第一章 矢量分析与场论

1. 标量场和矢量场 矢量场的初等运算 矢量场的微、积分 亥姆霍兹定理 第一章 矢量分析与场论 梯度、散度、旋度 场的图示法

2. -∞＜x＜∞ X=C；是一截距为C且与X轴⊥的平面 直角 x,y,z -∞＜y＜∞ Y=C；是一截距为C且与Y轴⊥的平面 -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 圆柱 ,,z 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） -∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面 0≤r ＜∞ r=C；是一O点为中心C为半径的球面 球面 r,, 0≤  ≤ =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角 的圆锥面 0≤  ≤2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面） 1.1 常用坐标系（正交系） 形式 坐标 取值范围 几何意义 z · （x0 y0 z0） z （00 z0） （r00 0） z · ·  r y O O x O y   x  x

3. z · r  （）   y  x  三种正交系的相互关系 • X=cos = rsin cos • Y=sin = rsin sin • Z=rcosθ • r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 • = rsin  •  = arc tg(y/x) • = arc cos(z/r) cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos  = (z/r) cos2α +cos2β +cos2= 1

4. 1.2 标量与矢量 物理量通常是时间和空间的函数 描述空间的数学语言是坐标 描述物理量的数学语言是标量和矢量 算数量：＞0 代数量：≠0 不变量：A·B 标量（A）：只有大小没有方向的物理量 矢量（A）：即有大小又有方向且符合平行四边形法则的物理量。 标量与矢量 复数

5. 粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。粒子：有静止质量，两粒子不能同时占有同一空间位置。 场：没有静止质量，两个场能同时占有同一空间位置。 物质 标量场：其物理量为标量的场 矢量场：其物理量为矢量的场 场：某一物理量在空间的分布称场 物理量 场 静态场: A（M） 均匀场: A（t） 动态场 均匀平面场: A（z,t) 一般时变场: A(M,t) 场 A（或A） 1.3 标量场与矢量场

6. A eA 1 eA= A/A A A er 对于不同的坐标系有不同的坐标单位矢量： ez ex ey ez 直角： eθ 圆柱： eρej ez ey ex er ej 球面： eθ ej 有了单位矢量,矢量A就可表现为如下形式： eρ A = AeA = Axex + Ayey + Azez = Aρeρ+ Aφeφ+Azez= Arer+Aφeφ+Aθeθ ？ 矢量场的不变性 1.4 坐标单位矢量、常矢、变矢 单位矢量eA :模(大小)为1,以矢量 A 的方向为方向的矢量。 坐标单位矢量：指坐标（线）矢量上的单位矢量。 （若将坐标线标上方向则该坐标线称坐标(线)矢量） 常矢：大小和方向均不变的矢量。 变矢：大小和方向其中有一个发生变化的矢量。

7. 矢径(r)：由O点指向空间任一点M的矢量OM 用 r 表示称矢径。 r = x ex + yey + zez = ρeρ+ zez = rer 源点和场点均占有空间位置，因此可用矢径表示： 源点：r′ = x′ex + y′ey + z′ez = ρ′eρ+z′ez = r′er 场点：r = x ex + yey + zez = ρeρ+ zez = rer S′ R P r′ r 1.5 源点、场点、矢径、距离矢量 矢径是一特殊的矢量，具有明确的定义和表达式， 表示的是空间位置，没有物理含义。 源点：源所占有的空间位置称源点，用符号S′表示。 场点：除源以外的其它空间位置称场点，用符号P表示。 距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′ ○

8. ② 图示 A P(1,2,2) r ○ 注意：矢径和矢量的区别 例：已知，A = xyex + z2ey + yez 求：A及r在点P(1,2,2)的值，且图示。 解：① 求值 ∵r = xex + yey + zez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得：A = 2ex + 4ey + 2ez ;r = ex + 2ey + 2ez 1.5 源点、场点、矢径、距离矢量

9. 设：A = Axex + Ayey + Azez ，B = Bxex + Byey + Bzez ∧ A·B = A·Bcos(A·B ) = AxBx+AyBy+ AzBz 1.6 矢量的初等运算 矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除 且以各矢量同在某一点为前提 加 A±B = (Ax±Bx)ex +(Ay±By) ey + (Az±Bz)ez 减 标乘 μA = μAxex +μAyey +μAzez 点乘 乘 性质：1、若A·B = 0 则A⊥B 2、 A·A = A2 ex ey ez Ax Ay Az Bx By Bz ∧ 叉乘 A×B A×B = A·Bsin(A·B )en = B en 性质：1、若A×B = 0 则A∥B 2、 A×A = 0 A

10. 1.6 矢量的初等运算 B C A 矢量初等运算规则(设：A、B、C都是矢量) A+B = B+A ; A±(B±C) = (A±B ) ±C A·B =B·A ; A·(B+C) = A·B+A·C A×B = - B×A ; A× (B+C) = A×B+A×C (A·B) C ≠ A (B·C) ; A× (B×C) ≠ (A×B) ×C A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C A·(B×C) = B · (C×A) = C · (A×B) ‖ ‖ ‖ Ax Ay Az [ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz Cx Cy Cz 若 B=C 则 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 若 A·B = A ·C及A×B = A ×C 则 B=C不一定成立 结论：等式两边可同时“点”和“叉”， 但不能随意消去相同的量

