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一百零二學年度第二學期普通物理第一段考

一百零二學年度第二學期普通物理第一段考. (a) 用基本牛頓力學推導絃上橫波速度 以 絃為參考系統，波向右行進； 以 波 為參考系統 ，絃向左行進。 考慮運動絃頂端一小段質量： 這一段可近似為圓弧 的一部分 ， 其運動可近似為等速圓周運動， 圓弧曲率半徑為 ，張角為 ； 質量為 ，運動速度為 。 依照牛頓力學，向心加速度為 ， 所需的力來自於繩中張力，如圖中所示； 左右兩端張力的合力向下，其大小為 ； 因為此部分甚小， 可近似為 。. 此段弧長： 絃的質量密度為 ，此段質量： 代入運動方程式： 因此. (b) 代入數值：. (a)

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一百零二學年度第二學期普通物理第一段考

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  1. 一百零二學年度第二學期普通物理第一段考

  2. (a) 用基本牛頓力學推導絃上橫波速度 以絃為參考系統，波向右行進； 以波為參考系統，絃向左行進。 考慮運動絃頂端一小段質量： 這一段可近似為圓弧的一部分， 其運動可近似為等速圓周運動， 圓弧曲率半徑為 ，張角為 ； 質量為 ，運動速度為 。 依照牛頓力學，向心加速度為 ， 所需的力來自於繩中張力，如圖中所示； 左右兩端張力的合力向下，其大小為 ； 因為此部分甚小， 可近似為 。

  3. 此段弧長： 絃的質量密度為 ，此段質量： 代入運動方程式： 因此

  4. (b) 代入數值：

  5. (a) 兩端開口處都是波腹(anti-node)，在其間必須有波節(node)。波節數目至少是 1，逐次遞增： 基頻 第一泛音 第二泛音

  6. (b) 由波形可知，基頻的管長等於半個波長： 波的速度等於頻率乘以波長： 因此頻率等於 代入數值：

  7. (a) 依照課本 (13.4) 式，簡諧運動的表達式為 時間 時位移 為最大值；其中 為振幅，等於 10 cm， 為角頻率： 因此： (b) 彈簧質量系統的運動方程式為

  8. 質點位移通解為課本第 (13.8) 式 由此式可推導出速度為 加速度為 由這三式可知：位移最大值為，即是振幅，速度最大值為 ，加速度最大值為 。 由題已知： 因此角頻率等於 把 與 代入運動方程式可知

  9. 因此 代入數值： 振幅等於

  10. 由力圖寫下運動方程式： 因為擺錘沿著半徑為 的圓弧運動，其位移可用擺動角 為變數。以最低點為基準，擺動弧長為： 選擇切線方向與法線(即沿著繩索)方向為座標軸： 其中切線加速度為：

  11. 因此運動方程式為： 這個方程式不是簡諧運動的方程式，但是如果擺動幅度非常小，則擺角 也非常小，正弦函數可以近似： 因此運動方程式近似及簡化為： 對於最簡單的簡諧振盪而言， 其中為角頻率，與週期 的關係為

  12. 把第 (2)式代入第 (1)式： 因此角頻率為： 週期為

  13. 小船原位置 正對 中心，與 等距離，到達該處的波必是建設性干涉，因此題中說波濤洶湧(water is pretty rough)。到達 時，首度浪濤止息(relatively calm water)。 因為在 的波是破壞性干涉，由 發出的波與由 發出的波，其波峰與波谷疊加。因此 與 的差為半個波長：

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