出方向与x轴的夹角仍为θ由洛伦兹力提供向心力则根据牛顿第二定律
①圆弧轨道的圆心位于OA中垂线上,由几何关系可得 ②由①②两式得①圆弧轨道的圆心位于OA中垂线上,由几何关系可得 ②由①②两式得
名师点拨:解答此类问题的关键是确立粒子圆周运动的圆心,半径和轨迹,找圆心的方法是根据粒子进入磁场时的初始条件和射出磁场时的边界条件.确定粒子半径要用到几何知识,根据边角关系确定.名师点拨:解答此类问题的关键是确立粒子圆周运动的圆心,半径和轨迹,找圆心的方法是根据粒子进入磁场时的初始条件和射出磁场时的边界条件.确定粒子半径要用到几何知识,根据边角关系确定.
解析:首先确定圆心位置.过A作AO⊥v0,再作AD的垂直平分线EO与AO交于O点,则O为带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心.设AO=R.(见右图)由牛顿运动定律得,即而在等腰三角形AOD中, (设∠DAO=γ)
在直角三角形ADC中,AD=dcosβ又由图中几何关系得:α+β+γ=π/2联立上述四式解得在直角三角形ADC中,AD=dcosβ又由图中几何关系得:α+β+γ=π/2联立上述四式解得
三､关于回旋加速器的基本应用 例3:回旋加速器D形盒中央为质子流,D形盒的交流电压为U=2×104 V,静止质子经电场加速后,进入D形盒,其最大轨道半径R=1 m,磁场的磁感应强度B=0.5 T,质子质量:1.67×10-27 kg问: (1)质子最初进入D形盒的动能多大? (2)质子经回旋加速器最后得到的动能多大? (3)交流电源的频率是多少?
解析:(1)粒子在电场中加速,根据动能定理得eU=Ek-0,Ek=eU=2×104 eV=3.2×10-15 J.(2)粒子在回旋加速器的磁场中,绕行的最大半径为R,则有解得:质子经回旋加速器最后获得的动能为=1.92×10-12 J.(3) 7.62×106 Hz.
答案:(1)3.2×10-15 J (2)1.92×10-12 J (3)7.62×106 Hz 名师点拨:回旋加速器把带电粒子在电场和磁场中的应用综合起来.也就把力学､电学融为一体.
[巩固练习] 3.1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器.其原理如图所示.这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成,其间留有空隙,下列说法正确的是( ) A.离子由加速器的中心附近进入加速器 B.离子由加速器的边缘进入加速器 C.离子从磁场中获得能量 D.离子从电场中获得能量
解析:由 可知,随着被加速粒子的速度增大,离子在磁场中做圆周运动的轨道半径逐渐增大,所以,离子必须由加速器的中心附近进入加速器,故A选项正确;离子在电场中被加速,使动能逐渐增加,在磁场中洛伦兹力对粒子不做功,只改变速度的方向,故D选项正确. 答案:AD
四､有关质谱仪的问题 例4:如右图所示,是一种质谱仪的示意图,从离子源S产生的正离子,经过S1和S2之间的加速电场,进入速度选择器,P1和P2间的电场强度为E,磁感应强度为B1,离子由S3射出后进入磁感应强度为B2的匀强磁场区域,由于各种离子轨迹半径R不同,而分别射到底片上不同的位置,形成谱线.
(1)若已知S1S2间加速电压为U,并且磁感应强度B2,半径R也是已知的,则离子的比荷 =________.(2)若已知速度选择器中的电场强度E和磁感应强度B1,R和B2也知道,则离子的比荷 为________.
(3)要使氢的同位素氘和氚的正离子经加速电场和速度选择器以相同的速度进入磁感应强度为B2的匀强磁场.(设进入加速电场时速度为零)A.若保持速度选择器的E和B1不变,则加速电场S1S2间的电压比应为________.B.它们谱线位置到狭缝S3间距离之比为________.(3)要使氢的同位素氘和氚的正离子经加速电场和速度选择器以相同的速度进入磁感应强度为B2的匀强磁场.(设进入加速电场时速度为零)A.若保持速度选择器的E和B1不变,则加速电场S1S2间的电压比应为________.B.它们谱线位置到狭缝S3间距离之比为________. 2:3 2:3
解析:(1)由于粒子在B2区域做匀速圆周运动, ,这个速度也就是粒子经加速电场加速后的速度,在加速过程中,所以(2)在速度选择器中,粒子沿直线穿过,故qE=qvB1E=vB1= 故
(3)(A)氘核21H,氚核31H,设经加速后二者速度均为v,经电场加速: .由以上两式得:(B)它们谱线的位置到狭缝S3的距离之比实际上就是两种粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径之比,也是半径之比.
答案:(1) (2) (3)2:3 : 2:3 名师点拨:解决此类问题的关键是弄清楚粒子经历的各个过程,然后确定在不同过程中遵循不同的运动规律,列出相应的方程,粒子在加速电场中的运动,一般可根据动能定理列方程,粒子在速度选择器中做匀速直线运动,可根据平衡方程qE=qvB,粒子在磁场中的偏转,则根据洛伦兹力提供向心力,即
课后巩固提升 巩固基础 1.运动电荷进入磁场后(无其他场),可能做( ) A.匀速圆周运动 B.匀速直线运动 C.匀加速直线运动 D. 平抛运动 解析:运动电荷如果垂直磁场进入后做匀速圆周运动,即A正确;如果运动电荷的速度跟磁场平行,则电荷做匀速直线运动,即B正确. 答案:AB
2.在匀强磁场中,一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又顺利垂直进入另一磁感应强度是原来磁感应强度2倍的匀强磁场中做匀速圆周运动,则( )A.粒子的速率加倍,周期减半B.粒子的速率不变,轨道半径减半C.粒子的速率减半,轨道半径变为原来的D.粒子速率不变,周期减半 答案:BD
解析:由 可知,磁场加倍半径减半,洛伦兹力不做功,速率不变,周期减半,故B､D选项正确.
3.电子e以垂直于匀强磁场的速度v,从a点进入长为d､宽为L的磁场区域,偏转后从b点离开磁场,如下图所示,若磁场的磁感应强度为B,那么( )
A.电子在磁场中的运动时间B.电子在磁场中的运动时间C.洛伦兹力对电子做的功是W=BevLD.电子在b点的速度值也为vA.电子在磁场中的运动时间B.电子在磁场中的运动时间C.洛伦兹力对电子做的功是W=BevLD.电子在b点的速度值也为v 解析:洛伦兹力对电子不做功,故D选项正确,在磁场中的运动时间,由匀速圆周运动的知识可知B选项正确. 答案:BD
4.如右图所示,在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场,一对正､负电子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场,则正､负电子在磁场中运动的时间之比为( )
A.1:2 B.2:1 C.1: D.1:1 解析:正､负电子在磁场中运动轨迹如图所示,正电子做匀速圆周运动在磁场中的部分对应圆心角为120°,负电子圆周部分所对应圆心角为60°,故时间之比为2:1. 答案:B