11. 1、不同坐标系的变换 例：Φ=1/√x2 + y2 + z2 = 1/√ρ2 + z2 = 1/ r 2、坐标平移 例：若电荷q位于坐标原点O，则电位Φ=kq /√x2 + y2 + z2 若将电荷q置于坐标点 s′(x′y′z′)处,求电位Φ的表达式。 解：将坐标点 s′定义为新坐标系(u,v,w)的原点O′ 则：Φ=kq /√u2 + v2 + w2= kq /√(x-x′)2 + (y-y′)2 + (z-z′)2 1.7 坐标变换 z w · Φ v q u O′ q y O x x z 3、坐标旋转 ∵坐标系是一钢架， ∴当某一轴替代另一轴时， 其它轴也应相应变换。 z y O y y x O x O z 原坐标 新坐标

12. eu3 ev1 4、坐标单位矢量的变换 设：u 和 v 分别为正交坐标系 ev1 =cos(ev1eu1)eu1＋ cos(ev1eu2)eu2＋cos(ev1eu3 )eu3 =(ev1 ·eu1)eu1＋ (ev1 ·eu2) eu2＋(ev1 ·eu3 ) eu3 同理：ev2=(ev2 ·eu1)eu1＋ (ev2 ·eu2) eu2＋(ev2 ·eu3 ) eu3 ev3 =(ev3 ·eu1)eu1＋ (ev3 ·eu2) eu2＋(ev3 ·eu3 ) eu3 用矩阵表示： ev1 ev1 ·eu1 ev1 ·eu2 ev1 ·eu3 eu1 ev2=ev2 ·eu1ev2 ·eu2ev2 ·eu3 eu2 ev3ev3 ·eu1ev3 ·eu2 ev3 ·eu3 eu3 eu2 eu1 ∧ ∧ ∧ 以上讨论的是一般正交系的转换，由此可得： 直角坐标系、圆柱坐标系、球面坐标系间的单位矢量的变换关系 1.7 坐标变换

13. 1.7 坐标变换 方法（一）： 由一般式，且设：u为直角坐标系、 v为球坐标系，则有： er er ·ex er ·ey er ·ez ex eθ= eθ·exeθ·eyeθ·ez ey eφeφ·exeφ·ey eφ·ez ez ez er ey ex cosα cosβ cosγ ex = er(θ+90°,φ)·exer(θ+90°,φ)·ey er(θ+90°,φ)·ez ey er(90°,φ+90°)·exer(90°,φ+90°)·ey er(90°,φ+90°)·ez ez sinθ cosφ sinθ sinφ cosθex = sin(θ+90°) cosφ sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°) ey sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°ez sinθ cosφ sinθ sinφ cosθex = cosθ cosφ cosθ sinφ -sinθ ey -sinφ cosφ 0 ez • 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换

14. 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量的变换 1.7 坐标变换 er =sinθ cosφ ex + sinθ sinφey+ cosθez ez ez er er sinθ ey φ θ ey ex ρ ρ ex sinθ sinθ ρ eθ = cosθ cosφ ex + cosθ sinφey － sinθez er ez ez er cosθ ey ey φ θ cosθ ex ρ cosθ ex ρ ρ eφ θ eθ φ eφ =-sin φ ex+ cos φ ey ey φ ex ρ 方法（二）：

15. 解： ex =sinθ cosφ er + cosθ cosφ eθ - sin φ eφ ∵ ey = sinθ sinφer + cosθ sinφeθ + cos φ eφ ez =cosθer－ sinθ eθ 例：已知，在点P(1,1,0)处有一常矢量A = 2ex + 4ey + 2ez ①求：A在该点的球坐标表达式。 ②求：A在(√2,√2,2)点处的直角坐标和球坐标表达式。 ①对于点(1,2,2)： sinθ= 1， sinφ=1/ √2， cosθ=0，cosφ=1/ √2 因此：ex=1/√2er-1/√2eφ ， ey=1/√2er+1/√2eφ , ez =－eθ ∴A =3√2er －2eθ+√2 eφ ②对于点(√2,√2,2)： sinθ= sinφ= cosθ= cosφ=1/√2 因此：ex =1/2er+1/2eθ -1/√2eφ , ey =1/2er+1/2eθ +1/√2eφ ez =1/√2 er-1/√2 eθ 球： ∴A =(3+√2)er +(3 -√2)eθ－√2eφ 直：∵ex ,ey ,ez为常矢，因而A不随点变化∴A = 2ex +4ey +2ez

