微分方程应用

1. 微分方程应用 化工车间的通风问题

2. 由于化工生产过程中，经常要排出一些不利于环由于化工生产过程中，经常要排出一些不利于环 境的物质。为了保持车间内的环境卫生，必须通入大 量的新鲜空气，这就是通风问题。 设有一个 的车间，其中空气中含有 0.12%的 ，如需要在10分钟后 的含量不超过 0.06%。（设新鲜空气中 的含量为0.04%），问 每分钟应通入多少 的新鲜空气？ 解：引入下列符号： y——时间t时 的浓度；

3. a——通入的空气量[ ]； v——车间的体积[ ]； —— 的初浓度； g——新鲜空气 的浓度。 解决这个问题主要依据下列两个物质平衡式： 增量＝加入量－排出量； ⑴ ⑵ 流进（或排出）量＝流进（或排出）速度×浓度×时间。 现在考虑在时间间隔[t,t+dt]内 的进入量和排出量。

4. 由⑵式知 的进入量＝agdt， 的排出量＝aydt。 在瞬间t， 的总量等于vy；在瞬间t+dt， 的总 量等于v(y+dy)。所以在dt这段时间内， 的增量 为v(y+dy)－ vy＝vdy。 根据上述分析，由⑴式可得 或

5. 即 ⑶ 上述方程是一阶变量可分离方程。显然初始条 件是 。容易求解得 ⑷ 上式就是这个车间中空气中 的浓度y与时间 t的函数关系。 从⑷式可解出a，得

6. ⑸ 将下列数值： 代入⑸式，得 也就是说每分钟应输入 的新鲜空气，就能 在10分钟后，使车间内的 含量不超过0.06%。

7. 实际上所需的新鲜空气量，比上面的数要小。 因为新鲜空气并不是象假设那样很快地与混浊 空气混合，而是逐步地与混浊空气混合，并且 在很大程度上是将它排挤出去的。