现代控制理论基础

1. 现代控制理论基础 主讲教师：贺廉云 德州学院机电工程系

2. 2.1 线性定常系统状态方程的解 2.2 线性定常系统状态转移矩阵的几种求法 2.3 线性离散系统的状态空间表达式及连续系统的离散化 2.4 线性定常离散系统状态方程的求解 第二章 控制系统的状态方程求解

3. §2.1.线性定常连续系统状态方程的解 前面我们详细讨论了状态空间表达式的建立及相互转换。在建立了新的数学模型之后，接着就是求解问题。 由于状态空间表达式由两部分组成,即 可见，输出方程求解要依赖状态方程的解。关键是求解状态方程。本节重点来讨论这个问题。先讨论自由运动的规律，即求自由解。

4. 一、齐次状态方程的解 所谓齐次状态方程，与齐次微分方程类似，即输入u(t)=0的情况。故齐次方程为： 设初始时刻 t0=0 ，初始状态为x0 采用拉氏变换法求解：对齐次方程两边取拉氏变换. 反变换即得齐次状态方程的解：

5. 分析标量微分方程可知 ---解的变化是按指数形式变化的。 对于状态方程的解，是否也具有指数形式呢？ 下面就来讨论：

7. 所以齐次状态方程的解可写为 逐项变换 即 x(t)= e-Atx0 当初始时刻为t0≠0,初始状态为x(t0)时

8. 小结： 1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用下的自由运动，又称为零输入解； 2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状态转移，而转移规律取决于 eAt，eA(t-t0)故称其为状态转移矩阵.一般用 来表示。 3.求齐次状态解的关键是求转移矩阵 eAt，前面已给出了两种方法：

9. a)拉氏变换法： b)幂级数法： 由于按幂级数计算不易写出闭式的结果，故通常用拉氏变换法。 例：已知系统的状态方程为： 试求在初始状态 时的状态解。

10. 解：1.求eAt

11. 所以 2.求x(t):

12. 在状态空间分析中状态转移矩阵是一个十分重要的概念。在状态空间分析中状态转移矩阵是一个十分重要的概念。 二.状态转移矩阵： 1.定义：线性定常系统，初始时刻t0=0,满足以下矩阵微分方程和初始条件 的解Φ(t),定义为系统的状态转移矩阵。

13. 讨论： （1）满足上述定义的解为Φ(t) =eAt (t0=0) 证明：

14. 所以当 Φ(t)=eAt时， 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt是状态转移矩阵Φ(t) （2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元素均为时间函数.

15. 2.性质： 由于状态转移矩阵具有矩阵指数函数的形式，故可推出如下性质 （1）Φ(t-t0)是非奇异阵.且

16. （2） 其中

17. （3） （4）

18. （5） 由此关系 可用于从 eAt反求 A. 例：已知

19. （6）若 则

22. 三.非齐次状态方程的解： 直接用分离变量法积分求解方程与采用拉式变换法求解方程,其结果是一致的.只讨论第一种方法. 当系统输入u≠0时 ，其S-E为.

23. 移项 ： 左乘 e-At： 即 在区间[t0,t]上积分

24. 即 结论：非齐次状态方程的解由两部分组成： a).由初始状态产生的自由分量—零输入解 b).由输入引起的强迫分量—零状态解 或：

25. 例：已知系统 试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。 解：1.求 eAt： 由前例得：

26. 2.求x(t)

27. 四.系统的脉冲响应及脉冲相应矩阵： 所谓脉冲响应，即初始条件为零时，输入u为单位脉冲函数δ(t)，系统的输出称为脉冲响应。 在单变量系统定义脉冲响应函数为 h(t)=L-1[G(s)] 根据这个定义，可求线性定常系统的脉冲响应。但是多变量系统的输入有r个，输出有m个。则脉冲响应显然与传递函数阵的维数不同, 即系统地输出为Y(s)=G(s)U(s)是 m×1维的列向量.而G(s)是m×r维矩阵.

28. 为了将这一含义推广到多变量系统，我们按以下方式定义脉冲响应函数阵。以后将会知道，在多变量系统中,脉冲响应函数阵虽不等于真正的脉冲响应输出 y(t), 但却等于传递矩阵的拉式反变换。 即 h(t)=L-1[G(s)]m×r, 而 y(t)=L-1[G(s)U(s)] m×1 定义：m×r 阶矩阵 h(t)=CeAtB 称为系统的脉冲响应矩阵。

29. 设系统的状态空间表达式为 初始时刻t0=0 初始状态x(0)=0 状态解为： 则输出解为：

30. 讨论单变量系统的情况:当输入 --卷积

31. 性质：1. h(t)是传递矩阵的拉式变换 反之 以上关系表明h(t)包含了G(s)的全部信息，也反映系统的基本传递特性。

32. 2. h(t)在线性变换下的不变性： 即 证明:令 线性变换后. 其中:

33. 则状态转移矩阵满足以下性质： 一般有：

34. 小结：本节主要讨论了状态求解的问题： 1.齐次状态方程的解： 2.非齐次状态方程的解：

35. 3.状态转移矩阵： 定义：满足矩阵微分方程 的解Φ（t） 4.脉冲响应矩阵：

36. § 2.2线性定常连续系统Φ(t)的算法 在线性定常系统状态方程的求解中，关键是求Φ(t),本节介绍几种算法: 一.拉氏变换法： 前面已在求状态解时推出 特点： 1.对低阶系统（三阶以下）计算较方便，写出的结果是解析式，在实际中最常用。 2.对于高阶系统，会遇到求逆的困难,如

37. 求逆阵可采用一些数值计算方法，用计算机计算。求逆变换关键是高阶分解因式，部分分式展开很麻烦。求逆阵可采用一些数值计算方法，用计算机计算。求逆变换关键是高阶分解因式，部分分式展开很麻烦。 二.幂级数法：此法是一种直接计算法，前面已介绍过。

38. 特点： 是一种无穷开式，很难写成闭式，一般采用近似计算，精度将取决于所取项数的多少，适合于计算机计算。 例： 已知系统的状态方程为： 试求其状态转移矩阵. 解：将A阵代入幂级数展开式

40. 三.对角形法与约当标准形法： 1.矩阵A的特征值 λ1λ2…λn 互不相同，其状态转移矩阵可由下式求得 其中：P是使A化成对角形的线性变换。

41. 证明： λ1λ2…λn互异，必有非奇异矩阵P，将A化成对角形，即： 则

42. 小结：利用对角线法 eAt的方法: 1.求 λ1λ2…λn（条件：λ1λ2…λn互异）; 2.求特征矢量： P1P2…Pn; 3.写出变换阵 P=[P1P2…Pn], 求出P-1 4.求 eAt： 特点：求P阵比较麻烦，常用于理论推导。

43. 例：已知 用对角形求Φ（t） 解 ：1.求特征值：

44. 2.求特征矢量： 即 解出：

47. 3.求P，P-1： 4.求eAt：

49. 2.矩阵A有相重特征值: 定理：若矩阵A有相重特征值，其状态转移矩阵可由下式求得

50. eAt=QeJtQ-1 其中：Q是使A化为约当标准形J的线性变换阵。 证明:若A阵具有重特征值，且每个互异特征值对应一个独立的特征矢量，则必存在一个非奇异阵Q，使A阵化为约当标准形J。 即 其中 则 J=QAQ-1