16. 以上结果显示： ①同一矢量，在同一点其直坐标和球坐标表达式是完全不同的。 但由矢量场的不变性可知： 对于点(1,2,2)： A =3√2er －2eθ+√2 eφ = 2ex + 4ey + 2ez 对于点(√2,√2,2):A =(3+√2)er +(3 -√2)eθ－√2eφ= 2ex +4ey +2ez 这提醒我们不要因为表达式的差异而忘了它们的不变性 即：无论你选择那种坐标，所得到的场性能都是一样的。 ②同一常矢量，在不同点其直坐标下的表达式是不变的， 而球坐标下的表达式是完全不同的。 这表明除直坐标外： 坐标轴与坐标点有关，当点变化坐标轴也可能变。 对于每一种坐标系每个坐标点都与唯一的一组坐标轴对应 对于柱或球坐标系每条ρ或r射线都与唯一的一组坐标轴对应

17. 坐标元 任意元 坐标元 dx 直 dy dz dρ 柱 dφ dz dr 球 dθ dφ ex ey ez eρej ez er eθ dx= dy= dz= dρ= dφ= dz= dr= dθ= dφ= en en en en en en en en en dσx = dσy = dσz = dσρ = dσφ = dσz = dσr = dσθ = dσφ = eφ z dφ=ρdφeφ dφ dσz=dxdyez z dφ z dz ρ r dy dθ dz dσρ=ρdφdzeρ dx dρ rdθ dσz=-dxdyez en y x y x y x φ 1.8 微分元 微分元是矢量微、积分的基础。 坐标线元 dx dy dz dρ ρdφ dz dr rdθ rsinθdφ 坐标平面元dσ 若: 则dσ= x=c, dydz y=c, dxdz z=c, dxdy ρ=c, ρdφdz φ=c, dρdz z=c, ρdρdφ r=c, r2sinθdφdθ θ=c, rsinθdrdφ φ=c, rdrdθ 坐标体元dv dxdydz ρdρdφdz r2sinθdrdφdθ en

18. 弧长元(切线)dl = dleτ 直：= dx+dy+dz =±dxex±dyey±dzez dl=√dx2+dy2+dz2 柱：= dρ+dφ+dz=±dρeρ±ρdφej±dzez dl=√dρ2+(ρdφ)2+dz2 球：=dr+dθ+dφ=±drer±rdθeθ ±rsinθdφeφ dl=√dr2+(rdθ)2+(rsinθdφ)2 曲面元(切面) ds = dsen 直: =dσx+dσy+dσz=±dydzex±dxdzey±dxdyezds=√(dydz)2+(dxdz)2+(dxdy)2 柱: =dσρ+dσφ+dσz=±ρdφdzeρ±dρdzej±ρdρdφez ds=√(ρdφdz)2+(dρdz)2+(ρdρdφ)2 球: =dσr+dσθ+dσφ=±r2sinθdφdθer±rsinθdrdφeθ±rdrdθej ds=√(r2sinθdφdθ)2+(rsinθdrdφ)2+(rdrdθ)2 ds en dφ ⊿s z dl z dρ dr ⊿l dz r drer-rdθeθ y y dx x dy x rsinθdφ dρ dσz dl = -dxex+dyey+dzez =dρeρ +ρdφej+dzez =drer- rdθeθ +rsinθdφeφ

19. 概念： 1.8 微分元 坐标：空间某点的位置可用三个坐标(例：xyz)唯一确定。 坐标线：例：当y=a,z=c(a,c为常数)而 x 连续变化所形成的轨迹 称 x 坐标线。显然 和 坐标线为一族同心圆和半圆。 坐标轴：坐标线上某点的切线称坐标轴,方向为坐标增大的方向。 显然，只有x,y,z轴的方向不变，其它坐标轴的方向会变。 坐标元：坐标的微分量。 坐标线元：指与坐标元对应的坐标线，即坐标线上由坐标元引起的 一微小线段。显然，与dφ，dθ对应的是一微小的曲线， ∵很微小，∴可视为直线因而与坐标轴重合。 这表明：①坐标线元可用矢量表示，方向以坐标轴方向为基准。 ②过某点引出的三条坐标线元是相关垂直的。 坐标面元:两条相关垂直的坐标线元构成的平面,显然这是一矩形。 弧长元(切线)dl: 由空间某点P可引出多条任意曲线，由P点起沿某曲线取一小段(即增量⊿l ) ,且过P点作该曲线的切线，切线上与增量⊿l 相应的切线元dl称弧长元，显然它是任意方向上的线元。 曲面元(切面)ds：与任意曲面在某点的增量⊿s 相对应的切面元。

20. 对时间的积分 对空间的积分 1、对时间的积分 设：A = A1eu1+ A2eu2+ A3eu3 例：矢量 A =t2xex + 2tyey + zez 求：∫1 Adt 0 1 0 解： ∫1 Adt =∫(3t2xex + 2tyey + zez )dt = 3xex∫ t2dt+ yey∫2t dt+ zez ∫ dt = xex + yey + zez 0 1 0 1 0 1 0 1.9 矢量积分 矢量场通常是时间、空间的函数，而时间、空间分别是独立的，∴对它们的积分可分别讨论，以使计算简化。 ∫Adt = ∫A1eu1dt+ ∫A2eu2dt + ∫A3eu3dt = eu1∫A1dt+ eu2∫A2dt + eu3∫A3dt 本教材假定所研究的对象是不运动的，即坐标原点O静止。 因此，单位坐标矢量是不随时间而变化的∴它们可以提到积分号外。

21. 标性 矢性 例： ∫ eρdφ π -π π -π π -π π -π ∴∫ eρdφ = ex∫ cosφdφ+ ey∫ sinφdφ= 0 2、对空间的积分 根据积分结果可分为两类 标性 ∫A·dl = ∫Acos(A,dl) dl =∫(Axdx + Ay dy + Azdz) = ∫(Aρdρ+Ajρdφ+Azdz) =∫(Ardr+ Aθrdθ +Ajrsinθdφ) ∫A·ds = ∫Acos(A,ds) ds =∫Axdydz + Aydxdz + Azdxdy =∫Aρρdφdz+Ajdρdz+Azρdρdφ =∫Arr2sinθdφdθ+Aθrsinθdrdφ+Ajrdrdθ ∫fdv =∫f dxdydz =∫f ρdρdφdz = ∫f r2sinθdrdθdφ 矢性 ∫f dl =ex∫fdx + ey∫fdy + ez ∫fdz ∫A dl =ex∫Axdl + ey∫Aydl + ez∫Azdl 解： ∵ eρ= excosφ+ eysinφ 1.9 矢量积分

22. A u1 A (u1 +⊿u1,u2, u3 , t) - A (u1,u2, u3 , t) A ⊿u1 u1 lim ⊿u1→0 eu2 u1 ——= eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3—— A1 u1 A2 u1 A3 u1 eu1 u1 = eu3 u1 A2 u1u2 A2 u2u1 ——— = ——— A t A u1 du1 dt 则: —— = —— —— μA u1 A u1 μ u1 ——=μ——+ —— A (A+B) u1 A u1 B u1 ——— = —— +—— C u1 (A·B) u1 B u1 A u1 —— = 0； (A×B) u1 —— =A· ——+ ——·B B u1 A u1 ——— =A×——+ ——×B 1.10 矢量微分 设：A (u1,u2, u3 , t)= A1eu1+ A2eu2+ A3eu3 一、定义： 若： 则：称矢量 A 是对自变量 u1 偏导数。依此类推可得其它偏导数 二、公式： 若：u1 = u1 (t), ④ ① ⑤ ② ③ ⑥ ⑦ 三、运算 由式⑤①可将矢量A的偏导数用分量形式表示

23. 对时间的微分 对空间的微分 设：A (u1,u2, u3 , t)= A1eu1+ A2eu2+ A3eu3 1.10 矢量微分 对坐标单位矢量的偏导 对矢量函数的偏导 运算 …… ej φ —— = -eρ 时间： eρ φ eρ φ 证： —— = ej —— = ej 直：(ex , ey , ez ) (x,y,z,ρ,r,φ,θ) ∵ eρ= excosφ+ eysinφ ej= -exsinφ+ eycosφ —————— = 0； ⑴ 空间 球：(er,eθ ,ej ) r ⑵ e  t 柱：(eρ ,ej , ez) (z,ρ,r,θ) ————— = 0； —— = 0； ————— = 0； eρ φ  φ —— = ——(excosφ+ eysinφ) = -exsinφ+ eycosφ= ej 与式⑵相比，原式得证 1、对坐标单位矢量的偏导 将式⑴代入原式：

24. 设：A (u1,u2, u3 , t)= A1eu1+ A2eu2+ A3eu3 = Axex + Ayey + Azez = Arer + Aφeφ+Aθeθ A t A1 t A2 t A3 t 时间： ——= eu1—— + eu2—— + eu3—— A u1 eu2 u1 ——= eu1——+eu2——+eu3——+A1——+A2—A3—— A1 u1 A2 u1 A3 u1 eu1 u1 eu3 u1 直： A Ax AyAz x x x x —— = —— ex+ —— ey + —— ez ； …… 柱：A AρAφAz ρ ρ ρ ρ —— = ——eρ + —— ej + ——ez 空间 A AρAφAz φ φφ φ —— = ——eρ + Aρej + —— ej - Aφeρ +——ez A ArAθAφ θ θ θ θ —— = ——er + Are+ —— eθ- Aθer +——ej 球：A ArAθAφ r r r r —— = ——er + —— eθ +——ej = Aρeρ+ Aφeφ+Azez 2、对矢量函数的偏导 以上结果显示矢量函数的偏导可转化为标量函数的偏导

25. 1.11 三度、二式、一定理 以上主要对矢量的初等运算、微分和积分进行了讨论 下面将对数学场论作介绍 定义 表达式 辅助量 性质 公式 三度： 梯度、散度、旋度 二式： 格林恒等式 一定理：亥姆霍兹定理

26. 1.11 三度、二式、一定理 定义在某数量场u 中某一点M0 处，存在这样的一个矢量G，函数u 在点M0沿G的方向发生变化，其变化率最大且模G正好等于变化率， — u— 我们称矢量G为u 在点M0处的梯度，用符号grad u表示。由该定义可得如下关系： l du dlG最大 lG M0 G = grad u = ——eG G 即定义式： l 梯度:是一矢量，研究数量场u沿某路径变化率可达最大的问题。 ∵由数量场u 的某点可延伸出许多条直线路径l ,而这每一个 l 又 分别是每一族曲线在该点的切线 (如图示) 。由导数的定义可知， 数量场u 沿曲线只要是同一族曲线包括切线 l 在内其变化率是相 同的。因而可将研究数量场 u 沿曲线变化的问题转化为沿直线变 化的问题。显然只有沿着不同的直线路径l 其变化率才不同，但 只有沿其中的一条路径l 变化其变化率可达最大。 由此定义式可导出更具实用意义的表达式

27. 梯度 uuu x y z 直：gradu = ——ex+ ——ey + ——ez  x y z = (——ex+ ——ey + ——ez)u=▽u uuu ρ ρφ z 柱：gradu = ——eρ + —— ej + ——ez    ρ ρφ z =(——eρ + —— ej + ——ez )u=▽u uuu r rθ rsinθφ 球：gradu = ——er + ——eθ+————ej  r rθ rsinθφ = (——er + ——eθ+————ej)u =▽u 表达式 ▽—— 哈密尔顿算符，是一矢性的微分算符 有了上面的表达式，梯度的计算就很容易进行

28. 推导，以直坐标为例： 若对u 分别求柱、球坐标下的全微分，就可导出相应的表达式。 uuu x y z du= ——dx+ ——dy + ——dz uuu x y z uuu x y z du uuu dl x y z = (——ex+ ——ey + ——ez )·dl ——ex+ ——ey + ——ez=A ——= (——ex+ ——ey + ——ez )·el 为运算方便，令： 则有:du/dl=A· el 对u 求全微分，则有： 又∵dl= dxex+dyey+dzez ： 对上式两边同时除以dl ， 及又∵dl /dl=el , 则有: A是一微分矢量。当u给定后,A在某点的大小和方向是确定不变的 el是某路径方向与u无关。 u可沿不同的路径l 变化，即el可变。 du/dl 若要达到最大，则u必须沿eA方向变化，即el =eA 因而du/dl=A· el =AeA ·el 应改为：du/dlA最大=AeA ·eA =A 这就是说，当u沿A方向变化时，其变化率达最大且正好=A的模 或对上式两边同乘以eA ： du/dlA最大eA =AeA ·=A 将此与定义相比可知， A就是梯度即：G= A 证毕

29. 辅助量 方向导数 梯度 性质 共有6条 证毕 ∴ u2 -u1 ＞0 数量场u沿某路径l 的变化率称方向导数，记作du/dl 1、标量场u的梯度是矢量。 lG 2、简化了全微分的表达式：du=G·dl G l1 li M0 l2 3、方向导数是梯度在该ln方向上的一个分量的模。 ∵由前面的推导中已知：du/dl=G· el du/dl 4、G方向总是指向u增大的方向，即u2 ＞u1 (在G方向上) 证:∵ u2 du dlG最大 du dlG lG G = ——eG = GeG u1 即：——= G＞0 l2 l1 又∵ 各ln的方向包括lG方向在内均以M0为起点向外， 即 各ln上的l2总是＞l1 这就是说，若dl = l2 -l1 则dl ＞0 duu2 -u1 dlG l2 -l1 因而：——= —— ＞0

30. 性质 梯度 5、G方向为等位线(或面)的法向，即eG=±en 等值线：指在二维数量场u(x,y,)中，将空间不同位置上但具有相等 场值的各点所连成的线。其表达式为：u(x,y,) = C eG el 等值面：指在三维数量场u(x,y,z)中，将空间不同位置上但具有相等 场值的各点所连成的面。其表达式为：u(x,y,z) = C en 证:∵ u(x,y,z)= C ∴du = 0 因而：du/dl=G· el =Gcos(eG ,el )= 0 又∵G≠0 ∴ cos(eG ,el ) = 0 故：eG ⊥el 又∵ el为等位线(或面)的切线 ∴ eG=±en 证毕 6、 该式说明： ②梯度场若存在必是无旋场。 ① ▽u = 0或≠0该式都成立，即该式不能说明梯度场是否存在。

31. 公式 梯度 ▽C= 0 ▽Cu =C▽u ▽(uv)= u▽v±v▽u ▽(u/v)= (v▽u－u▽v)/v2 Mo Mo Mo Mo Mo Mo ▽f (u)= f ′(u) ▽u ▽(u±v)=▽u±▽v 解： ∵du/dl=G· el 由题意 el =-en 即求du/dl=G· (-en ) u 2y √2 y b2b 又∵ —— =－—— =－—— √2 b √2 a √2 b √2 b √2 a √2 a Mo en u 2x √2 x a2a —— =－—— =－—— 则在点Mo处的梯度为： 令：u=0 可见其等位线与题中的曲线相同，这意味着eG=±en 另外，分析上式：eG=- en 可见, du/dl=G· (-en ) =G· eG = G = √2(a2 +b2 )/ab G=▽u =－( ex + ey ) 例：求u=1-[(x/a)2+(y/b)2]在点Mo(a/√2,b/√2)处 沿曲线1=(x/a)2+(y/b)2的内法线的方向导数。

32. 散度:是一标量，研究矢量场A在某点处其通量对体积的变化率。散度:是一标量，研究矢量场A在某点处其通量对体积的变化率。 力线 通量 散度 辅助量 通量 1、矢量线（力线）：一种假想的线。 • 矢量线上任一点的切向就是矢量A在该点的方向； • 矢量A的大小正比于过M0点且与力线正交的单位面 积上的矢量线的根数。即力线的疏密表征A 的大小； 2、矢量场的通量 通量:指矢量A垂直通过某一曲面的矢量线的总根数。 ※ 反映了矢量场通量源的分布情况。 ∫A·ds S  =∫A·ds 曲面： 闭曲面：  = ∵垂直过曲面∴通量定义中的曲面是有向曲面即S 是 矢量，方向以矢量线穿出为正，有闭及不闭面二类。 由通量及矢量A 的大小，不难导出求通量的表达式：

33. ∫A·ds V  V lim v→0 (Ω→M0) lim v→0 (Ω→M0) 即: divA = —— = ———— 称定义式 表达式 设:A=Axex +Ayey +Azez =Aρeρ+Aφeφ+Azez=Arer+Aφeφ+Aθeθ Ax AyAz x y z 直：divA = —— + —— + —— =▽·A AρAρAφAz ρ ρ ρφ z 柱：divA= —+ —— + ——+ —— =▽·A ArAθAφ 2ArctgθAθ r rθ rsinθφr r 球：divA= ——+ ——+———— + —— + —— =▽·A 定义设有一矢量场A(M)，于场中某一点M0 处作一包含M0点 在内的任一闭曲面(S),所包的空间区域的体积大小用 V表示，矢量A(M)穿过该曲面(S)的通量为。则此通量 在M0点对体积 V 的变化率称矢量A(M)在点M0处的散度， 用符号divA表示。 M0 散度

34. = Ax dydz + Ay dxdz + Az dxdy ∫ ∵ = 由奥氏公式： =∫ 由中值定理： V M0  Ax AyAz V x y z 常数 上式两端同除以V： ——=(—— + —— + ——) Ax AyAz x y z Ax AyAz x y z Ax AyAz x y z (—— + —— + ——) dV =(—— + —— + ——) ∴ divA = —— + —— + ——  Ax AyAz V x y z M0 M0 lim v→0 (Ω→M0) 对上式取极限： ——=(—— + —— + ——) = divA(M0) ∫A·ds 证毕 推导，以直坐标为例：设:A=Axex +Ayey +Azez dS=dydzex +dxdzey+dxdyez ∵ M0为任意确定点故可不表现出来，即：divA(M0) → divA 散度

35. 散度 =∫A·ds =∫▽·AdV 2、散度定理(矢量场的高斯定理)： 性质 共有4条 s Ω 该公式表明了区域Ω中场A 与边界S上的场A 之间的关系 3、矢量场的散度值表征空间中通量源的密度； ρv ▽·A= ρ — 通量源密度 即： a) 若Φ＞0则▽·A＞0，闭合面内有产生矢量线的正源 A为有源场 b) 若Φ＜0则▽·A＜0，闭合面内有吸收矢量线的负源 c) 若Φ= 0则▽·A = 0处处成立，闭合面内无源 A为无源场 Ω (div A＞0正源) (div A =0无源） (div A＜0负源) 1、矢量场A的散度是一个标量； 4、矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；

36. 公 式 P r q 4per2 例：已知 求： ▽·E E= ——— er S O q 4per2 q 解：选择球坐标，则Ar= ——Aθ= Aφ =0 ∵ ∴ q 2per3 q 2per3 ▽·E = - —— + —— = 0 q 4per2 =∫▽·EdV =∮——r2sinθdφdθ=q/e Ω =∫E·ds ∫(q/e)δ(r)dV = s Ω ArAθAφ 2ArctgθAθ r rθ rsinθφr r 球：divE= ——+ ——+———— + —— + —— ▽·C= 0; ▽·(CA)=C▽·A; ▽·(A±B)=▽·A±▽·B; ▽· (uA)= u▽·A+A·▽u r ≠ 0 当r = 0或≠0时： ∴▽·E= (q/e)δ(r) 散度

37. 旋度:是一矢量,反映矢量场A在场某点处环量对面积的最大变化率旋度:是一矢量,反映矢量场A在场某点处环量对面积的最大变化率 旋度 环量 环量面密度 旋度 辅助量 en S l 在矢量场A的空间中，取一有向闭合路径l ，矢量A沿l 的积分(即矢量A的环路积分)称环量 。即： M0  = 在场矢量A空间中，围绕空间某点M0取一面元S，其边界曲线为l ，面元法线方向为en。则A沿l 的环量对面元S的变化率，称A在点M0处沿en方向的环量面密度，用符号rotnA表示。 ∫A·dl S ∫A·dl lim ⊿S→0 (l→M0) 即： rotnA= ———— 1、环量（） 环量的意义：①若矢量场环量为零，则矢量场是无涡漩的流动； ②反之，矢量场存在着涡漩状的流动。而环量正反 映了矢量场漩涡源的分布情况。 2、环量面密度（rotnA） 环量面密度意义:表示矢量场A在点M0处沿en方向的漩涡源密度

38. ∫A·dl ⊿SR ⊿ ⊿SR lim ⊿SR→0 (l→M0) R= rotA = ——eR= ————eR= ReR lim ⊿SR→0 (l→M0) 即: 显然，在场矢量A空间中，围绕空间 某点M0可取很多个边界曲线为l、 面元为 S、法线方向各异(如图)的平面。在点 M0处沿不同en方向上的环量面密度(rotnA) 各不相同，但有一个可达最大。 en M0 定义若在矢量场A(M)中某一点M0 处，存在这样的一个矢量R，矢 量场A(M)由点M0处沿R方向所得的环量对面积的变化率(即环 量面密度)达最大且正好等于模R，则称矢量R为矢量场A(M) 在点M0处的旋度，用符号rot A表示。由该定义可得如下关系： 由此定义式可导出更具实用意义的表达式 旋度

39. 表达式 ex ey ez  x y z Ax AyAz 直：rotA = R =— — — = (—— - ——)ex+ (—— - ——)ey + (—— - ——) ez Az AyAx AzAy Ax y z z x x y eρρej ez  ρ φ z AρρAφAz 柱： rotA = R = — — — =▽×A 1 — ρ erreθ rsinθej  r θφ ArrAθrsinθAφ 球：rotA = R =— — — =▽×A 1 —— r2sinθ 设:A=Axex +Ayey +Azez =Aρeρ+Aφeφ+Azez=Arer+Aφeφ+Aθeθ =▽×A 旋度

40. 推导，以直坐标为例：设:A=Axex +Ayey +Azez = Ax dx + Ay dy + Az dz； ∫ ∵  = l l  =∫ (—— - ——)dydz+ (—— - ——)dxdz+ (—— - ——)dxdy Az AyAx AzAy Ax y z z x x y ⊿S 令：B = (—— - ——)ex+ (—— - ——)ey + (—— - ——) ez Az AyAx AzAy Ax y z z x x y 又∵dS=dydzex +dxdzey+dxdyez ； 及中值定理， ∴ =∫ B·dS=∫ B·endS =B·en⊿S ⊿S ⊿S M0 ∫A·dl ⊿S ∵ M0为任意确定点 故 可不表现出来。 上式两端同除以 ⊿S并且取极限： lim ⊿SR→0 (l→M0) ———= B·en = B·en ∫A·dl M0 两端同乘eB： 且与定义比较： ∫A·dl ⊿SB lim ⊿SR→0 (l→M0) eB eB 可得： B=R=▽×A= rotA ——— = B max 由斯托克斯公式： 环量面密度若要达到最大，则必须沿eB方向变化，即en =eB 旋度

41. 性质 共有6条 ∫A·dl =∫▽× A·dS 2、斯托克斯定理: 这表明： l s 1、矢量场A的旋度仍为矢量，是空间坐标的函数； 矢量场A 的环路积分等于该矢量场A 的旋度通过该曲面的通量 3、 ∵由前面的推导已知： rotnA = rot A · en 这表明： 旋度R在任一方向en上的投影(即分量)等于该方向的环量面密度 4、▽·▽× A≡ 0即 ▽×A=0或≠0 该式均成立。 该式说明旋度场是一无源场，但不能说明旋度场是否存在。 5、矢量场的旋度值表征空间中旋涡源的密度； 即：▽× A = J J —— 旋涡源密度 6、若rot A=0处处成立，A为无旋场。力线呈无旋涡的流动状态，力线有头尾。此时，=0 即A的环路积分与路经无关故又称保守场。 若rot A≠0这表：A为有旋场，其力线无头无尾。 旋度

42. ∫▽× H·dS= ∫H·dl = I =∫Iδ(x)δ(y)ez·dS ∵ s l s 公 式 ▽×C= 0; ▽× (A±B)=▽×A±▽×B; ▽× (CA)=C▽×A; ▽×(uA)= u▽×A－A×▽u ▽·(A×B)=B·(▽×A)－A·(▽×B) I I 2pρ 例：已知 求： ▽×H H= —— eφ = Hφeφ 解：选择柱坐标 eρρej ez  ρ φ z 0 ρHφ 0 ▽×H= — — — = 0 1 — ρ ρ ≠ 0 当ρ= 0或≠0时： ∴▽× H = Iδ(x)δ(y)ez 旋度

43.  =∫Fs·dl = 0  =∫Fl·dl =i ▽·Fs = ρv l l ▽× Fl = J Φ =∫Fs·ds =Q Φ =∫Fl·ds =0 s s 亥姆霍兹定理：在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定。它可表现为： 矢量场(F) =梯度场(Fs) + 旋度场(Fl) = -▽u +▽×A u —— 梯度场的标量位A —— 旋度场的矢量位 讨论：① 场、源、度的关系 ∵ ▽×▽u≡ 0， ▽·▽×A≡ 0 即：梯无旋，旋无散 ∴ ▽·▽u≠ 0， ▽×▽×A≠ 0 这说明： 梯度场是一有源无旋场： Fs的力线是有头有尾的发散线 旋度场是一无源有旋场： Fl的力线是无头无尾的闭合线

44. =0 ≠0 =0 ≠0 对式⑴两边求旋度： ▽×F= - ▽×▽u +▽×▽×A ∵ ▽×▽u≡ 0则：▽×F= ▽×▽×A 结 论 ▽· F=0，F为纯旋度场 ▽×F =0， F为纯梯度场 ▽· F≠0，▽×F ≠0，F为合成场 讨论：② 怎样判断场F的属性 ∵矢量场(F) =梯度场(Fs) + 旋度场(Fl) = -▽u +▽×A ⑴ 对式⑴两边求散度： ▽· F= - ▽·▽u +▽·▽×A ∵▽·▽×A≡ 0 则： ▽· F= - ▽·▽u 若：F 存在，则▽· F=0说明F中没有梯度场但必有旋度场 若▽· F≠0说明F中有梯度场但不一定有旋度场 若：F 存在，则▽×F=0说明F中没有旋度场但必有梯度场 若▽×F≠0说明F中有旋度场但不一定有梯度场

45. 一般场 电磁场 电荷密度：产生梯度场 电流密度J：产生旋度场 场域边界条件 矢量F的通量源密度 矢量F的旋度源密度 场域边界条件 讨论：③ 调和场 若矢量场A 在某区域内，处处有： ▽·A≡ 0和▽×A≡ 0则在该区域内，场A为调和场 例：抠出源点的静电场 注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。 亥姆霍兹定理在电磁场理论中的意义 是研究电磁场的一条主线

46.  x y z 22 2 x2y2z2 直：▽=(——ex+ ——ey + ——ez) 直：▽2=—— + —— + —— 注意▽与各 符号的对应, 不要盲目替代    ρ ρφ z 2 2 2 ρ2 ρ2φ2 z2 ρρ 柱：▽=(——eρ + —— ej + ——ez ) 柱：▽2=(——+ —— + —— + ——)  r rθ rsinθφ 球：▽= (——er + ——eθ+————ej) 222 2  ctgθ r2 r2θ2 r2sin2θφ2rrr2 θ 球：▽2=——+ —— +—————+ — —— +———— 标性: ▽2 u =▽·▽u= div gradu 矢性: ▽2 A=▽(▽·A) -▽×(▽×A)= graddiv A-rot rotA 形 式 1.12 微分算子 ▽—— 哈密尔顿算符，是一矢性的一阶微分算符 有以下三种形式 ： ▽u=grad u ▽·A =divA ▽×A = rot A 其它形式(如下)无意义： ▽·u 、▽A、▽×u ▽·▽=▽2—— 拉普拉辛算符，是一标性的二阶微分算符

47.    ρ ρφ z    ρ ρφ z ▽=(——eρ + —— ej + ——ez ) =(——eρ + —— ej + ——ez ) · 柱： A=Aρeρ+Aφeφ+Azez (Aρeρ+Aφeφ+Azez ) ▽·A

48. 等位线(面) 矢量线 dx dy dz Ax Ay Az —— = —— = —— u(x,y,z) = C 1、等位线(面)不是一个而是一族。∵C为任意常数； 2、等位线(面)互不相交； ∵M点只与一个坐标值对应 3、同一等位线(面)可能分裂成几部分存在；例： u(x,y,) = x y=C 4、等位线(面)是一闭合线(面)，只要域足够大； ∵dl∥A ∴ dl×A=0 dl ○ 1.13 场的图示法(一种辅助分析、计算的方法) 标量场( u)矢量场(A) 形式 表达式 性质 关系 1、矢量线不是一条而是一族； 2、矢量线互不相交(除奇异点) 3、有源场的矢量线至少有一部分是有头有尾的发散线； 4、无源场的矢量线全部都是无头无尾的闭合线； 若A = grad u 则A 线与等位线(面)正交

49. 解：∵ dx dy Ax Ay —— = —— 则有： → Aydx =Ax dy 由题意→ -xdx = ydy x y 1 0 取积分：∫ -xdx =∫ ydy -x2/2 =y2/2 x y 1 0 整理得 ：x2/2 +y2/2 = 1/2 → x2 +y2= 1 由题意 ： Az = 0 → dz = 0 → z = 0 0 dx dy dz Ax Ay Az —— = —— = —— 故矢量线方程： x2 +y2= 1 ，z = 0 例：求矢量场A=y ex - x ey 过点(1,0,0)的矢量线方程。

50.    ρ ρφ z    ρ ρφ z ▽=(——eρ + —— ej + ——ez ) =(——eρ + —— ej + ——ez ) · (Aρeρ) (Aφeφ) ρ ρφ z =(——eρ + —— ej + ——ez ) · 柱： A=Aρeρ+Aφeφ+Azez (Aρeρ+Aφeφ+Azez ) ▽·A